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广东省肇庆市2017届高三第二次模拟数学理试题 Word版含解析


2017 年广东省肇庆市高考数学二模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设复数 z 满足 z(1+i)=2,i 为虚数单位,则复数 z 的虚部是( A.1 B.﹣1 C.i D.﹣i )

2.已知 U=R,函数 y=ln(1﹣x)的定义域为 M,N={x|x2﹣

x<0},则下列结论 正确的是( A.M∩N=M ) B.M∪(?UN)=U C.M∩(?UN)=? D.M? ?UN

3.已知 x,y 满足约束条件 A.1 B.﹣1 C.3 D.﹣3

,则 z=x﹣y 的最小值为(



4.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是( A.f(x)=2x B.f(x)=xsinx C.



D.f(x)=﹣x|x| )

5.执行如图所示的程序框图,如果输入的 t∈[﹣2,2],则输出的 S 属于(

A.[﹣6,﹣2] B.[﹣5,﹣1] C.[﹣4,5] 6.下列说法中不正确的个数是( )

D.[﹣3,6]

①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的必要不充分条件 ②命题“? x∈R,cosx≤1”的否定是“? x0∈R,cosx0≥1”

③若一个命题的逆命题为真,则它的否命题一定为真. A.3 B.2 C.1 D.0 )

7.若(x6 A.3 B.4

)n 的展开式中含有常数项,则 n 的最小值等于( C.5 D.6 ) ,若将它的图象向右平移

8.已知 f(x)=2sin(2x+

个单位,得到函数 g )

(x)的图象,则函数 g(x)图象的一条对称轴的方程为( A.x= 9.已知 且 = B.x= ⊥ + ,| C.x= |= ,| D.x=

|=t,若 P 点是△ABC 所在平面内一点, 的最大值等于( )

,当 t 变化时, C.2 D.4

A.﹣2 B.0

10.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(



A.

B.

C.

D.

11.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球 3 次,一旦发球 成功, 则停止发球, 否则一直发到 3 次为止. 设学生一次发球成功的概率为 p (p ≠0) ,发球次数为 X,若 X 的数学期望 EX>1.75,则 p 的取值范围是( A. (0, ) B. ( ,1) C. (0, ) D. ( ,1) x2+ax﹣ (a>1)若对任意 )

12.已知函数 f(x)=x3﹣6x2+9x,g(x)= x3﹣

的 x1∈[0,4],总存在 x2∈[0,4],使得 f(x1)=g(x2) ,则实数 a 的取值范围 为( )

A. (1, ] B.[9,+∞) C. (1, ]∪[9,+∞) D.[ , ]∪[9,+∞)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, ,则公比 q= .

14. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现, 红灯持续时间为 40 秒. 若 一名行人 来到该路口遇到红灯,则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率 为 . .

15.已知 tanα,tanβ 分别是 lg(6x2﹣5x+2)=0 的两个实根,则 tan(α+β)= 16.若偶函数 y=f(x) ,x∈R,满足 f(x+2)=﹣f(x) ,且当 x∈[0,2]时, f(x)=2﹣x2,则方程 f(x)=sin|x|在[﹣10,10]内的根的个数为 .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 a(sinA﹣sinB)=(c﹣b) (sinC+sinB) (Ⅰ)求角 C; (Ⅱ)若 c= ,△ABC 的面积为 ,求△ABC 的周长.

18. (12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=﹣1+2an (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)若 bn=log2an+1,且数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 +…+ .

19. (12 分)某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示:全市 100 000 名男 生的身高服从正态分布 N(168,16) .现从某学校高三年级男生中随机抽取 50 名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于 160cm 和 184cm 之间,将测量结 果按如下方式分成 6 组: 第一组[160, 164], 第二组[164, 168], …, 第 6 组[180, 184],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (Ⅰ)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况; (Ⅱ)求这 50 名男生身高在 172cm 以上(含 172cm)的人数; (Ⅲ)在这 50 名男生身高在 172cm 以上(含 172cm)的人中任意抽取 2 人,该

2 人中身高排名(从高到低)在全市前 130 名的人数记为 ξ,求 ξ 的数学期望. 参考数据: 若 ξ﹣N (μ, ?2) , 则p (μ﹣?<ξ≤μ+?) =0.6826, p (μ﹣2?<ξ≤μ+2?) =0.9544,p(μ﹣3?<ξ≤μ+3?)=0.9974.

