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2014年浙江省高考测试卷(理科)数学


2014 年浙江省高考测试卷
数学(理科) 选择题部分(共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1. 设集合 S={x|3<x≤6},T={x|x2-4x-5≤0},则 A.(-≦,3]∪(6,+≦) C.(-≦,-1)∪(6,+≦) 2. 已知 i 是

虚数单位,则 A.-1+i
R(S∩T)



B.(-≦,3]∪(5,+≦) D.(-≦,-1)∪(5,+≦)

3?i = 2?i
C.1+i D.1-i

B.-1-i

3.已知 a,b 是实数,则“| a+b |=| a |+| b |”是“ab>0”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5 正视图 3 俯视图 (第 4 题图) 侧视图 4 3

4.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积等于 A.10 cm3 B.20 cm3 C.30 cm3 D.40 cm3

5.已知 α,β,γ 是三个不同的平面,α∩γ=m,β∩γ=n. A.若 m⊥n,则 α⊥β C.若 m∥n,则 α∥β B.若 α⊥β,则 m⊥n D.若 α∥β,则 m∥n

6.已知箱中共有 6 个球,其中红球、黄球、蓝球各 2 个.每次从该箱中取 1 个球 (有放回,每球取到的 机会均等),共取三次.设事件 A: “第一次取到的球和第二次取到的球颜色相同” ,事件 B: “三次取 到的球颜色都相同” ,则 P(B|A)= A.

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D. 1
D C A (第 7 题图) B

7.如图,在四边形 ABCD 中,AB⊥BC,AD⊥DC.若| AB |=a,| AD |=b,则 AC ? BD = A.b2-a2 8.设数列{an}. B.a2-b2 C.a2+b2 D.ab

2 2 A.若 an =4n,n∈ N*,则{an}为等比数列 B.若 an ? an+2= an N*,则{an}为等比数列 ?1 ,n∈

1

C.若 am ? an=2m+n,m,n∈ N*,则{an}为等比数列 D.若 an ? an+3=an+1 ? an+2,n∈ N*,则{an}为等比数列 9.如图,F1,F2 是双曲线 C:

y B A F1 O F2 x

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左、 a2 b2

右焦点,过 F1 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A,B 两 点.若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |=3:4 : 5,则双曲线的离心率为 A. 13 B. 15 C.2 D. 3

10.如图,正三棱锥 P-ABC 的所有棱长都为 4.点 D,E,F 分别在棱 PA,PB,PC 上,满足 DE=EF=3,DF=2 的△ DEF 个数是 A.1 B.2 C.3 D.4
(第 9 题图) A D

P F E B (第 10 题图) C

非选择题部分(共 100 分)
二、 填空题:本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分。www.zxsx.com
开 始

11.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于 . k=1,S=0 2 n ( x ? ) 12.若二项式 的展开式中的常数项是 80,则该展开式中的二项式系 3 x 否 k≤5? 数之和等于 .


13.已知点 O(0,0),A(2,0),B(-4,0),点 C 在直线 l:y=-x 上.若 CO 是S=S+ 2 ? k ∠ACB 的平分线,则点 C 的坐标为 .
k=k+1

?3 x ? y ? 2 ? 0, ? 14.设 x,y∈R,若不等式组 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 所表示的平面区域是一个锐角三 输出 S ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
结 束

角形,则 a 的取值范围是



(第 11 题图)

15.如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=3,CD=4.过 AC 与 BD 的交点 O 作 EF∥AB,分别交 AD,BC 于点 E,F,则 EF= 16.设 F1,F2 是椭圆 C: .
E D (第 15 题图) A O B F C

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点,过 F1 的直 a2 b2 线 l 与 C 交于 A,B 两点.若 AB⊥AF2,| AB | : | AF2 |=3:4,则椭圆 的离心率为 .

