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函数的单调性知识点


函数的单调性知识点
一、课本上增减函数定义
一般地,设函数 f(x)的定义域为 I: 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2 ,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在这个区 间上是增函数。 此区间 D 就叫做函数 f(x)的单调增区间。 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 上的任意

两个自变量的值 x1,x2 ,当 x1<x2 时,都有 f(x1)﹥f(x2),那么就说 f(x)在这个区 间上是减函数。 此区间 D 就叫做函数 f(x)的单调增区间。 1、 等价定义:
(1)设函数

y = f ( x) 的定义域为 I,区间 D ? I 。如果取区间 M 上的任意两个值 x 1 , x 2,改变量 ?x ? x2 ? x1 >0,则:

当 ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) >0 时,就称函数 f ( x) 在区间 D 上是增函数;当 ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) <0 时,就称函数 f ( x) 在区 间 D 上是增函数.
(2)设函数

y = f ( x) 的定义域为 I,区间 D ? I 。设 x1 , x2 ? D ? ?a, b?,若有:①

f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0,则 f(x)在 D 上是增函 x1 ? x2

数;②

f ( x1 ) ? f ( x2 ) <0,则 f(x) 在 D 上是减函数. x1 ? x2

二、单调性的有关结论
(1)若 f ( x ) 为增(减)函数,则 ? f ( x) 为 函数; (2)互为反函数的两个函数具有 的单调性; 函数;

(3) y ? f ? g ( x)? 是定义在 M 上的函数,①若 f ( x ) 与 g ( x) 的单调性相同,则其复合函数 y ? f ? g ( x)? 为 ②若 f ( x ) 与 g ( x) 的单调性相反,则其复合函数 y ? f ? g ( x)? 为 函数。即 。

g ( x) 公共定义域内: (4) 在函数 f ( x) 、 ①增函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是
数;③增函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是

函数; ②减函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是 函数.



函数;④减函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是

三、函数的单调性常应用于如下三类问题:
(1)利用函数的单调性比较函数值的大小。 (2)利用函数的单调性解不等式,常见题型是,已知函数的单调性,给出两个函数的大小,求含于自变量中的某个特定的 系数,这时就应该利用函数的单调性“脱”去抽象的函数“外衣” ,以实现不等式间的转化(如:函数 y ? f ( x) 在定义域 I 上递增, x 1 , x 2∈I,且 f(x1)<f(x2) ? x1<x2) 。

(3)利用函数的单调性确定函数的值域,求函数的最大值和最小值. ①若函数 y ? f ( x) 在定义域 ?a, b ? 上递增,则函数值域为( f ( a ) , f (b) );②若函数 y ? f ( x) 在定义域 ?a, b ? 上递减,则函数 值域为( f (b) , f ( a ) );③若函数 y ? f ( x) 在定义域 ?a, b? 上递增,则函数值域为 [ f ( a ) , f (b) ] ;④若函数 y ? f ( x) 在 定义域 ?a, b? 上递减, 则函数值域为 [ f (b) , f ( a ) ]; ⑤若函数 y ? f ( x) 在定义域 ?a, b? 上递增, 则函数的最大值为 f (b) , 最小值为 f ( a ) ;⑥若函数 y ? f ( x) 在定义域 ?a, b? 上递减,则函数的最大值为 f ( a ) ,最小值为 f (b) 。


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