20. (12 分) 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面是边长为 2 的菱形, ∠BAD=60°, PB=PD=2, AC∩BD=O. (Ⅰ)证明:PC⊥BD (Ⅱ)若 E 是 PA 的中点,且△ABC 与平面 PAC 所成的角的正切值为 求二面角 A﹣EC﹣B 的余弦值. ,

21. (12 分)已知函数 f(x)=(x﹣1)ex+ax2 有两个零点. (Ⅰ)求 a 的取值范围; (Ⅱ)设 x1,x2 是 f(x)的两个零点,证明 x1+x2<0.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 22. (10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 (θ 为

参数) ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标 方程是 ρsin(θ+ )=2

(Ⅰ)直接写出 C1 的普通方程和极坐标方程,直接写出 C2 的普通方程;

(Ⅱ)点 A 在 C1 上,点 B 在 C2 上,求|AB|的最小值.

[选修 4-5:不等式选讲] 23.已知 f(x)=|x﹣a|+|x﹣1| (Ⅰ)当 a=2,求不等式 f(x)<4 的解集; (Ⅱ)若对任意的 x,f(x)≥2 恒成立,求 a 的取值范围.

2017 年广东省肇庆市高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设复数 z 满足 z(1+i)=2,i 为虚数单位,则复数 z 的虚部是( A.1 B.﹣1 C.i D.﹣i )

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】计算题;对应思想;数学模型法;数系的扩充和复数. 【分析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【解答】解:由 z(1+i)=2,得 ∴复数 z 的虚部是﹣1. 故选:B. 【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算, 考查了复数的基本概念, 是基础题. ,

2.已知 U=R,函数 y=ln(1﹣x)的定义域为 M,N={x|x2﹣x<0},则下列结论 正确的是( A.M∩N=M ) B.M∪(?UN)=U C.M∩(?UN)=? D.M? ?UN

【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】集合思想;定义法;集合. 【分析】根据题意求出集合 M,化简集合 N,再判断选项是否正确. 【解答】解:全集 U=R,函数 y=ln(1﹣x)的定义域为 M={x|1﹣x>0}={x|x< 1}, N={x|x2﹣x<0}={x|0<x<1}, ∴M∩N={x|0<x<1}≠M,A 正确; ?UN={x|x≤0 或 x≥1},M∪(?UN)=R=U,B 正确; M∩(?UN)={x|x≤0}≠?,C 错误; M? ?UN 不成立,D 错误.

故选:B. 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题目.

3.已知 x,y 满足约束条件 A.1 B.﹣1 C.3 D.﹣3

,则 z=x﹣y 的最小值为(



【考点】简单线性规划. 【专题】数形结合;转化法;不等式. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义进行求解即可. 【解答】解:作作出不等式组对应的平面区域如图:由 z=x﹣y,得 y=x﹣z 表示, 斜率为 1 纵截距为﹣z 的一组平行直线, 平移直线 y=x﹣z,当直线 y=x﹣z 经过点 B 时,直线 y=x﹣z 的截距最大,此时 z 最小, 由 故选:A ,解得 ,即 B(2,1) ,此时 zmin=2﹣1=1.

【点评】本题主要考查线性规划的基本应用,利用 z 的几何意义是解决线性规划 问题的关键,注意利用数形结合来解决.

4.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是( A.f(x)=2x B.f(x)=xsinx C.



D.f(x)=﹣x|x|

【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 【专题】函数思想;定义法;函数的性质及应用. 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质和定义进行判断即可. 【解答】解:A 中 f(x)非奇非偶; B 中 f(x)是偶函数; C 中 f(x)在(﹣∞,0) 、 (0,+∞)分别是减函数, 但在定义域(﹣∞,0)∪(0,+∞)上不是减函数; D 中 f(x)= 故选:D. 【点评】 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断,要求熟练掌握常见函数的奇 偶性和单调性的性质. 是奇函数且在 R 上是减函数.

5. (2014?湖南)执行如图所示的程序框图,如果输入的 t∈[﹣2,2],则输出 的 S 属于( )

A.[﹣6,﹣2] B.[﹣5,﹣1] C.[﹣4,5] 【考点】程序框图. 【专题】算法和程序框图.