17.已知函数 f (x)= 的取值范围是

x 2 ? ax ? 7 ? a ,a∈R.若对于任意的 x∈N*,f (x)≥4 恒成立,则 a x ?1


三、解答题: 本大题共 5 小题, 共 72 分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 2

18.(本题满分 14 分) 在△ABC 中,内角 A,B,C 满足 4 sin Asin C-2 cos (A-C)=1. (Ⅰ) 求角 B 的大小; (Ⅱ) 求 sin A+2 sin C 的取值范围. 19.(本题满分 14 分) 如图,已知曲线 C:y=x2 (0≤x≤1),O(0,0),Q(1,0),R(1,1). 取线段 OQ 的中点 A1,过 A1 作 x 轴的垂线交曲线 C 于 P1,过 P1 作 y 轴的垂线交 RQ 于 B1,记 a1 为矩形 A1P1B1Q 的面积. 分别取线段 OA1,P1B1 的中点 A2,A3,过 A2,A3 分别作 x 轴的垂线交曲线 C 于 P2,P3,过 P2, P3 分别作 y 轴的垂线交 A1P1, RB1 于 B2, B3, 记 a2 为两个矩形 A2P2B2 A1 与矩形 A3P3B3B1 的面积之和. 以此类推,记 an 为 2n 个数列的前 n 项和为 Sn. (I) 求 a2 与 an; (Ⅱ) 求 Sn,并证明 Sn< .
P2 O A2 P3
-1

个矩形面积之和,从而得数列{an},设这 y

R

1 3

B3 B1 Q x

P1 B2 A1

A3

20.(本题满分 15 分) 如图,平面 ABCD⊥平面 ADEF,其中 ABCD 为矩 B 形,ADEF 为梯形, AF∥DE,AF⊥FE,AF=AD=2 DE=2. (Ⅰ) 求异面直线 EF 与 BC 所成角的大小; (Ⅱ) 若二面角 A-BF-D 的平面角的余弦值为 ,求 AB 的长.

(第 19 题图) C

1 3

A F (第 20 题图) y B M

D E

21.(本题满分 15 分) 如图,F1,F2 是离心率为

2 的椭圆 2
A F1

x2 y2 1 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左、右焦点,直线 l :x=- 将 a b 2
线段 F1F2 分成两段,其长度之比为 1 : 3.设 A,B 是 C 上的 两个动点,线段 AB 的中垂线与 C 交于 P,Q 两点,线段 AB 的中点 M 在直线 l 上. (Ⅰ ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ ) 求 F2 P ? F2Q 的取值范围. 22.(本题满分 14 分) 已知 a 为给定的正实数,m 为实数,函数

P

O

F2

x

Q x=- 1 2 (第 21 题图)

f (x)=ax3-3(m+a)x2+12mx+1. (Ⅰ) 若 f (x)在(0,3)上无极值点,求 m 的值; (Ⅱ) 若存在 x0∈(0,3),使得 f (x0)是 f (x)在[0,3]上的最值,求 m 的取值范围. 3

数学测试题(理科)B 答案及评分参考
说明 一、 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力, 并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法 与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。 二、对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后续部分的给分 , 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半 ;如果后续部分的解 答有较严重的错误, 就不再给分。 三、解答右端所注分数, 表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 五、未在规定区域内答题,每错一个区域扣卷面总分 1 分。 一、选择题: 本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 50 分。 1.B 6.B 2.D 7.A 3.B 8.C 4.B 9.A 5.D 10.C

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分,满分 28 分。 11. 9 15. 12.32 16. 13.(4,-4) 17.[ ,+ ? ) 14. (-2,- )

1 3

24 7

5 3

1 3

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.本题主要考查三角变换、三角函数值域等基础知识,同时考查运算求解能力。满分 14 分。 (Ⅰ) 因为 4 sin A sin C-2 cos (A-C)=4 sin A sin C-2 cos A cos C+2 sin A sin C =-2 (cos A cos C-sin A sin C), 所以-2 cos (A+C)=1,故 cos B= 又 0<B<π,所以 B= (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 C=
π 2
2π 3 π 3

1 . 2
???? 6 分



-A,故 sin A+2 sin C=2 sin A+ 3 cos A= 7 sin (A+θ),

其中 0<θ<

,且 sin θ=

21 2 7 ,cos θ= .www.zxsx.com 7 7
2π 3

由 0<A<

2π 3

知,θ<A+θ<

+θ,故

21 <sin (A+θ)≤1. 14
???? 14 分

所以 sin A+2 sin C∈(

3 , 7 ]. 2

19.本题主要考查等比数列的概念与求和公式、不等式等基础知识,同时考查运算求解能力。满分 14

4

分。

1 1 1 1 1 , ( )2 ),故 a1= × ( )2 = . 2 2 2 2 8 1 1 2 3 3 2 又 P2( 2 , ( 2 ) ), P3( 2 , ( 2 ) ),故 2 2 2 2 1 1 3 2 1 3 a2= 2 ×[ ( 2 ) 2 + ( 2 ) 2 - ( 2 ) 2 ]= 6 ×(12+32-?2)= . 2 2 2 2 2 32
(I) 由题意知 P1( 由题意,对任意的 k=1,2,3,?,n,有

