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2014奉贤数学二模(理)


2013—2014 学年奉贤区调研测试 高三数学试卷(理科) 2014.4
(考试时间:120 分钟,满分 150 分) n(n ? 1)( 2n ? 1) 2 2 2 2 ,n ? N*) (本卷可能用到的公式 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 6
一. 填空题 (本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果,

1-14 题每个空格填对得 4 分) 1、函数 f ?x? ? 2 x ? 1 的反函数为________.
? 2、设 z ? a ? i ( a ? R , i 是虚数单位) ,满足

2 ? 2 ,则 a ? ________. z
2 n n ??

3、如果函数 f ( x) ? loga x 的图像过点 P?1 , ? , lim(a ? a ? ??? ? a ) ? ________. 4、执行如图所示的程序框图,输出的 S 的值为________. 5、若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴 相切,则该圆的标准方程是________. 6、在 ( x ? 1)n 的二项展开式中,按 x 的降幂排列,只有第 5 项的系数 最大,则各项的二项式系数之和为____(答案用数值表示). 7、若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积 为________. 8、将外形和质地一样的 4 个红球和 6 个白球放入同一个袋中,将它们 充分混合后,现从中取出 4 个球,取出一个红球记 2 分,取出一个 白球记 1 分,若取出 4 个球总分不少于 5 分,则有________种不同的 取法. 9、已知抛物线 y ? 20 x 焦点 F 恰好是双曲线
2

? 1? ? 2?

开 始 S=0,n=1 否

n ? 2014


输出 S 结 束

n? S =S+sin 3

n=n+1
第 4 题图

15 x2 y 2 ? 2 ? 1 的右焦点,且双曲线过点 ( , 3) , 2 4 a b

则该双曲线的渐近线方程为________. 10、极坐标系中,极点到直线 ? sin ?? ? ?0 ? ? 2 (其中 ? 0 为常数)的距离是________. 11、已知函数 f ( x) ?

3 cos x 1 sin x

, 则方程 f ? x ? ? cos x ?

1 ? 0 的解是________. 2
② f (3x ) ? 3 f ( x) ,

? x ? 1, 1 ? x ? 2, 12、定义在 (0, ??) 上的函数 f ( x ) 满足:① 当 x ? [1,3) 时, f ( x) ? ? ?3 ? x, 2 ? x ? 3,

设关于 x 的函数 F ( x) ? f ( x) ? 1 的零点从小到大依次记为 x1 , x2 , x3 , x 4 , x5 , ? ? ? , 则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? ________.
1

13、从 1,2,3, ?????? , n ? 1 , n 这 n 个数中任取两个数,设这两个数之积的数学期望为 E? , 则 E? ? ________. 14、以 ?0, m ? 间的整数 ?m ? 1, m ? N ?为分子,以 m 为分母组成分数集合 A1 ,其所有元素和为 a 1 ; 以 0, m 2 间的整数 ?m ? 1, m ? N ?为分子,以 m 为分母组成不属于集合 A1 的分数集合 A2 ,
2

?

?

其所有元素和为 a2 ;……,依次类推以 0, m n 间的整数 ?m ? 1, m ? N ?为分子,以 m 为分母
n

?

?

组成不属于 A 1, A 2 , ???, A n?1 的分数集合 An ,其所有元素和为 an ;则 a1 ? a2 ? ??? ? an =________. 二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应 编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.

0 的是 ( 15、已知长方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 ,下列向量的数量积一定不为
A. AD1 ? B1C C. AB ? AD1 B. BD1 ? AC D. BD1 ? BC A1 16、设数列 {an } ,以下说法正确的是(
2 n
*

) C1 B1

D1

) A

D B 第 15 题(理)图

C

A.若 an =4 , n ? N ,则 {an } 为等比数列
2 B.若 an ? an?2 ? an ?1 , n ? N ,则 {an } 为等比数列
*

C.若 am ? an ? 2m?n , m, n ? N ,则 {an } 为等比数列
*

D.若 an ? an?3 ? an?1 ? an?2 , n ? N ,则 {an } 为等比数列
*

17、下列命题正确的是(

)
2

A.若 x ? k? , k ? Z ,则 sin x ?

1 ?4 sin 2 x

C.若 a ? 0, b ? 0 ,则 lg a ? lg b ? 2 lg a ? lg b 18、已知 ? , ? ? R ,且设 p : ? ? A.充分必要条件 C.必要不充分条件

4 ? ?4 a b a D.若 a ? 0, b ? 0 ,则 ? ? 2 a b
B.若 a ? 0, 则 a ? )

? ,设 q : ? ? sin ? cos ? ? ? ? sin ? ? cos ? ,则 p 是 q 的(
B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内 写出必要的步骤. 19、如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?BAC ? 90 , AB ? AC ? AA1 .若 D 为 B1C1 的中点,
0

求直线 AD 与平面 A1BC1 所成的角.
2 B

A

C

A1

D

C1

9 ? a , x ? [1, 6] , a ? R . x (1)若 a ? 1 ,试判断并用定义证明函数 f ( x) 的单调性; (2)当 a ? ?1,3? 时,求证函数 f ( x) 存在反函数.
20、已知函数 f ( x) ?| x ? a | ?