D.[﹣3,6]

【分析】根据程序框图,结合条件,利用函数的性质即可得到结论. 【解答】解:若 0≤t≤2,则不满足条件输出 S=t﹣3∈[﹣3,﹣1], 若﹣2≤t<0,则满足条件,此时 t=2t2+1∈(1,9],此时不满足条件,

输出 S=t﹣3∈(﹣2,6], 综上:S=t﹣3∈[﹣3,6], 故选:D 【点评】 本题主要考查程序框图的识别和判断,利用函数的取值范围是解决本题 的关键,比较基础.

6.下列说法中不正确的个数是(



①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的必要不充分条件 ②命题“? x∈R,cosx≤1”的否定是“? x0∈R,cosx0≥1” ③若一个命题的逆命题为真,则它的否命题一定为真. A.3 B.2 C.1 D.0

【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】计算题;方程思想;转化思想;简易逻辑. 【分析】利用充要条件判断①的正误;命题的否定判断②的正误;四种命题的逆 否关系判断③的正误; 【解答】解:对于①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件,不是必要不充分条 件,所以①不正确; 对于②命题“? x∈R,cosx≤1”的否定是“? x0∈R,cosx0≥1”,不满足命题的否定 形式,所以②不正确; 对于③若一个命题的逆命题为真,则它的否命题一定为真.满足四种命题的逆否 关系,正确; 故选:B. 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用,充要条件以及命题的否定,四种命 题的逆否关系,是基础题.

7.若(x6 A.3 B.4

)n 的展开式中含有常数项,则 n 的最小值等于( C.5 D.6



【考点】二项式系数的性质. 【专题】计算题;二项式定理.

【分析】二项式的通项公式 Tr+1=Cnr(x6)n﹣r( 指数为 0,建立方程求出 n 的最小值. 【解答】解:由题意, (x6
r

)r,对其进行整理,令 x 的

)n 的展开式的项为 Tr+1=Cnr(x6)n﹣r(



=Cnr

=Cnr r=0,得 n= r,当 r=4 时,n 取到最小值 5

令 6n﹣ 故选:C.

【点评】本题考查二项式的性质,解题的关键是熟练掌握二项式的项,且能根据 指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为 0,得到 n 的表达式,推测出它 的值.

8.已知 f(x)=2sin(2x+

) ,若将它的图象向右平移

个单位,得到函数 g )

(x)的图象,则函数 g(x)图象的一条对称轴的方程为( A.x= B.x= C.x= D.x=

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】由条件根据 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称 性,可得结论. 【解答】解:f(x)=2sin(2x+ 得到函数 g(x)=2sin[2(x﹣ 令 2x﹣ 为 x= , =kπ+ ) ,若将它的图象向右平移 )+ )]=2sin(2x﹣ + 个单位,

)的图象,

,k∈z,求得 x=

,故函数的图象的一条对称轴的方程

故选:C. 【点评】本题主要考查 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对 称性,属于基础题.

9.已知



,|

|= ,|

|=t,若 P 点是△ABC 所在平面内一点,



=

+

,当 t 变化时, C.2 D.4

的最大值等于(



A.﹣2 B.0

【考点】平面向量的基本定理及其意义. 【专题】计算题;数形结合;数形结合法;平面向量及应用. 【分析】以 A 为坐标原点,建立平面直角坐标系,推导出 B( ,0) ,C(0,t) , P(1,1) ,从而 大值. 【解答】解:以 A 为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示, ∵ ⊥ ,| |= ,| |=t,∴B( ,0) ,C(0,t) , = + , =( ,﹣1) , =(﹣1,t﹣1) ,由此能求出 的最

∵P 点是△ABC 所在平面内一点,且 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴

=(1,0)+(0,1)=(1,1) ,即 P(1,1) , =( ,﹣1) , =(﹣1,t﹣1) , ) ,

=﹣ +1﹣t+1=2﹣( =2, 的最大值等于 0,

当且仅当 t= ,即 t=1 时,取等号. 故选:B.

【点评】 本题考查向量的数量积的最大值的求法, 是基础题, 解题时要认真审题, 注意平面向量坐标运算法则的合理运用.

10.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(



A.

B.

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离. 【分析】几何体为不规则放置的四棱锥,做出棱锥的直观图,利用作差法求出棱 锥的体积即可. 【解答】解:由三视图可知几何体为直三棱柱切去一个三棱锥得到的四棱锥,直 观图如图所示: 其中直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面 ABC 是等腰直角三角形,AB=BC=2,AB⊥BC, 直三棱柱的高 AA1=2,

∴四棱锥 B﹣ACC1A1 的体积 V=V = . 故选 A.

