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辽宁省沈阳二中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文科)


2015-2016 学年辽宁省沈阳二中高二(上)期中数学试卷(文科)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A={x||x﹣a|≤1}, B={x|x ﹣5x+4≥0}, 若 A∩B=?, 则实数 a 的取值范围是( A. B. (2,3) C.
2<

br />
)

2.设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y﹣1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的( A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

)

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

3.f(x)在 x0 处可导,a 为常数,则 A.f′(x0) B.2af′(x0) C.af′(x0) D.0

=(

)

4.已知实数 x,y 满足 a <a (0<a<1) ,则下列关系式恒成立的是( A.x >y
3 3

x

y

)

B.sinx>siny

C.ln(x +1)>ln(y +1)

2

2

D.



5.如果执行如图所示的程序,那么输出的值 k=(

)

A.3

B.4

C.5

D.6

6.函数 f(x)=2x ﹣9x +12x﹣a 恰有两个不同的零点,则 a 可以是( A.3 B.4 C.6 D.7

3

2

)

7.若定义域为区间(﹣2,﹣1)的函数 f(x)=log(2a﹣3) (x+2) ,满足 f(x)<0,则实数 a 的取值范围是( ) C. ( ,+∞) D. (1, )

A. ( ,2) B. (2,+∞)

8.下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确的序号是 ( )

A.①② B.③④ C.①③ D.①④

9.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 1≤a5≤4,2≤a6≤3,则 S6 的取值范围是( A. B. C. D.

)

10.已知抛物线 C1:y=

x (p>0)的焦点与双曲线 C2:

2

﹣y =1 的右焦点的连线交 C1 于第 )

2

一象限的点 M,若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p=( A. B. C. D.

11.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf′(x)+f(x)≤0,对任意正 数 a、b,若 a<b,则必有( )

A.af(b)≤bf(a) B.bf(a)≤af(b) C.af(a)≤f(b) D.bf(b)≤f(a)

12.下列三图中的多边形均为正多边形,M,N 是所在边的中点,双曲线均以图中的 F1,F2 为 焦点, 设图示①②③中的双曲线的离心率分别为 e1, e2, e3、 则 e1, e2, e3 的大小关系为( )

A.e1>e2>e3 B.e1<e2<e3 C.e2=e3<e1 D.e1=e3>e2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13.已知方程

+y =1 表示的曲线是焦点在 x 轴上且离心率为 的椭圆,则 m=__________.

2

14.定义在 R 上的偶函数 y=f(x) ,在的最小值.

22.如图,抛物线 C1:y =2px 与椭圆 C2:

2

+

=1 在第一象限的交点为 B,O 为坐标原点,A

为椭圆的右顶点,△OAB 的面积为 (Ⅰ)求抛物线 C1 的方程;



(Ⅱ) 过 A 点作直线 l 交 C1 于 C、 D 两点, 射线 OC、 OD 分别交 C2 于 E、 F 两点, 记△OEF 和△OCD 的面积分别为 S1 和 S2,问是否存在直线 l,使得 S1:S2=3:77?若存在,求出直线 l 的方程; 若不存在,请说明理由.

2015-2016 学年辽宁省沈阳二中高二(上)期中数学试卷(文科)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A={x||x﹣a|≤1}, B={x|x ﹣5x+4≥0}, 若 A∩B=?, 则实数 a 的取值范围是( A. B. (2,3) C. 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题. 【分析】根据绝对值的性质和一元二次不等式的解法分别求出集合 A 和 B,再根据 A∩B=?, 说明集合 A 与集合 B 没有公共元素,从而进行求解; 【解答】解:∵集合 A={x||x﹣a|≤1},B={x|x ﹣5x+4≥0}, ∴A={x|a﹣1≤x≤a+1} B={x|x≥4 或 x≤1}, ∵A∩B=?,
2 2

)

∴ 故选 B;

解得 2<a<3,

【点评】此题主要考查交集和并集的定义,还考查绝对值的性质,解题过程中要理解空集的 含义,此题是一道基础题;

2.设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y﹣1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的( A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

)

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】直线与圆. 【分析】把 a=1 代入可得直线的方程,易判平行;而由平行的条件可得 a 的值,进而由充要 条件的判断可得答案. 【解答】解:当 a=1 时,直线 l1:x+2y﹣1=0 与直线 l2:x+2y+4=0,显然平行;

而由两直线平行可得: a(a+1)﹣2=0,解得 a=1,或 a=﹣2, 故不能推出“a=1”,由充要条件的定义可得: “a=1”是“直线 l1:ax+2x﹣1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的充分不必要条件. 故选 B 【点评】本题为充要条件的判断,涉及直线的平行的判定,属基础题.

