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2013高考数学(理)一轮复习教案:第三篇 导数及其应用第1讲 变化率与导数、导数的运算


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第1讲
【2013 年高考会这样考】

变化率与导数、导数的运算

1.利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程. 2.考查导数的有关计算,尤其是简单的函数求导. 【复习指导】 本讲复习时,应充分利用具体实际情景,理解导数的意义及几何意义,应能灵活 运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导.

基础梳理 1.函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为 f?x2?-f?x1? . x2-x1

Δy 若 Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为Δx. 2.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 (1)定义 Δy →0 称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 liΔxm Δx= →0 liΔxm f?x0+Δx?-f?x0? 为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作 f′(x0)或 y′|x=x0, Δx

Δy →0 即 f′(x0)=liΔxm Δx. (2)几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点(x0,f(x0))处切线 的斜率.相应地,切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 3.函数 f(x)的导函数

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→0 称函数 f′(x)=liΔxm

f?x+Δx?-f?x? 为 f(x)的导函数,导函数有时也记作 y′. Δx

4.基本初等函数的导数公式 若 f(x)=c,则 f′(x)=0; 若 f(x)=xα(α∈R),则 f′(x)=αxα-1; 若 f(x)=sin x,则 f′(x)=cos x; 若 f(x)=cos x,则 f′(x)=-sin x; 若 f(x)=ax(a>0,且 a≠1),则 f′(x)=axln_a; 若 f(x)=ex,则 f′(x)=ex; 1 若 f(x)=logax(a>0,且 a≠1),则 f′(x)=xln a; 1 若 f(x)=ln x,则 f′(x)= . x 5.导数四则运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x); (2)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ? f?x? ? ?′= (3)? g ? x ? [g?x?]2 ? ? 6.复合函数的求导法则 复合函数 y = f(g(x)) 的导数和函数 y = f(u) , u = g(x) 的导数间的关系为 yx′= yu′· ux′. (g(x)≠0).

一个区别 曲线 y=f(x)“在”点 P(x0,y0)处的切线与“过”点 P(x0,y0)的切线的区别: 曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线是指 P 为切点,若切线斜率存在时,切线斜率 为 k=f′(x0),是唯一的一条切线;曲线 y=f(x)过点 P(x0,y0)的切线,是指切线经 过 P 点,点 P 可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条. 两种法则 (1)导数的四则运算法则. (2)复合函数的求导法则. 三个防范
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1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆. 2.要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别. 3.正确分解复合函数的结构,由外向内逐层求导,做到不重不漏. 双基自测 1.下列求导过程中 1 1 ?1? ?ln x? ①? x?′=-x2;②( x)′= ;③(logax)′=?ln a?′= ? ? ? ? 2 x 1 x x xln a xln a x xln a;④(a )′=(eln a )′=(e )′=e ln a=a ln a 其中正确的个数是( A.1 B.2 C.3 答案 D 2.(人教 A 版教材习题改编)函数 f(x)=(x+2a)(x-a)2 的导数为( A.2(x2-a2) B.2(x2+a2) C.3(x2-a2) D.3(x2+a2) 解析 f′(x)=(x-a)2+(x+2a)[2(x-a)]=3(x2-a2). 答案 C 3.(2011· 湖南)曲线 y= 1 A.-2 1 B.2 sin x 1 ?π ? -2在点 M?4,0?处的切线的斜率为( ? ? sin x+cos x 2 C.- 2 2 D. 2 ). ). ). D.4

解析 本小题考查导数的运算、导数的几何意义,考查运算求解能力. y′= cos x?sin x+cos x?-sin x?cos x-sin x? 1 π 1 = ,把 x=4代入得导数值为2. ?sin x+cos x?2 1+sin 2x

答案 B 4.(2011· 江西)若 f(x)=x2-2x-4ln x,则 f′(x)>0 的解集为( A.(0,+∞) C.(2,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) D.(-1,0) ).

4 2?x-2??x+1? 解析 令 f′(x)=2x-2-x = >0,利用数轴标根法可解得-1<x<0 x 或 x>2,又 x>0,所以 x>2.故选 C. 答案 C
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5.如图,函数 f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A,B,C 的坐标分别为(0,4),(2,0), →0 (6,4),则 f(f(0))=______;liΔxm f?1+Δx?-f?1? =________(用数字作答). Δx

答案 2

-2

考向一

导数的定义

【例 1】?利用导数的定义求函数 f(x)=x3 在 x=x0 处的导数,并求曲线 f(x)=x3 在 x =x0 处切线与曲线 f(x)=x3 的交点. [审题视点] 正确理解导数的定义是求解的关键.
3 f?x?-f?x0? x3-x0 解 f′(x0)=xlim →x0 x-x0 =xlim →x0 x-x0 2 2 2 =xlim →x0 (x +xx0+x0)=3x0.

