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高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解


高考总复习

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
一、选择题 1.(2010· 山东日照模考)a=?2xdx,b=?2exdx,c=?2sinxdx,则 a、b、c 的大小关系是

?0

?0

?0

(

) A.a<c&l

t;b C.c<b<a [答案] D [解析] 1 a=?2xdx= x2|02=2,b=?2exdx=ex|02=e2-1>2,c=?2sinxdx=-cosx|02=1 2 ? ? ?
0 0 0

B.a<b<c D.c<a<b

-cos2∈(1,2), ∴c<a<b. 2.(2010· 山东理,7)由曲线 y=x2,y=x3 围成的封闭图形面积为( 1 A. 12 [答案] A [解析]
?y=x2 ? 由? 3 得交点为(0,0),(1,1). ? ?y=x

)

1 B. 4

1 C. 3

7 D. 12

1 3 1 4 1 ∴S=?1(x2-x3)dx= ?3x -4x ??01= . ? ?? 12 ?
0

[点评]

图形是由两条曲线围成的时,其面积是上方曲线对应函

数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分,请再做下题: (2010· 湖南师大附中)设点 P 在曲线 y=x2 上从原点到 A(2,4)移动, 如果把由直线 OP, 直 线 y=x2 及直线 x=2 所围成的面积分别记作 S1,S2.如图所示,当 S1=S2 时,点 P 的坐标是 ( ) 4 16 A.?3, 9 ? ? ? 4 15 C.?3, 7 ? ? ? [答案] A t3 [解析] 设 P(t,t2)(0≤t≤2),则直线 OP:y=tx,∴S1=?t (tx-x2)dx= ;S2=?2(x2- 6 ? ?
0 t

4 16 B.?5, 9 ? ? ? 4 13 D.?5, 7 ? ? ?

4 16 8 t 4 tx)dx= -2t+ ,若 S1=S2,则 t= ,∴P?3, 9 ?. ? ? 3 6 3 3.由三条直线 x=0、x=2、y=0 和曲线 y=x3 所围成的图形的面积为( A.4 4 B. 3 18 C. 5 D.6
含详解答案

3

)

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[答案] A x4 [解析] S=?2x3dx= 4 ?02=4. ? ?
0

4.(2010· 湖南省考试院调研)?1-1(sinx+1)dx 的值为(

?

)

A.0 C.2+2cos1 [答案] B

B.2 D.2-2cos1

[解析] ?1-1(sinx+1)dx=(-cosx+x)|-11=(-cos1+1)-(-cos(-1)-1)=2. ? 5.曲线 y=cosx(0≤x≤2π)与直线 y=1 所围成的图形面积是( A.2π 3π C. 2 [答案] A [解析] 如右图, S=∫02π(1-cosx)dx =(x-sinx)|02π=2π. [点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决,但若把积分区间改为 B.3π D.π )

?π,π?,则对称性就无能为力了. ?6 ?
6.函数 F(x)=?x t(t-4)dt 在[-1,5]上(

?0

)

A.有最大值 0,无最小值 32 B.有最大值 0 和最小值- 3 32 C.有最小值- ,无最大值 3 D.既无最大值也无最小值 [答案] B [解析] F′(x)=x(x-4),令 F′(x)=0,得 x1=0,x2=4, 7 32 25 ∵F(-1)=- ,F(0)=0,F(4)=- ,F(5)=- . 3 3 3 32 ∴最大值为 0,最小值为- . 3 [点评] 一般地,F(x)=?x φ(t)dt 的导数 F′(x)=φ(x).

?0

1 7.已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2+n,函数 f(x)=?x dt,若 f(x)<a3,则 x 的取 ?t
1

含详解答案

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值范围是( A.?

) B.(0,e21) D.(0,e11)

3 ? ? 6 ,+∞?
-11

C.(e

,e)

[答案] D 1 [解析] f(x)=?x dt=lnt|1x=lnx,a3=S3-S2=21-10=11,由 lnx<11 得,0<x<e11. ?t
1

8.(2010· 福建厦门一中)如图所示,在一个长为 π,宽为 2 的矩形 OABC 内,曲线 y= sinx(0≤x≤π)与 x 轴围成如图所示的阴影部分,向矩形 OABC 内随机投一点(该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的),则所投的点落在阴影部分的概率是( )

1 A. π [答案] A [解析]

2 B. π

3 C. π

π D. 4

由图可知阴影部分是曲边图形,考虑用定积分求出其面积.由题意得 S=?π ?
0

sinxdx=-cosx|0π=-(cosπ-cos0)=2,再根据几何概型的算法易知所求概率 P= 2 1 = . 2π π

S = S矩形OABC

?x+2?-2≤x<0? ? 9.(2010· 吉林质检)函数 f(x)=? 的图象与 x 轴所围成的图形面积 S 为 π ?2cosx?0≤x≤2? ?
( ) 3 A. 2 [答案] C π π [解析] 面积 S=∫ -2f(x)dx=?0-2(x+2)dx+∫ 02cosxdx=2+2=4. 2 2 ? 10.(2010· 沈阳二十中)设函数 f(x)=x-[x],其中[x]表示不超过 x 的最大整数,如[-1.2] x =-2,[1.2]=1,[1]=1.又函数 g(x)=- ,f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为 m,f(x)与 g(x) 3 的图象交点的个数记为 n,则?n g(x)dx 的值是( B.1 C.4 1 D. 2