3.f(x)在 x0 处可导,a 为常数,则 A.f′(x0) B.2af′(x0) C.af′(x0) D.0

=(

)

【考点】变化的快慢与变化率. 【专题】导数的概念及应用. 【分析】利用导数的定义即可得出. 【解答】解:

=2a 2af′(x0) . 故选:B. 【点评】本题考查了导数的定义,属于基础题.

=

4.已知实数 x,y 满足 a <a (0<a<1) ,则下列关系式恒成立的是( A.x >y
3 3

x

y

)

B.sinx>siny

C.ln(x +1)>ln(y +1)

2

2

D.



【考点】指数函数的图像与性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】本题主要考查不等式的大小比较,利用函数的单调性的性质是解决本题的关键. 【解答】解:∵实数 x,y 满足 a <a (0<a<1) ,∴x>y, A.当 x>y 时,x >y ,恒成立, B.当 x=π ,y= 时,满足 x>y,但 sinx>siny 不成立.
3 3 x y

C.若 ln(x +1)>ln(y +1) ,则等价为 x >y 成立,当 x=1,y=﹣1 时,满足 x>y,但 x > y 不成立.
2

2

2

2

2

2

D.若
2



,则等价为 x +1<y +1,即 x <y ,当 x=1,y=﹣1 时,满足 x>y,但 x

2

2

2

2

2

<y 不成立. 故选:A. 【点评】本题主要考查函数值的大小比较,利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题 的关键.

5.如果执行如图所示的程序,那么输出的值 k=(

)

A.3

B.4

C.5

D.6

【考点】程序框图. 【专题】计算题;图表型;分类讨论;试验法;算法和程序框图. 【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,k 的值,当 S=2059 时不满足条件 S <100,退出循环,输出 k 的值为 4. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得 k=0,S=0 满足条件 S<100,S=0+1=1,k=1 满足条件 S<100,S=1+2=3,k=2 满足条件 S<100,S=3+8=11,k=3 满足条件 S<100,S=11+2 =2059,k=4 不满足条件 S<100,退出循环,输出 k 的值为 4.
11

故选:B. 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,属于基本知识的考查.

6.函数 f(x)=2x ﹣9x +12x﹣a 恰有两个不同的零点,则 a 可以是( A.3 B.4 C.6 D.7

3

2

)

【考点】函数零点的判定定理. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由条件利用导数求得函数的极值,再结合三次函数的图象特征求得函数 f(x)的零 点有 2 个时 a 的值,从而得出结论. 【解答】解:∵f(x)=2x ﹣9x +12x﹣a,∴f′(x)=6x ﹣18x+12=6(x﹣1) (x﹣2) , 令 f′(x)=0,求得 x=1,或 x=2. 在(﹣∞,1)上,f′(x)>0,f(x)单调递增;在(1,2)上,f′(x)<0,f(x)单 调递减;在(2,+∞)上,f′(x)>0,f(x)单调递增. 故 f(1)=5﹣a 为函数 f(x)的极大值;f(2)=4﹣a 为函数 f(x)的极小值, 故当 a=4,或 a=5 时,函数 f(x)的零点有 2 个, 故选:B. 【点评】本题主要考查利用导数求函数的极值,函数的零点,三次函数的图象特征,属于中 档题.
3 2 2

7.若定义域为区间(﹣2,﹣1)的函数 f(x)=log(2a﹣3) (x+2) ,满足 f(x)<0,则实数 a 的取值范围是( ) C. ( ,+∞) D. (1, )

A. ( ,2) B. (2,+∞)

【考点】对数函数的单调区间. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据函数的定义域,结合对数函数的性质,解不等式即可得到结论. 【解答】解:∵定义域为区间(﹣2,﹣1)的函数 f(x)=log(2a﹣3) (x+2) , ∴﹣2<x<﹣1,0<x+2<1, 要使 f(x)<0, 则 0<2a﹣3<1,

即 <a<2, 故实数 a 的取值范围是( ,2) , 故选:A 【点评】本题主要考查不等式的解法,利用对数函数的图象和性质是解决本题的关键.