﹣V

=



【点评】 本题考查了空间几何体的三视图, 空间几何体的体积计算, 属于中档题.

11.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球 3 次,一旦发球 成功, 则停止发球, 否则一直发到 3 次为止. 设学生一次发球成功的概率为 p (p ≠0) ,发球次数为 X,若 X 的数学期望 EX>1.75,则 p 的取值范围是( A. (0, ) B. ( ,1) C. (0, ) D. ( ,1) )

【考点】相互独立事件的概率乘法公式;离散型随机变量的期望与方差. 【专题】计算题. 【分析】根据题意,首先求出 X=1、2、3 时的概率,进而可得 EX 的表达式,由 题意 EX>1.75,可得 p2﹣3p+3>1.75,解可得 p 的范围,结合 p 的实际意义,对 求得的范围可得答案. 【解答】解:根据题意,学生发球次数为 1 即一次发球成功的概率为 p,即 P(X=1)=p, 发球次数为 2 即二次发球成功的概率 P(X=2)=p(1﹣p) , 发球次数为 3 的概率 P(X=3)=(1﹣p)2, 则 Ex=p+2p(1﹣p)+3(1﹣p)2=p2﹣3p+3, 依题意有 EX>1.75,则 p2﹣3p+3>1.75, 解可得,p> 或 p< , 结合 p 的实际意义,可得 0<p< ,即 p∈(0, )

故选 C. 【点评】 本题考查期望的计算, 注意解题的最后要结合概率的意义对求出的答案 范围进行取舍.

12.已知函数 f(x)=x3﹣6x2+9x,g(x)= x3﹣

x2+ax﹣ (a>1)若对任意

的 x1∈[0,4],总存在 x2∈[0,4],使得 f(x1)=g(x2) ,则实数 a 的取值范围为 ( ) A. (1, ] B.[9,+∞) C. (1, ]∪[9,+∞) D.[ , ]∪[9,+∞) 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用. 【专题】分类讨论;转化思想;转化法;导数的综合应用. 【分析】求出 f(x)的导数,可得极值点,分别求出 f(0) ,f(1) ,f(3) ,f(4) , 可得值域;再求 g(x)的导数,可得极值点,求出 g(0) ,g(1) ,g(a) ,g(4) , 讨论 a 的范围,分 a>4,1<a<3,3≤a≤4,比较可得值域,再由题意可得 f(x) 的值域包含于 g(x)的值域,得到不等式,解不等式即可得到所求范围. 【解答】解:函数 f(x)=x3﹣6x2+9x,导数为 f′(x)=3x2﹣12x+9=3(x﹣1) (x ﹣3) , 可得 f(x)的极值点为 1,3, 由 f(0)=0,f(1)=4,f(3)=0,f(4)=4, 可得 f(x)在[0,4]的值域为[0,4]; g(x)= x3﹣ x2+ax﹣ (a>1) ,

导数为 g′(x)=x2﹣(a+1)x+a=(x﹣1) (x﹣a) , 当 1<x<a 时,g′(x)<0,g(x)递减; 当 x<1 或 x>a 时,g′(x)>0,g(x)递增. 由 g(0)=﹣ ,g(1)= (a﹣1) ,g(a)= a3﹣ a2﹣ >﹣ ,g(4)=13 ﹣4a, 当 3≤a≤4 时,13﹣4a≤ (a﹣1) , g(x)在[0,4]的值域为[﹣ , (a﹣1)], 由对任意的 x1∈[0,4],总存在 x2∈[0,4],使得 f(x1)=g(x2) ,

可得[0,4]? [﹣ , (a﹣1)], 即有 4≤ (a﹣1) ,解得 a≥9 不成立; 当 1<a<3 时,13﹣4a> (a﹣1) , g(x)在[0,4]的值域为[﹣ ,13﹣4a], 由题意可得[0,4]? [﹣ ,13﹣4a], 即有 4≤13﹣4a,解得 a≤ ,即为 1<a≤ ; 当 a>4 时,可得 g(1)取得最大值,g(4)<﹣3 为最小值, 即有[0,4]? [13﹣4a, (a﹣1)], 可得 13﹣4a≤0,4≤ (a﹣1) ,即 a≥ 解得 a≥9. 综上可得,a 的取值范围是(1, ]∪[9,+∞) . 故选:C. 【点评】本题考查任意性和存在性问题的解法,注意运用转化思想,转化为值域 的包含关系,考查导数的运用以及分类讨论思想方法,考查运算能力,属于中档 题. ,且 a≥9,

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 【考点】等比数列的前 n 项和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】根据等比数列的前 n 项和建立等式,利用 a3 和 q 表示出 a1 与 a2,然后 解关于 q 的一元二次方程,即可求出所求. 【解答】解:∵ ∴a1+a2+a3= 则 a1+a2=3 ∴ 化简得 2q2﹣q﹣1=0 ,则公比 q= 1或 .