?m

)

5 A.- 2

4 B.- 3
含详解答案

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5 C.- 4 [答案] A

7 D.- 6

[解析] 由题意可得,当 0<x<1 时,[x]=0,f(x)=x,当 1≤x<2 时,[x]=1,f(x)=x-1, 所以当 x∈(0,2)时, 函数 f(x)有一个零点, 由函数 f(x)与 g(x)的图象可知两个函数有 4 个交点, x x2 5 所以 m=1,n=4,则?n g(x)dx=?4?-3?dx= - 6 ?14=- . ? 2 ? ?? ?
m 1

11.(2010· 江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛,比赛规则如下:甲从区间[0,1] 上随机等可能地抽取一个实数记为 b,乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为 c(b、 c 可以相等),若关于 x 的方程 x2+2bx+c=0 有实根,则甲获胜,否则乙获胜,则在一场比 赛中甲获胜的概率为( 1 A. 3 [答案] A [解析] 方程 x2+2bx+c=0 有实根的充要条件为 Δ=4b2-4c≥0,即 b2≥c, 由题意知,每场比赛中甲获胜的概率为 p= 2 B. 3 ) 1 C. 2 3 D. 4

? b db ?0 1
1×1

1 2

= . 3

12.(2010· 吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为 O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),曲 线 y=x2(x≥0)与 x 轴,直线 x=1 构成区域 M,现将一个质点随机地投入正方形中,则质点 落在区域 M 内的概率是( 1 A. 2 1 C. 3 [答案] C [解析] 如图, 正方形面积 1, 区域 M 的面积为 S=?1x2dx ) 1 B. 4 2 D. 5

?0

1 1 1 = x3|01= ,故所求概率 p= . 3 3 3 二、填空题 13.(2010· 芜湖十二中)已知函数 f(x)=3x2+2x+1,若?1-1f(x)dx=2f(a)成立,则 a=

?

________. 1 [答案] -1 或 3 [解析] ∵?1-1f(x)dx=?1-1(3x2+2x+1)dx=(x3+x2+x)|-11=4,?1-1f(x)dx=2f(a),

?

?

?

∴6a2+4a+2=4,

含详解答案

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1 ∴a=-1 或 . 3 π 1 14.已知 a=∫ 0(sinx+cosx)dx,则二项式(a x- )6 的展开式中含 x2 项的系数是 2 x ________. [答案] -192 π π π π [解析] 由已知得 a=∫ 0(sinx+cosx)dx=(-cosx+sinx)| 0=(sin -cos )-(sin0-cos0) 2 2 2 2 =2, (2 x- 1 6 - - ) 的展开式中第 r+1 项是 Tr+1=(-1)r×C6r×26 r×x3 r, 3-r=2 得, 令 r=1, x

故其系数为(-1)1×C61×25=-192. 15.抛物线 y2=2x 与直线 y=4-x 围成的平面图形的面积为________. [答案] 18
? 2 ?y =2x y2 [解析] 由方程组? 解得两交点 A(2,2)、B(8,-4),选 y 作为积分变量 x= 、 2 ?y=4-x ?

x=4-y y2 y2 y3 ∴S=?2-4[(4-y)- ]dy=(4y- - )|-42=18. 2 2 6 ?

4 16.(2010· 安徽合肥质检)抛物线 y2=ax(a>0)与直线 x=1 围成的封闭图形的面积为 , 3 若直线 l 与抛物线相切且平行于直线 2x-y+6=0,则 l 的方程为______. [答案] 16x-8y+1=0 2 [解析] 由题意知?1 axdx= ,∴a=1, 3 ?
0

含详解答案

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设 l:y=2x+b 代入 y2=x 中,消去 y 得, 4x2+(4b-1)x+b2=0, 1 由 Δ=0 得,b= , 8 ∴l 方程为 16x-8y+1=0. 17.(2010· 福建福州市)已知函数 f(x)=-x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与 x 1 轴在原点处相切,且 x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为 ,则 a 的值为 12 ________.

[答案] -1 [解析] f ′(x)=-3x2+2ax+b,∵f ′(0)=0,∴b=0,∴f(x)=-x3+ax2,令 f(x)=0, 得 x=0 或 x=a(a<0). 1 1 S 阴影=-?0(-x3+ax2)dx= a4= ,∴a=-1. 12 12 ?
a

三、解答题 18.如图所示,在区间[0,1]上给定曲线 y=x2,试在此区间内确定 t 的值,使图中阴影 部分的面积 S1+S2 最小.

2 [解析] 由题意得 S1=t· -?t x2dx= t3, t2 3 ?
0

含详解答案

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2 1 S2=?1x2dx-t2(1-t)= t3-t2+ , 3 3 ?
t

4 1 所以 S=S1+S2= t3-t2+ (0≤t≤1). 3 3 1 又 S′(t)=4t2-2t=4t?t-2?, ? ? 1 令 S′(t)=0,得 t= 或 t=0. 2 1 1 因为当 0<t< 时,S′(t)<0;当 <t≤1 时,S′(t)>0. 2 2 1 1 所以 S(t)在区间?0,2?上单调递减,在区间?2,1?上单调递增. ? ? ? ? 1 1 所以,当 t= 时,Smin= . 2 4

含详解答案


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