8.下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确的序号是 ( )

A.①② B.③④ C.①③ D.①④ 【考点】函数的单调性与导数的关系. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用导数与函数之间的关系,函数的递增区间即导函数为正的区间,函数的递减区 间即导函数为负的区间,确定出正确答案. 【解答】解:根据 f′(x)>0 时,f(x)递增;f′(x)<0 时,f(x)递减可得: ①中函数的图象从左向右先减后增再减,对应的导函数是小于 0,大于 0,再小于 0; ②中函数的图象也是从左向右先减后增再减,对应的导函数是小于 0,大于 0,再小于 0;所 以①②可能正确. 而③中函数的图象从左向右先减后增,对应的导函数是小于 0,大于 0,再小于 0,大于 0; ④中函数的图象从左向右先增后减后,对应的导函数也是小于 0,大于 0,再小于 0,大于 0; 所以③④可能错误. 故选:B. 【点评】本题利用图象考查了函数与其导函数的关系,要求能从图象上掌握函数与导函数的 单调性的关系,是基础题.

9.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 1≤a5≤4,2≤a6≤3,则 S6 的取值范围是(

)

A. B. C. D. 【考点】数列的函数特性. 【专题】转化思想;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 【分析】利用等差数列的通项公式将已知条件中的不等式化成首项与公差满足的不等关系, 利用不等式的性质及等差数列的前 n 项和公式求出前 6 项的和的范围 【解答】解:a5=a1+4d,a6=a1+5d, 所以 1≤a1+4d≤4,2≤a1+5d≤3,

S6=

=3(a1+a6)=6a1+15d

分析可得,6a1+15d=15(a1+4d)﹣9(a1+5d) , 故﹣12≤S6≤42. 故选:C 【点评】本题主要考查等差数列前 n 项和公式的应用,利用不等式的性质解决问题时,一定 要注意不等式的两边同乘以一个负数,不等号要改变方向.

10.已知抛物线 C1:y=

x (p>0)的焦点与双曲线 C2:

2

﹣y =1 的右焦点的连线交 C1 于第 )

2

一象限的点 M,若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p=( A. B. C. D.

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标,由两点式写出过两个焦点的直线方程, 求出函数 y= x (p>0)在 x 取直线与抛物线交点 M 的横坐标时的导数值,由其等于双曲线
2

渐近线的斜率得到交点横坐标与 p 的关系,把 M 点的坐标代入直线方程即可求得 p 的值. 【解答】解:由抛物线 C1:y= x (p>0)得 x =2py(p>0) ,
2 2

所以抛物线的焦点坐标为 F(0, ) .



﹣y =1 得 a=

2

,b=1,c=2.

所以双曲线的右焦点为(2,0) .

则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为 即 ①.



设该直线交抛物线于 M(

) ,则 C1 在点 M 处的切线的斜率为



由题意可知

=

,得 x0=

,代入 M 点得 M(

, )

把 M 点代入①得: 解得 p= 故选:D. .



【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质,考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程, 函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数,是中档题.

11.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf′(x)+f(x)≤0,对任意正 数 a、b,若 a<b,则必有( )

A.af(b)≤bf(a) B.bf(a)≤af(b) C.af(a)≤f(b) D.bf(b)≤f(a) 【考点】导数的运算;利用导数研究函数的单调性. 【专题】压轴题. 【分析】先构造函数,再由导数与原函数的单调性的关系解决. 【解答】解:xf′(x)+f(x)≤0? ′≤0? 函数 F(x)=xf(x)在(0,+∞)上为常函数 或递减,

又 0<a<b 且 f(x)非负,于是有:af(a)≥bf(b)≥0①



①②两式相乘得:

? af(b)≤bf(a) ,故选 A.

【点评】本题的难点在对不等式②的设计,需要经验更需要灵感.

12.下列三图中的多边形均为正多边形,M,N 是所在边的中点,双曲线均以图中的 F1,F2 为 焦点, 设图示①②③中的双曲线的离心率分别为 e1, e2, e3、 则 e1, e2, e3 的大小关系为( )

A.e1>e2>e3 B.e1<e2<e3 C.e2=e3<e1 D.e1=e3>e2 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】压轴题;分类讨论. 【分析】根据题设条件,分别建立恰当的平面直角坐标系,求出图示①②③中的双曲线的离 心率 e1,e2,e3,然后再判断 e1,e2,e3 的大小关系. 【解答】解:①设等边三角形的边长为 2,以底边为 x 轴,以底边的垂直平分线为 y 轴,建立 平面直角坐标系, 则双曲线的焦点为(±1,0) ,且过点( , ∵( , ) , 和 ,

)到两个焦点(﹣1,0) , (1,0)的距离分别是



,c=1,∴



②正方形的边长为

,分别以两条对角线为 x 轴和 y 轴,建立平面直角坐标系,

则双曲线的焦点坐标为(﹣1,0)和(1,0) ,且过点(

) .