解得 q=1 或 故答案为:1 或 【点评】本题主要考查了等比数列的前 n 项和,以及等比数列的通项,同时考查 了运算求解的能力,属于基础题.

14. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现, 红灯持续时间为 40 秒. 若 15 一名行人 来到该路口遇到红灯,则至少需要等待 秒才出现绿灯的概率为 . 【考点】几何概型. 【专题】计算题;方程思想;演绎法;概率与统计. 【分析】求出一名行人前 25 秒来到该路口遇到红灯,即可求出至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率. 【解答】解:∵红灯持续时间为 40 秒,至少需要等待 15 秒才出现绿灯, ∴一名行人前 25 秒来到该路口遇到红灯, ∴至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 故答案为 . 【点评】 本题考查概率的计算, 考查几何概型, 考查学生的计算能力, 比较基础. = .

15. 已知 tanα, tanβ 分别是 lg (6x2﹣5x+2) =0 的两个实根, 则 tan (α+β) = 【考点】两角和与差的正切函数. 【专题】三角函数的求值.

1



【分析】由条件利用一元二次方程根与系数的关系可得 tanα+tanβ 和 tanα?tanβ 的值,从而求得 tan(α+β)的值. 【解答】解:由题意 lg(6x2﹣5x+2)=0, 可得 6x2﹣5x+1=0,tanα,tanβ 分别是 lg(6x2﹣5x+2)=0 的两个实根, ∴tanα+tanβ= ,tanα?tanβ= ,

∴tan(α+β)= 故答案为:1.

=

=1.

【点评】 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系, 两角和的正切公式的应用, 属于中档题.

16.若偶函数 y=f(x) ,x∈R,满足 f(x+2)=﹣f(x) ,且当 x∈[0,2]时, f(x)=2﹣x2,则方程 f(x)=sin|x|在[﹣10,10]内的根的个数为 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【专题】数形结合;数形结合法;函数的性质及应用. 【分析】由题意可得偶函数 y=f(x)为周期为 4 的函数,f(x)=sin|x|是偶函数, 作出函数的图象,的交点的个数即为所求. 【解答】解:∵函数 y=f(x)为偶函数,且满足 f(x+2)=﹣f(x) , ∴f(x+4)=f(x+2+2)=﹣f(x+2)=f(x) , ∴偶函数 y=f(x)为周期为 4 的函数, 由 x∈[0,2]时 f(x)=3﹣x2 可作出函数 f(x)在[﹣10,10]的图象, 同时作出函数 y=sin|x|在[﹣10,10]的图象,交点个数即为所求. 数形结合可得交点个为 10, 故答案为:10. 10 .

【点评】 本题考查函数的周期性和零点, 数形结合是解决问题的关键, 属中档题.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 a(sinA﹣sinB)=(c﹣b) (sinC+sinB) (Ⅰ)求角 C; (Ⅱ)若 c= ,△ABC 的面积为 ,求△ABC 的周长.

【考点】正弦定理. 【专题】方程思想;转化思想;解三角形. 【分析】 (Ⅰ)由已知 a(sinA﹣sinB)=(c﹣b) (sinC+sinB)利用正弦定理,得 a(a﹣b)=(c﹣b) (c+b) ,即 a2+b2﹣c2=ab.再利用余弦定理即可得出. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a2+b2﹣c2=ab.变形为(a+b)2﹣3ab=c2=7,又 S= sinC= ab= ,可得 ab=6,可得 a+b=5.即可得出.