曲线 f(x)=x3 在 x=x0 处的切线方程为
2 y-x3 (x-x0), 0=3x0· 3 y=3x2 0x-2x0,由? 3 ?y=x , 2 3 ?y=3x0x-2x0,



得(x-x0)2(x+2x0)=0,解得 x=x0,x=-2x0.
3 若 x0≠0,则交点坐标为(x0,x3 0),(-2x0,-8x0);

若 x0=0,则交点坐标为(0,0). Δy 利用定义求导数的一般过程是: (1)求函数的增量 Δy; (2)求平均变化率Δx; Δy →0 (3)求极限 liΔxm Δx. 【训练 1】 利用导数的定义证明奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数. 证明 法一 设 y=f(x)是奇函数,即对定义域内的任意 x 都有 f(-x)=-f(x) f?x+Δx?-f?x? Δx
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→0 f′(x)=liΔxm

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→0 则 f′(-x)=liΔxm →0 =liΔxm

f?-x+Δx?-f?-x? Δx

f?x-Δx?-f?x? =f′(x) -Δx

因此 f′(x)为偶函数,同理可证偶函数的导数是奇函数. 法二 设 y=f(x)是奇函数,即对定义域内的任意 x 都有 f(-x)=-f(x),即 f(x)=-f(-x) 因此 f′(x)=[-f(-x)]′=- [f(-x)]′=f′(-x) 则 f′(x)为偶函数 同理可证偶函数的导数是奇函数. 考向二 【例 2】?求下列各函数的导数: (1)y= x+x5+sin x ; x2 导数的运算

(2)y=(x+1)(x+2)(x+3); x? x? (3)y=sin2?1-2cos24?; ? ? (4)y= 1 1 + ; 1- x 1+ x

[审题视点] 先把式子化为最简式再进行求导. 1 x2+x5+sin x 3 sin x 解 (1)∵y= =x-2+x3+ x2 , x2 ? 3? ∴y′=?x-2?′+(x3)′+(x-2sin x)′ ? ? 3 5 =-2x-2+3x2-2x-3sin x+x-2cos x. (2)法一 y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6, ∴y′=3x2+12x+11. 法二 y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′ =[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)· (x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)
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=3x2+12x+11. x? x? 1 (3)∵y=sin2?-cos2?=-2sin x, ? ? 1 1 ? 1 ? ∴y′=?-2sin x?′=-2(sin x)′=-2cos x. ? ? (4)y= 1+ x+1- x 1 1 2 + = = , 1- x 1+ x ?1- x??1+ x? 1-x

-2?1-x?′ 2 ? 2 ? ∴y′=?1-x?′= = . ?1-x?2 ?1-x?2 ? ? (1)熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是正确求导的基础. (2)必要时对于某些求导问题可先化简函数解析式再求导. 【训练 2】 求下列函数的导数: (1)y=xnex; cos x (2)y= sin x ; (3)y=exln x; (4)y=(x+1)2(x-1). 解 (1)y′=nxn-1ex+xnex=xn-1ex(n+x). (2)y′= -sin2x-cos2x 1 =- 2 sin x sin2x.

1 x? 1 ? ? +ln x?. (3)y′=exln x+ex· x=e ? x ? (4)∵y=(x+1)2(x-1)=(x+1)(x2-1)=x3+x2-x-1, ∴y′=3x2+2x-1. 考向三 【例 3】?求下列复合函数的导数. (1)y=(2x-3)5;(2)y= 3-x; π? ? (3)y=sin2?2x+3?;(4)y=ln(2x+5). ? ? [审题视点] 正确分解函数的复合层次,逐层求导. 解 (1)设 u=2x-3,则 y=(2x-3)5, 由 y=u5 与 u=2x-3 复合而成, ∴y′=f′(u)· u′(x)=(u5)′(2x-3)′=5u4· 2
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求复合函数的导数

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=10u4=10(2x-3)4. (2)设 u=3-x,则 y= 3-x. 1 由 y=u2与 u=3-x 复合而成. 1 1 1 y′=f′(u)· u′(x)=(u2)′(3-x)′=2u-2(-1) 3-x 1 1 1 =-2u-2=- = . 2 3-x 2x-6 π (3)设 y=u2,u=sin v,v=2x+3,