∵点(

)到两个焦点(﹣1,0) , (1,0)的距离分别是







,c=1,∴



③设正六边形的边长为 2,以 F1F1 所在直线为 x 轴,以 F1F1 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直 角坐标系, 则双曲线的焦点为(﹣2,0)和(2,0) ,且过点(1, ) ,

∵点(1,

)到两个焦点(﹣2,0)和(2,0)的距离分别为 2

和 2,

∴a=

﹣1,c=2,∴



所以 e1=e3>e2.故选 D. 【点评】恰当地建立坐标系是正确解题的关键.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13.已知方程

+y =1 表示的曲线是焦点在 x 轴上且离心率为 的椭圆,则 m= .

2

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;数形结合;圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】由焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程

+y =1,结合离心率列方程,即可求出 m 的值.

2

【解答】解:焦点在 x 轴上的椭圆方程 则 a= >1,b=1,c= ,

+y =1 的离心率为 ,

2



= ,解得 m= . .

则 m 的值是

故答案为: . 【点评】本题考查椭圆的简单性质,解题时要注意公式的合理运用.

14.定义在 R 上的偶函数 y=f(x) ,在. 【点评】本题主要考查了正弦定理得应用和三角函数中两角和公式的运用.涉及了正弦函数 的性质,考查了学生对三角函数知识的把握.

19.已知等差数列{an}满足:an+1>an(n∈N ) ,a1=1,该数列的前三项分别加上 1,1,3 后顺 次成为等比数列{bn}的前三项.

*

(Ⅰ)分别求数列{an},{bn}的通项公式 an,bn;

(Ⅱ)设 最小值.

,若

恒成立,求 c 的

【考点】数列与不等式的综合;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;数列的求和. 【专题】综合题. 【分析】 (Ⅰ) 设 d、 q 分别为数列{an}、 数列{bn}的公差与公比, a1=1. 由题可知, a1=1, a2=1+d, a3=1+2d,分别加上 1,1,3 后得 2,2,+d,4+2d 是等比数列{bn}的前三项,从而可得(2+d)
2

=2(4+2d) ,根据 an+1>an,可确定公差的值,从而可求数列{an}的通项,进而可得公比 q,故

可求{bn}的通项公式

(Ⅱ)表示出 得 c 的最小值.

,利用错位相减法求和,即可求

【解答】解: (Ⅰ)设 d、q 分别为数列{an}、数列{bn}的公差与公比,a1=1. 由题可知,a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分别加上 1,1,3 后得 2,2,+d,4+2d 是等比数列{bn} 的前三项, ∴(2+d) =2(4+2d)? d=±2. ∵an+1>an, ∴d>0. ∴d=2, ∴an=2n﹣1(n∈N ) . 由此可得 b1=2,b2=4,q=2, ∴bn=2 (n∈N ) .
n * * 2

(Ⅱ)

,①



.②

①﹣②,得

= +2(

+

+?+

)﹣



∴Tn=3﹣



∴Tn+

﹣ =3﹣ ≤2,

∴满足条件

恒成立的最小整数值为 c=2.

【点评】本题以等差数列与等比数列为载体,考查数列通项公式的求解,考查数列与不等式 的综合,考查错位相减法求数列的和,综合性强

20.如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D,E 分别为 AC,AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一 点,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1F⊥CD,如图 2. (1)求证:DE∥平面 A1CB; (2)求证:A1F⊥BE; (3)线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?说明理由.

【考点】直线与平面垂直的性质;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 【专题】空间位置关系与距离;立体几何. 【分析】 (1)D,E 分别为 AC,AB 的中点,易证 DE∥平面 A1CB; (2)由题意可证 DE⊥平面 A1DC,从而有 DE⊥A1F,又 A1F⊥CD,可证 A1F⊥平面 BCDE,问题解 决; (3)取 A1C,A1B 的中点 P,Q,则 PQ∥BC,平面 DEQ 即为平面 DEP,由 DE⊥平面,P 是等腰三 角形 DA1C 底边 A1C 的中点,可证 A1C⊥平面 DEP,从而 A1C⊥平面 DEQ. 【解答】解: (1)∵D,E 分别为 AC,AB 的中点, ∴DE∥BC,又 DE?平面 A1CB, ∴DE∥平面 A1CB.

(2)由已知得 AC⊥BC 且 DE∥BC, ∴DE⊥AC, ∴DE⊥A1D,又 DE⊥CD, ∴DE⊥平面 A1DC,而 A1F? 平面 A1DC, ∴DE⊥A1F,又 A1F⊥CD, ∴A1F⊥平面 BCDE, ∴A1F⊥BE.