【解答】解: (Ⅰ)由已知 a(sinA﹣sinB)=(c﹣b) (sinC+sinB) 由正弦定理,得 a(a﹣b)=(c﹣b) (c+b) , (2 分) 即 a2+b2﹣c2=ab. (3 分) 所以 cosC= = , . (6 分)

又 C∈(0,π) ,所以 C=

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a2+b2﹣c2=ab.所以(a+b)2﹣3ab=c2=7, (8 分) 又 S= sinC= ab= ,

所以 ab=6, (9 分) 所以(a+b)2=7+3ab=25,即 a+b=5. (11 分) 所以△ABC 周长为 a+b=c=5+ 计算能力,属于中档题. . (12 分) 【点评】 本题考查了正弦定理余弦定理三角形面积计算公式,考查了推理能力与

18. (12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=﹣1+2an (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)若 bn=log2an+1,且数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 +…+ .

【考点】数列递推式;数列的求和. 【专题】综合题;转化思想;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】 (Ⅰ)由数列递推式求出首项,进一步得当 n≥2 时,Sn﹣1=﹣1+2an﹣1, 与原递推式联立可得 an=2an﹣1 (n≥2) , 即{an}是 2 为公比, 1 为首项的等比数列, 再由等比数列的通项公式求得{an}的通项公式; (Ⅱ)把数列通项公式代入 bn=log2an+1,求出数列{bn}的前 n 项和为 Tn,再由裂 项相消法求 +…+ .

【解答】解: (Ⅰ)由已知,有 Sn=﹣1+2an,① 当 n=1 时,a1=﹣1+2a1,即 a1=1. 当 n≥2 时,Sn﹣1=﹣1+2an﹣1,② ①﹣②得 an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1,即 an=2an﹣1(n≥2) . ∴{an}是 2 为公比,1 为首项的等比数列,即 (Ⅱ)由(Ⅰ) ,得 ∴ ∴ . , .

=

=2



【点评】本题考查数列递推式,考查了等差关系的确定,训练了裂项相消法求数 列的前 n 项和,是中档题.

19. (12 分)某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示:全市 100 000 名男 生的身高服从正态分布 N(168,16) .现从某学校高三年级男生中随机抽取 50 名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于 160cm 和 184cm 之间,将测量结 果按如下方式分成 6 组: 第一组[160, 164], 第二组[164, 168], …, 第 6 组[180, 184],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (Ⅰ)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况; (Ⅱ)求这 50 名男生身高在 172cm 以上(含 172cm)的人数;

(Ⅲ)在这 50 名男生身高在 172cm 以上(含 172cm)的人中任意抽取 2 人,该 2 人中身高排名(从高到低)在全市前 130 名的人数记为 ξ,求 ξ 的数学期望. 参考数据: 若 ξ﹣N (μ, ?2) , 则p (μ﹣?<ξ≤μ+?) =0.6826, p (μ﹣2?<ξ≤μ+2?) =0.9544,p(μ﹣3?<ξ≤μ+3?)=0.9974.

【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列;正态分布 曲线的特点及曲线所表示的意义. 【专题】综合题;整体思想;综合法;概率与统计. 【分析】 (I)高三男生的平均身高用组中值×频率,即可得到结论; (II)首先理解频数分布直方图横纵轴表示的意义,横轴表示身高,纵轴表示频 数,即:每组中包含个体的个数.我们可以依据频数分布直方图,了解数据的分 布情况,知道每段所占的比例,从而求出求这 50 名男生身高在 172cm 以上(含 172cm)的人数. (III)先根据正态分布的规律求出全市前 130 名的身高在 172cm 以上,这 50 人 中 172cm 以上的有 2 人,确定 ξ 的可能取值,求出其概率,即可得到 ξ 的分布列 与期望. 【解答】解: (Ⅰ)由直方图,经过计算该校高三年级男生平均身高为

, 高于全市的平均值 168(或者:经过计算该校高三年级男生平均身高为 168.72, 比较接近全市的平均值 168) .…(4 分) (Ⅱ)由频率分布直方图知,后三组频率为(0.02+0.02+0.01)×4=0.2,人数为 0.2×5=10,即这 50 名男生身高在 172 cm 以上(含 172 cm)的人数为 10 人.…

(6 分) (Ⅲ)∵P(168﹣3×4<ξ≤168+3×4)=0.9974,∴ ,0.0013×100 000=130. 所以,全市前 130 名的身高在 180 cm 以上,这 50 人中 180 cm 以上的有 2 人. 随机变量 ξ 可取 0,1,2,于是 , ,

, ∴ .…(12 分)

【点评】此题主要考查了正态分布,考查随机变量的定义及其分布列,并考查了 利用分布列求其期望. 正确理解频数分布直方图横纵轴表示的意义,由频数分布 直方图可以得到什么结论是学习中需要掌握的关键.

