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3.4基本不等式(第2课时)课件


3.4 基本不等式
? 第二课时

一、知识回顾
1.重要不等式:

a ? b ? 2ab(a、b ? R ? ),当且仅当a ? b时取" ? "号
2 2

2.基本不等式: a?b ? ab (a、b ? R ?),当且仅当a ? b时取 " ? &q

uot;号. 2
a?b 为a, b 的算术平均数,称 ab为a, b 的 3. 我们称 2

几何平均数;
2 2

a ? b ? 2ab和

a?b 2

? ab 成立的条件是不同的:

前者要求a,b都是实数,而后者要求a,b都是正数。

1 注意等号成 (1)a ? ? 2(a ? 0), a 立的条件 1 a ? ? ?2(a ? 0) a b a (2) ? ? 2 (a ? 0, b ? 0) a b a2 (3) ? b ? 2a (b ? 0) b

2.利用两个定理求最大、最小值问题
若a, b ? R , a ? b ? S , ab ? P则
⑴如果P是定值, 那么当a=b时,S的值最小; ⑵如果S是定值, 那么当a=b时,P的值最大. 注意: ①前提:“一正、二定、三相等”,如果没有满足 前提,则应根据题目创设情境;还要注意选择恰 当的公式; ②“和定积最大,积定和最小”,可用来求最值; ③基本不等式具有放缩功能,如果有多处用到,请 注意每处取等号的条件是否一致.
?

二、典型例题
例1   (1)已知x ? 0, 求x ?
( 2 )已知x ? 0, 求x ?

1 x 1
x

的最值;
的最值;
1 x?3

( 3) 若x ? 3, 函数y ? x ? 有最值,并求其最值。

, 当x为何值时,函数

解: x?

1 x

? 2 x? 1 x

1 x

? 2,

当且仅当x ?

, 即x ? 1时, 原式有最小值2.

1 1 1 2.解 : x ? ? ?[( ? x ) ? (? )] ? ?2 (? x) ? (? ) ? ?2, x x x 1  当且仅当 ? x ? ? , 即x ? ?1时有最大值 ? 2. x
3.解 :   ? x ? 3, 1 1 ?y ? x ? ? ( x - 3) ? ?3 x ?3 x -3 1    ? 2 ( x ? 3) ? ? 3 ? 5. x ?3 1 当且仅当x ? 3 ? , 即x ? 4时,函数有最大值, x ?3 最大值为 5。

例2 用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜 园,问这个矩形菜园的长和宽各为多少时,菜 园的面积最大,最大面积是多少?

结论2:两个正数和为定值,则积有最大值

Ex:用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩 形,应当怎样折?

例3 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积200m2 的三级污水处理池(平面图如上图)。如果池四周 围墙建造单价400元/m,中间两道隔墙建造单价为 248元/m,池底建造单价为80元/m2,水池所有墙 的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使 总造价最低,并求出最低造价。 分析:设污水处理池的长为 x m,总造价为y元, (1)建立 x 的函数 y ; (2)求y的最值.

下面解法正确吗?为什么?
1 2 1、已知x ? 时,求x ? 1的最小值 ; 2 解 : x ? 1 ? 2 x ? 1 ? 2 x ,当且仅当x ? 1
2 2 2

即x ? 1时, x ? 1有最小值2 x ? 2.
2

?
?

4 2、已知x ? 3,求x ? 的最小值 . x 4 4 解 : x ? ? 2 x ? ? 4,? 原式有最小值 4. x x 4 当且仅当x ? ,即x ? 2时, 等号成立 . x

三、练习巩固

1.下列函数的最小值为 2的是 ____ :
1 A、y ? x ? x
C、y ? x ? 2 ?
2

1 π B、y ? sin x ? (0 ? x ? ) sin x 2
1 x2 ? 2

1 π D、y ? tan x ? (0 ? x ? ) tan x 2

2.求以下问题中的最值 :
9 (1)若a ? 0,则当a ? ____ 时,4a ? 有最小值____; a (2)正数x, y满足x ? y ? 20, lg x ? lg y的最大值____;

(3) x, y都为正数, 且2 x ? y ? 2, xy的最大值是____ .
3、求证:在直径为d的圆的内接矩形中,面积
d2 最大的是正方形,这个正方形的面积等于 . 2

4、求以下问题中的最值 :

4 (1)设x ? 1, x ? 1 ? 的最小值是____; x ?1

(2)设0 ? x ? 1,则函数y ? x(1 ? x )的最大值是____;

四、知识小结 重要

不等式

a ? b ? 2ab a ? b ? 2 ab (a、b∈R+)
2 2

结论: (1)两个正数积为定值,和有最小值。
(2)两个正数和为定值,积有最大值。 应用要点:一正、二定 、三相等

五、课外作业

P100 练习3.4 P100 A组3.4 B组1.2


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