2i ? 1 2i ? 1 - , ( k )2 ), i=0,1,2,?,2k 1-1, k 2 2 2n ? 1 2n ? 2 1 1 3 2 5 4 故 an= n ×[ ( n ) 2 + ( n ) 2 - ( n ) 2 + ( n ) 2 - ( n ) 2 +?+ ( n ) 2 - ( n ) 2 ] 2 2 2 2 2 2 2 2 1 = 3 n ×[12+32-?2+52-?2+?+(2n-1)2-(2n-2)2] 2 1 - = 3 n ×{1+(4×1+1)+(4×2+1)+?+[4×(2n 1-1)+1]} 2 [1 ? 4 ? (2n ?1 ? 1) ? 1] ? 2 n ?1 2n ? 1 1 = 3n × = 2 n ?1 . 2 2 2 n 2 ?1 3 所以 a2= , an= 2 n ?1 , n∈N*. ???? 10 分 2 32 1 1 (Ⅱ) 由(I)知 an= n?1 ? 2 n?1 , n∈N*, 2 2
P2k ?1 ?i (
1 1 1 1 ? (1 ? n ) ? (1 ? n ) 2 n ?1 ? 3 ? 2n ? 1 4 = 1 ? (1 ? 1 ) - 1 ? (1 ? 1 ) = 2 2 -8 故 Sn= 4 . n n 1 1 3 ? 22 n ?1 2 2 6 4 1 ? 1? 4 2
又对任意的 n∈N*,有 3 ? 2n ? 1 >0, 1 3 ? 2n ? 1 1 所以 Sn= ? < . 2 n ?1 3 3? 2 3

???? 14 分

20.本题主要考查空间点、线、面位置关系,异面直线所成角、二面角等基础知识,空间向量的应用, 同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分 15 分。 (Ⅰ) 延长 AD,FE 交于 Q. 因为 ABCD 是矩形,所以 BC∥AD, 所以∠AQF 是异面直线 EF 与 BC 所成的角.
A 在梯形 ADEF 中,因为 DE∥AF,AF⊥FE,AF=2,DE=1 得∠ H G F (第 20 题图) D E Q B C

AQF=30° . (Ⅱ) 方法一: 设 AB=x.取 AF 的中点 G.由题意得 DG⊥AF. 5

???? 7 分

因为平面 ABCD⊥平面 ADEF,AB⊥AD,所以 AB⊥平面 ADEF, 所以 AB⊥DG. 所以 DG⊥平面 ABF. 过 G 作 GH⊥BF,垂足为 H,连结 DH,则 DH⊥BF, 所以∠DHG 为二面角 A-BF-D 的平面角. 在直角△AGD 中,AD=2,AG=1,得 DG= 3 . 在直角△BAF 中,由

1 AB GH GH =sin∠AFB= ,得 = , 2 BF FG x x ?4

所以 GH=

x x2 ? 4

.在直角△DGH 中,DG= 3 ,GH=

x x2 ? 4

,得 DH= 2

x2 ? 3 . x2 ? 4

因为 cos∠DHG= 所以 AB=

2 GH 1 = ,得 x= 15 , 5 DH 3

2 15 .???? 15 分 5

方法二:设 AB=x. 以 F 为原点,AF,FQ 所在的直线分别为 x 轴,y 轴建立空间直角坐标系 Fxyz.则 F(0,0,0),A(-2,0,0),E( 3 ,0,0),D(-1, 3 ,0),B(-2,0,x), 所以 DF =(1,- 3 ,0), BF =(2,0,-x). 因为 EF⊥平面 ABF,所以平面 ABF 的法向量可取 n1 =(0,1,0). 设 n2 =(x1,y1,z1)为平面 BFD 的法向量,则

? ? 2 x1 ? z1 x ? 0, ? ? ? x1 ? 3 y1 ? 0,
所以,可取 n2 =( 3 ,1,

B

z

C

2 3 ). x
A

n ?n 1 因为 cos< n1 , n2 >= 1 2 = ,得 | n1 | ? | n2 | 3
x= 所以 AB=

D E F x (第 20 题图)

y

2 15 , 5

2 15 . 5

???? 15 分

21.本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想 方法和综合解题能力。满分 15 分。

6

1 2 =1, (Ⅰ) 设 F2(c,0),则 1 3 c? 2 c?
所以 c=1. 因为离心率 e=
2 2

y B A O F2 x

,所以 a= 2 .