20. (12 分) 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面是边长为 2 的菱形, ∠BAD=60°, PB=PD=2, AC∩BD=O. (Ⅰ)证明:PC⊥BD (Ⅱ)若 E 是 PA 的中点,且△ABC 与平面 PAC 所成的角的正切值为 角 A﹣EC﹣B 的余弦值. ,求二面

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质. 【专题】计算题;数形结合;方程思想;转化思想;空间位置关系与距离;空间 角. 【分析】 (Ⅰ)证明 BD⊥AC,BD⊥PO,推出 BD⊥面 PAC,然后证明 BD⊥PC. (Ⅱ)说明 OE 是 BE 在面 PAC 上的射影,∠OEB 是 BE 与面 PAC 所成的角.利用 Rt△BOE,在 Rt△PEO 中,证明 PO⊥AO.推出 PO⊥面 ABCD.

方法一:说明∠OHB 是二面角 A﹣EC﹣B 的平面角.通过求解三角形求解二面角 A﹣EC﹣B 的余弦值. 方法二: 以 建立空间直角坐标系, 求出平面 BEC 的法向量, 平面 AEC

的一个法向量,利用空间向量的数量积求解即可. 【解答】 (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)因为底面是菱形,所以 BD⊥AC. (1 分)

又 PB=PD,且 O 是 BD 中点,所以 BD⊥PO. (2 分) PO∩AC=O,所以 BD⊥面 PAC. (3 分) 又 PC? 面 PAC,所以 BD⊥PC. (4 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,OE 是 BE 在面 PAC 上的射影, 所以∠OEB 是 BE 与面 PAC 所成的角. 在 Rt△BOE 中, 在 Rt△PEO 中, 所以
2

,BO=1,所以 , ,
2

. .

,所以

,又
2

所以 PO +AO =PA ,所以 PO⊥AO. (6 分) 又 PO⊥BD,BD∩AO=O,所以 PO⊥面 ABCD. (7 分) 方法一: 过 O 做 OH⊥EC 于 H,由(Ⅰ)知 BD⊥面 PAC,所以 BD⊥EC,所以 EC⊥面 BOH, BH⊥EC, 所以∠OHB 是二面角 A﹣EC﹣B 的平面角. (9 分) 在△PAC 中, 所以 ,所以 PA2+PC2=AC2,即 AP⊥PC. . (10 分) ,得 , (11 分)

, 分) 方法二: 如图,以

,所以二面角 A﹣EC﹣B 的余弦值为

. (12

建立空间直角坐标系,

,B(0,1,0) ,



, 分) 设面 BEC 的法向量为





. (9

,则





,得方程的一组解为





. (10 分) , (11 分) ,所以二面角 A﹣EC﹣B 的余弦值为

又面 AEC 的一个法向量为 所以 . (12 分)

【点评】本题考查二面角的平面角的求法,直线与平面垂直的判定定理的应用, 考查空间想象能力以及计算能力.

21. (12 分)已知函数 f(x)=(x﹣1)ex+ax2 有两个零点. (Ⅰ)求 a 的取值范围; (Ⅱ)设 x1,x2 是 f(x)的两个零点,证明 x1+x2<0. 【考点】利用导数研究函数的极值;根的存在性及根的个数判断.

【专题】计算题;方程思想;转化思想;函数的性质及应用;导数的综合应用. 【分析】 (Ⅰ)求出 f'(x)=xex+2ax=x(ex+2a) ,通过(i)当 a>0 时,判断函数 的单调性,判断零点个数; (ii)若 a=0,判断 f(x)只有一个零点. (iii)若 a<0, 利用单调性判断零点个数即可. (Ⅱ)不妨设 x1<x2.推出 x1<﹣x2.利用函数 f(x)在(﹣∞,0)单调递减, 证明 f(﹣x2)<0.令 g(x)=(﹣x﹣1)e﹣x+(1﹣x)ex,x∈(0,+∞) . 利用 g'(x)=﹣x(e﹣x+ex)<0,转化证明即可. 【解答】 (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)f'(x)=xex+2ax=x(ex+2a) (1 分) (i)当 a>0 时, 函数 f (x) 在 (﹣∞, 0) 单调递减, 在 (0, +∞) 单调递增. 分) ∵f(0)=﹣1<0,f(2)=e2+4a>0, b 满足 b<﹣2 且 b<lna,则 f(b)>a(b﹣1)+ab2=a(b2+b﹣1)>a(4﹣2﹣ 1)>0, (3 分) 所以 f(x)有两个零点. 分) (ii)若 a=0,则 f(x)=(x﹣1)ex,故 f(x)只有一个零点. (iii)若 a<0,由(I)知, 当 ,则 f(x)在(0,+∞)单调递增,又当 x≤0 时,f(x)<0,故 f(x) (4 (2