则 yx′=yu′· uv′· vx′=2u· cos v· 2 π? π? 2π? ? ? ? =4sin?2x+3?· cos?2x+3?=2sin?4x+ 3 ?. ? ? ? ? ? ? (4)设 y=ln u,u=2x+5,则 yx′=yu′· ux′ y′= 1 2 · (2x+5)′= . 2x+5 2x+5 由复合函数的定义可知,中间变量的选择应是基本函数的结构,解这类 问题的关键是正确分析函数的复合层次,一般是从最外层开始,由外向内,一层 一层地分析,把复合函数分解成若干个常见的基本函数,逐步确定复合过程. 【训练 3】 求下列函数的导数: (1)y= x2+1; (3)y=e-xsin 2x; 解 (1)y′= 2 (2)y=sin22x; (4)y=ln 1+x2. 1 x · 2x= 2 , 2 x +1 x +1

(2)y′=(2sin 2x)(cos 2x)×2=2sin 4x (3)y′=(-e-x)sin 2x+e-x(cos 2x)×2 =e-x(2cos 2x-sin 2x). (4)y′= 1 1 x 2x= . 2· 2· 1 + x2 1+x 2 1+x

规范解答 6——如何求曲线上某一点的切线方程
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【问题研究】 利用导数的几何意义求函数在某一点的坐标或某一点处的切线方程 是高考常常涉及的问题.这类问题最容易出现的错误就是分不清楚所求切线所过的 点是不是切点而导致错误., 【解决方案】 解这类问题的关键就是抓住切点.看准题目所求的是“在曲线上某点 处的切线方程”还是“过某点的切线方程”,然后求某点处的斜率,用点斜式写 出切线方程. 1-a 【示例】?(本题满分 12 分)(2010· 山东)已知函数 f(x)=ln x-ax+ x -1(a∈R). (1)当 a=-1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; 1 (2)当 a≤2时,讨论 f(x)的单调性. (1)求出在点(2,f(2))处的斜率及 f(2),由点斜式写出切线方程; (2)求 f′(x),再对 a 分类讨论. 2 [解答示范] (1)当 a=-1 时,f(x)=ln x+x+ x-1, x2+x-2 x∈(0,+∞).所以 f′(x)= x2 ,x∈(0,+∞),(1 分) 因此 f′(2)=1,即曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为 1. 又 f(2)=ln 2+2, 所以曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y-(ln 2+2)=x-2,即 x-y+ln 2=0.(3 分) 1-a a-1 ax2-x+1-a 1 (2)因为 f(x)=ln x-ax+ x -1,所以 f′(x)=x-a+ x2 =- ,x∈ x2 (0,+∞).(4 分) 令 g(x)=ax2-x+1-a,x∈(0,+∞). ①当 a=0 时,g(x)=-x+1,x∈(0,+∞), 所以当 x∈(0,1)时,g(x)>0, 此时 f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈(1,+∞)时,g(x)<0,此时 f′(x)>0,函数 f(x)单调递增;(6 分) ②当 a≠0 时,由 f′(x)=0, 1 即 ax2-x+1-a=0,解得 x1=1,x2=a-1.
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1 a.当 a=2时,x1=x2,g(x)≥0 恒成立,此时 f′(x)≤0,函数 f(x)在(0,+∞)上单 调递减;(7 分) 1 1 b.当 0<a<2时,a-1>1>0. x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 1 ? ? ?1 ? x∈?1,a-1?时, g(x)<0, 此时 f′(x)>0, 函数 f(x)单调递增; x∈?a-1,+∞?时, ? ? ? ? g(x)>0,此时 f′(x)<0,函数 f(x)单调递减;(9 分) 1 c.当 a<0 时,由于a-1<0,x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f′(x)<0,函数 f(x)单调 递减; x∈(1,+∞)时,g(x)<0,此时 f′(x)>0,函数 f(x)单调递增.(11 分) 综上所述: 当 a≤0 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减, 函数 f(x)在(1,+∞)上单调递增; 1 当 a=2时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减; 1 当 0<a<2时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减, 1 ? ? 函数 f(x)在?1,a-1?上单调递增, ? ? ?1 ? 函数 f(x)在?a-1,+∞?上单调递减.(12 分) ? ? 求解切线问题的关键是切点坐标,无论是已知切线斜率还是切线经过某 一点,切点坐标都是化解难点的关键所在.

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