所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 2

???? 62 分 x=-
(第 21 题图)

1

1 (Ⅱ) 当直线 AB 垂直于 x 轴时,直线 AB 方程为 x=- ,此时 P( ? 2 ,0)、Q( 2 ,0) 2

F2 P ? F2Q ? ?1.
当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设直线 AB 的斜率为 k,M(-

1 ,m) (m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2). 2

? x12 ? y12 ? 1, ? y ? y2 1 ?2 由 ? 2 得(x1+x2)+2(y1+y2) ? 1 =0,则-1+4mk=0,故 k= . x ? x 4 m x 1 2 ? 2 ? y 2 ? 1, 2 ? ? 2
1 此时,直线 PQ 斜率为 k1 ? ?4m ,PQ 的直线方程为 y ? m ? ?4m( x ? ) . 2 即 y ? ?4mx ? m .
? y ? ?4mx ? m ? 联立 ? x 2 消去 y,整理得 (32m2 ? 1) x2 ? 16m2 x ? 2m2 ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?2

所以 x1 ? x2 ? ?

16m2 2m 2 ? 2 x x ? , . 1 2 32m 2 ? 1 32m2 ? 1

于是 F2 P ? F2Q ? (x1-1)(x2-1)+y1y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? (4mx1 ? m)(4mx2 ? m)

? (1 ? 16m2 ) x1x2 ? (4m2 ? 1)( x1 ? x2 ) ? 1 ? m2

?

(1 ? 16m2 )(2m 2 ? 2) (4m 2? 1)(?16m )2 19 m2 ? 1 2 ? ? 1 ? m ? . 32m2 ? 1 32m2 ? 1 32 m2 ? 1
19 51 . ? 32 32t

令 t=1+32m2,1<t<29,则 F2 P ? F2Q ? 又 1<t<29,所以 ?1 ? F2 P ? F2Q ?

125 . 232

7

综上, F2 P ? F2Q 的取值范围为[ ?1 ,

125 ) .???? 15 分 232

22.本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识,同时考查推理论证能力,分类 讨论等综合解题能力。满分 14 分。 (Ⅰ) 由题意得 f ′(x)=3ax2-6(m+a)x+12m=3(x-2)(ax-2m), 由于 f (x)在(0,3)上无极值点,故 (Ⅱ) 由于 f ′(x)=3(x-2)(ax-2m), 故

2m =2,所以 m=a.???? 5 分 a

2m 2m 3 ≤0 或 ≥3,即 m≤0 或 m≥ a 时, a a 2 3 取 x0=2 即满足题意.此时 m≤0 或 m≥ a. 2 2m (ii) 当 0< <2,即 0<m<a 时,列表如下: a
(i) 当

故 ≤ f(0)

x f ′(x) f (x)

0

(0,

2m ) a

2m a
0 极大值

(

2m ,2) a


2 0 极小值

(2,3) + 单调递增

3

2m f( ) a
f(3),

+ 1 单调递增

f(2) 或 ≥

单调递减

9m+1

?4m 3 ? 12m 2 a +1≥9m+1, a2 ? m(2m ? 3a ) 2 a a 3a 即 3m≤a 或 ≥0, 即 m≤ 或 m≤0 或 m= .此时 0<m≤ . 2 a 3 3 2 2m 3a (iii) 当 2< <3,即 a<m< 时,列表如下: a 2
即-4a+12m+1≤1 或 x f ′(x) f(x) 故 f( 1 0 (0,2) + 单调递增 2 0 极大值 (2,

2m ) a

2m a
0 极小值

(

2m ,3) a


3

- 单调递减

单调递增

9m+1

2m ) a

≤f(0) 或 f(2)≥f(3),

?4m 3 ? 12m 2 a +1≤1 或 -4a+12m+1≥9m+1, a2 ?4m 2 ( m ? 3a ) 4a 即 ≤0 或 3m≥4a,即 m=0 或 m≥3a 或 m≥ . 2 a 3 4a 3a 此时 ≤m< . 3 2
即 8

综上所述, 实数 m 的取值范围是 m≤

a 4a 或 m≥ .???? 14 分 3 3

9


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