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2011年湖南省普通高中学业水平考试数学试题


2011 年湖南省普通高中学业水平考试 数学试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? {a, b} , N ? {b, c} ,则 M A. {a, b} B. {b, c}

N 等于(
C. {a, c}

D. {b} ).

2.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体是( A.圆柱 B. 三棱柱 C.球 D.四棱柱下列函数中, 3.函数 f ( x) ? sin x, x ? R 的最小正周期是( ) A. ? C. 4? B. 2? D. ?

正视图

侧视图

2
) C.0 )
1 x

俯视图

4.已知向量 a ? (2,1), b ? (1, x). 若 a ? b ,则实数 x 的值为( A. ?2 B. ?1 5.在区间 (0, ??] 为增函数的是( A. f ( x) ? ? x B. f ( x) ?

D.1 D. f ( x ) ? ? ? 2
?1? ? ?
x

C. f ( x) ? lg x

6.某检测箱中有 10 袋食品,其中由 8 袋符合国际卫生标准,质检员从中任取 1 袋食品进 行检测,则它符合国家卫生标准的概率为( ) A.

1 8

B.

1 5

C.

1 10

D.

1 6

7.在平面直角坐标系中, O 为原点,点 P 是线段 AB 的中点,向量 OA ? (3,3), OB ? (?1,5), 则向量 OP ? ( A. (1, 2) ) B. (2, 4) C. (1, 4) D. (2,8) )
C1
B1

8.如图所示,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,直线 B1 D1 与平面 BC1 D 的位置关系是(
D1

A.平行 C.相交但不垂直

B.垂直 D.直线 B1 D1 在平面 BC1 D 内 )
A
A1

9.函数 f ( x) ? 2x ? 3 的零点所在的区间是( A. (0,1) B. (1, 2)

D
B

C

C. (2,3)

D. (3, 4) )

10. 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c , 若 A ? 60 , B ? 45 , b ? 6 , 则 a ?( A. 3 B.2
1

C.3

D.6

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分. 11.样本数据 3,9,5,2,6 的中位数是 .. 12.已知某程序框图如图所示,若输入的 x 的值为 3,则输出的值为 13.已知 x ? 0, 则函数 y ? x ?

.

1 的最小值是 . x 14 .如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面ABCD ,四边形 ABCD 是平行四边形, . PA ? AD ,则异面直线 PD 与 BC 所成角的大小是
开始
输入 x

P

x ? 0?
是 输出 x



A
输出-x

D C



B
结束
第 12 题图 第 14 题图

第 15 题图

15.已知点 ( x, y ) 在如图所示的阴影部分内运动,且 Z ? x ? 3 y ? m 的最大值为 2,则实数

m?



三、解答题:本大题共 5 小题,满分 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 6 分)已知 sin ? ? ,? ? (0, )

1 2

?

2

(1)求 cos? 的值; (2)求 sin 2? ? cos 2? 的值.

2

17. (本小题满分 8 分)某中学有高一学生 1200 人,高二学生 800 人参加环保知识竞赛, 现用分层抽样的方法从中抽取 200 名学生,对其成绩进行统计分析,得到如下图所示的频 率分布直方图. (1)求从该校高一、高二学生中各抽取的人数; (2)根据频率分布直方图,估计该校这 2000 名学生中竞赛成绩在 60 分(含 60 分)以上的人 数. 频率
0.03
0.025 0.02
组距

0.015
0.01

0.005
O 40 50 60 70 80 90 100 成绩

18. (本小题满分 8 分)已知二次函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b ,满足 f (0) ? 6 , f (1) ? 5 . (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)当 x ? [?2, 2] ,求函数 y ? f ( x) 的最小值与最大值.

3

19. (本小题满分 8 分)在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2, an ? 2an?1 (n ? 2, n ? N * ) . (1)试写出 a2 , a3 ,并求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)设 bn ? log 2 an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .

20. 已知关于 x, y 的二元二次方程 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? k ? 0(k ? R) 表示圆 C. (1)求圆心 C 的坐标; (2)求实数 k 的取值范围 (3) 是否存在实数 k 使直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 与圆 C 相交于 M , N 两点, 且 OM ? ON ( O 为 坐标原点)?若存在,请求出 k 的值;若不存在,说明理由.

4

参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 11、 5 ; 12、 3 ; 13、 2 ; 14、 1 D 2 B 3 B 4 A 5 C 6 B 7 C 8 A 9 B 10 C

45

; 15、

2

三、解答题: 16、 (1) ? ? (0, ),?cos? ? 0 ,从而 cos ? ? 1 ? sin 2 ? ?

?

2

3 2

(2) sin 2? ? cos 2? ? 2sin ? cos ? ? 1 ? 2sin 2 ? ? 17、 (1)高一有:

3 ?1 2

200 ;高二有 200 ? 120 ? 80 (人) ?1200 ? 120 (人) 2000

(2) 频率为 0.015 ? 10 ? 0.03 ? 10 ? 0.025 ? 10 ? 0.005 ? 10 ? 0.75 ?人数为 0.75 ? 2000 ? 1500 (人)

? f (0) ? b ? 6 ?a ? ?2 18、 (1) ? ?? ? f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 6 f (1) ? a ? b ? 1 ? 5 b ? 6 ? ?
(2)

f ( x) ? x2 ? 2 x ? 6 ? ( x ? 1)2 ? 5, x ?[?2,2]

? x ? 1 时, f ( x) 的最小值为 5, x ? ?2 时, f ( x) 的最大值为 14.

19、(1) a1 ? 2, an ? 2an?1 ,? a2 ? 4, a3 ? 8

an ? 2(n ? 2, n ? N * ) ,??an ? 为首项为 2,公比为 2 的等比数列,?an ? 2 ? 2n?1 ? 2n an ?1
(2) bn ? log2 an ? log 2 2n ? n ,? Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? 20、 (1)

?n?

n(n ? 1) 2

C : ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 ? k ,?C (?1,2)

(2)由 5 ? k ? 0 ? k ? 5

?x ? 2 y ? 4 ? 0 (3)由 ? ? 5 y 2 ? 16 y ? 8 ? k ? 0 2 2 ?( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 ? k
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), 则 y1 ? y2 ?

16 8? k 24 , ? ? 162 ? 20(8 ? k ) ? 0 ? k ? , y1 y2 ? 5 5 5 4k ? 16 x1 ? 2 y1 ? 4, x2 ? 2 y2 ? 4,? x1 x2 ? (2 y1 ? 4)(2 y2 ? 4) ? 4[ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4] ? 5 4k ? 16 8 ? k 8 24 OM ? ON ,? x1 x2 ? y1 y2 ? 0, 即 ? ? 0 ? k ? (满足k ? ) 5 5 5 5
5


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