(3)线段 A1B 上存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ.理由如下:如图,分别取 A1C,A1B 的中点 P,Q, 则 PQ∥BC. ∵DE∥BC, ∴DE∥PQ. ∴平面 DEQ 即为平面 DEP. 由(Ⅱ)知 DE⊥平面 A1DC, ∴DE⊥A1C, 又∵P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点, ∴A1C⊥DP, ∴A1C⊥平面 DEP,从而 A1C⊥平面 DEQ, 故线段 A1B 上存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ.

【点评】本题考查直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定与性质,考查学生的分析 推理证明与逻辑思维能力,综合性强,属于难题.

21.已知函数 (Ⅰ) 讨论函数 f(x)的单调性;

(a∈R) .

(Ⅱ)当 a<0 时,求函数 f(x)在区间的最小值. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】导数的综合应用. 【分析】 (Ⅰ)求出函数 f(x)的导数,令导数大于 0 求出函数的增区间,令导数小于 0,求 出函数的减区间 (Ⅱ)a<0 时,用导数研究函数 f(x)在上的单调性确定出最小值,借助(Ⅰ)的结论,由 于参数的范围对函数的单调性有影响,故对其分类讨论, 【解答】解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ,?

(Ⅰ)

,?

(1)当 a=0 时,f'(x)=x>0,所以 f(x)在定义域为(0,+∞)上单调递增; ?

(2)当 a>0 时,令 f'(x)=0,得 x1=﹣2a(舍去) ,x2=a, 当 x 变化时,f'(x) ,f(x)的变化情况如下: 此时,f(x)在区间(0,a)单调递减, 在区间(a,+∞)上单调递增; ?

(3)当 a<0 时,令 f'(x)=0,得 x1=﹣2a,x2=a(舍去) , 当 x 变化时,f'(x) ,f(x)的变化情况如下: 此时,f(x)在区间(0,﹣2a)单调递减, 在区间(﹣2a,+∞)上单调递增.? (Ⅱ)由(Ⅰ)知当 a<0 时,f(x)在区间(0,﹣2a)单调递减,在区间(﹣2a,+∞)上 单调递增.? (1)当﹣2a≥e,即 时,f(x)在区间单调递减,

所以, (2)当 1<﹣2a<e,即 在区间(﹣2a,e)单调递增,所以 (3)当﹣2a≤1,即 所以



?

时,f(x)在区间(1,﹣2a)单调递减, ,?

时,f(x)在区间单调递增, .?(13 分)

【点评】本题考查用导数研究函数的单调性,解题的键是理解并掌握函数的导数的符号与函 数的单调性的关系,此类题一般有两类题型,一类是利用导数符号得出单调性,一类是由单 调性得出导数的符号,本题属于第一种类型.本题的第二小问是根据函数在闭区间上的最值, 本题中由于参数的存在,导致导数的符号不定,故需要对参数的取值范围进行讨论,以确定 函数在这个区间上的最值.

22.如图,抛物线 C1:y =2px 与椭圆 C2:

2

+

=1 在第一象限的交点为 B,O 为坐标原点,A

为椭圆的右顶点,△OAB 的面积为 (Ⅰ)求抛物线 C1 的方程;



(Ⅱ) 过 A 点作直线 l 交 C1 于 C、 D 两点, 射线 OC、 OD 分别交 C2 于 E、 F 两点, 记△OEF 和△OCD 的面积分别为 S1 和 S2,问是否存在直线 l,使得 S1:S2=3:77?若存在,求出直线 l 的方程; 若不存在,请说明理由.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的标准方程. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】 (Ⅰ)通过三角形△OAB 的面积,求出 B 的纵坐标,然后求出横坐标,代入抛物线的 方程,求出 p,即可得到抛物线方程. (Ⅱ) 存在直线 l:x±11y﹣4=0 符合条件.通过设直线 l 的方程 x=my+4,与抛物线联立,

设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,通过 得到直线 l 即可. 【解答】解: (Ⅰ)因为△OAB 的面积为 代入椭圆方程得 抛物线的方程是:y =8x? (Ⅱ) 存在直线 l:x±11y﹣4=0 符合条件
2

,求出

,然后求出 m,

,所以

,?



解:显然直线 l 不垂直于 y 轴,故直线 l 的方程可设为 x=my+4, 与 y =8x 联立得 y ﹣8my﹣32=0. 设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,则 y1+y2=8m,y1?y2=﹣32
2 2



=

.?

由直线 OC 的斜率为

,故直线 OC 的方程为

,与

联立得

,同理



所以

?

可得

要使
2

,只需

?

即 121+48m =49×121 解得 m=±11, 所以存在直线 l:x±11y﹣4=0 符合条件?

【点评】本题考查圆锥曲线方程的综合应用,考查分析问题以及转化思想的应用,考查计算 能力.


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