不存在两个零点; 当 ,则函数在(ln(﹣2a) ,+∞)单调递增;在(0,ln(﹣2a) )单调递 (6 (7 分)

减.又当 x≤1 时,f(x)<0,故不存在两个零点. 分) 综上所述,a 的取值范围是(0,+∞) . 证明: (Ⅱ)不妨设 x1<x2.

由(Ⅰ)知 x1∈(﹣∞,0) ,x2∈(0,+∞) ,﹣x2∈(﹣∞,0) ,则 x1+x2<0 等价于 x1<﹣x2. 因为函数 f(x)在(﹣∞,0)单调递减,

所以 x1<﹣x2 等价于 f(x1)>f(﹣x2) ,即证明 f(﹣x2)<0. (8 分) 由 ,得 , , (9 分) 令 g(x)=(﹣x﹣1)e﹣x+(1﹣x)ex,x∈(0,+∞) . (10 分) g'(x)=﹣x(e﹣x+ex)<0,g(x)在(0,+∞)单调递减,又 g(0)=0, 所以 g(x)<0, 所以 f(﹣x2)<0,即原命题成立. (12 分) 【点评】本题考查函数的极值,函数的单调性以及函数的零点个数的问题,考查 分类讨论思想以及转化思想的应用,考查计算能力.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 22. (10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 (θ 为

参数) ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标 方程是 ρsin(θ+ )=2

(Ⅰ)直接写出 C1 的普通方程和极坐标方程,直接写出 C2 的普通方程; (Ⅱ)点 A 在 C1 上,点 B 在 C2 上,求|AB|的最小值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【专题】综合题;转化思想;数学模型法;坐标系和参数方程. 【分析】 (Ⅰ)把圆 C1 的参数方程变形,两式平方作和可得普通方程,进一步求 得极坐标方程,展开两角和的正弦,结合 x=ρcosθ,y=ρsinθ 可得 C2 的普通方程; (Ⅱ)由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,可得直线和圆相离,由点 到直线的距离减去圆的半径求得|AB|的最小值. 【解答】解: (Ⅰ)由
2

,得

,两式平方作和得: (x+2)

+y2=4,

C1 的极坐标方程为 ρ=﹣4cosθ, 由 ρsin(θ+ 即 )=2 ,得 , ,

得 x+y﹣4=0. (Ⅱ)C1 是以点(﹣2,0)为圆心,半径为 2 的圆,C2 是直线. 圆心到直线 C2 的距离为 ∴|AB|的最小值为 . >2,直线和圆相离.

【点评】本题考查解得曲线的极坐标方程,考查参数方程和普通方程的互化,训 练了直线与圆位置关系的应用,是中档题.

[选修 4-5:不等式选讲] 23.已知 f(x)=|x﹣a|+|x﹣1| (Ⅰ)当 a=2,求不等式 f(x)<4 的解集; (Ⅱ)若对任意的 x,f(x)≥2 恒成立,求 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法;函数恒成立问题. 【专题】转化思想;转化法;不等式. 【分析】 (Ⅰ)将 a 的值带入,通过讨论 x 的范围,求出不等式的解集即可; (Ⅱ)根据绝对值的性质得到关于 a 的不等式,解出即可. 【解答】解: (Ⅰ)当 a=2 时,不等式 f(x)<4,即|x﹣2|+|x﹣1|<4, 可得 ,或 或 ,

解得:﹣ <x< ,所以不等式的解集为{x|﹣ <x< }. (Ⅱ)∵|x﹣a|+|x﹣1|≥|a﹣1|,当且仅当(x﹣a) (x﹣1)≤0 时等号成立, 由|a﹣1|≥2,得 a≤﹣1 或 a≥3, 即 a 的取值范围为(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) . 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题,考查绝对值的性质,是一道基础题.


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