21、某人沿一条折线段组成的小路前进,从 A 到 B ,方位角(从正北方向顺时针转到 AB 方向所成的角) 是 50 ,距离是 3km;从 B 到 C ,方位角是 110° ,距离是 3km;从 C 到 D ,方位角是 140° , 距离是( 9 ? 3 3 )km. 试画出大致示意图,并计算出从 A 到 D 的方位角和距离(结果保留根号).
0

22、如图,已知平面内一动点 A 到两个定点 F1 、 F2 的距离之和为 4 ,线段 F1F2 的长为 2c (c ? 0) . (1)求动点 A 的轨迹 ? ;
3

A

F1

F2

C

(2)当 c ? 3 时,过点 F1 作直线 l 与轨迹 ? 交于 A 、 C 两点, 且点 A 在线段 F1F2 的上方,线段 AC 的垂直平分线为 m ① 求 ?AF1 F2 的面积的最大值; ② 轨迹 ? 上是否存在除 A 、 C 外的两点 S 、 T 关于直线 m 对称,请说明理由.

23、若函数 f ( x) 满足:集合 A ? { f (n) | n ? N*} 中至少存在三个不同的数构成等比数列,则称函数 f ( x) 是等比源函数. (1)判断下列函数:① y ? log 2 x ;② y ? sin

?
2

x 中,哪些是等比源函数?(不需证明)

(2)证明:对任意的正奇数 b ,函数 f ( x) ? 2x ? b 不是等比源函数; (3)证明:任意的 d , b ? N* ,函数 g ( x) ? dx ? b 都是等比源函数.

2013—2014 学年奉贤区调研测试 高三数学试卷(理科)
参考答案
4

2014.4

一、填空题(每小题 4 分,共 56 分) 1. y ? log2 ?x ? 1? 2. 1 3. 1 4.

3 2

5. ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1

6. 256

7.

3 ? 3

8. 195

4 9. y ? ? x 3

10. 2

x?
11.

k? ? ? 2 12 (k ? Z )
15. D

12. 50 16. C

13.

1 (n ? 1)(3n ? 2) 12
18. A

14.

mn ? 1 2

二、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 三、解答题

17. D

19、 【解】方法一:如图 1 以 A1 为原点, A1B1 所在直线为 x 轴, AC 1 1 所在直线为 y 轴,

z

1 1 1 1 A1 A 所在直线为 z 轴建系,则 A(0, 0,1), D( , , 0) ,则 AD ? ( , , ?1) 2 2 2 2 设平面 A1BC1 的一个法向量 n ? ( x, y, z) , AC 1 1 ? (0,1,0), A 1B ? (1,0,1),

A

C

2 分; B

? ? y?0 ? n ? A1C1 ? y ? 0 则? ,则 ? ,取 x ? 1 ,则 n ? (1,0, ?1) x ? ? z n ? A B ? x ? z ? 0 ? ? ? 1
设 AD 与平面 A1BC1 所成的角为 ? ,则 sin ? ?

6分

x
A B

B1

A1

C1
(理 19 题图)

y

AD ? n AD n

=

3 2

10 分

C

? 则 ? ? ,∴ AD 与平面 A1BC1 所成的角为 3 3

?

12 分

O G C1

方法二:由题意知四边形 AA1B1B 是正方形,故 AB1⊥ BA1. A1 D 由 AA1⊥ 平面 A1B1C1 得 AA1⊥ A1C1. B1 又 A1C1⊥ A1B1,所以 A1C1⊥ 平面 AA1B1B,故 A1C1⊥ AB1. (理 19 题图) 从而得 AB1⊥ 平面 A1BC1. 4分 设 AB1 与 A1B 相交于点 O,则点 O 是线段 AB1 的中点. 连接 AC1,由题意知△ AB1C1 是正三角形. 由 AD,C1O 是△ AB1C1 的中线知:AD 与 C1O 的交点为重心 G,连接 OG. 知 AB1⊥ 平面 A1BC1,故 OG 是 AD 在平面 A1BC1 上的射影, 于是∠ AGO 是 AD 与平面 A1BC1 所成的角. 6分 在直角△ AOG 中,AG=

3 6 2 3 2 AO AD= AB1= AB,AO= AB,所以 sin∠ AGO= = .10 分 3 3 2 2 3 AG
12 分

故∠ AGO=60° ,即 AD 与平面 A1BC1 所成的角为 60° . 20、 【解】 (1)判断:若 a ? 1 ,函数 f ( x) 在 [1, 6] 上是增函数. 证明:当 a ? 1 时, f ( x ) ? x ?

9 , f ( x) 在 [1, 6] 上是增函数. x 在区间 [1, 6] 上任取 x1 , x2 ,设 x1 ? x2 ,

2分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? ?

9 9 9 9 ) ? ( x2 ? ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( ? ) x1 x2 x1 x2

( x1 ? x2 )( x1 x2 ? 9) ?0 x1 x2 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,即 f ( x) 在 [1, 6] 上是增函数.

6分

5

9 ? 2a ? ( x ? ),1 ? x ? a, ? ? x (2) 因为 1 ? a ? 3 ,所以 f ( x) ? ? ?x ? 9 , a ? x ? 6, ? x ? 当 1 ? a ? 3 时, f ( x) 在 [1, a] 上是增函数, 证明:当 1 ? a ? 3 时, f ( x) 在 [1, a] 上是增函数(过程略) f ( x) 在在 [a, 6] 上也是增函数 当 1 ? a ? 3 时, y ? f ?x ? x ? ?1,6? 上是增函数 所以任意一个 x ? ?1,6? ,均能找到唯一的 y 和它对应, 所以 y ? f ?x ? x ? ?1,6? 时, f ( x) 存在反函数
21、 【解】示意图,如图所示, 连接 AC,在△ ABC 中,∠ ABC=50° +(180° -110° )=120° , 又 AB=BC=3,∴ ∠ BAC=∠ BCA=30° 由余弦定理可得 AC ?

8分

9分 11 分 12 分 14 分 4分

AB2 ? BC2 ? 2 AB ? BC cos120? ? 3 3

7分

在△ ACD 中,∠ ACD=360° -140° -(70° +30° )=120° ,CD=3 3 +9. 由余弦定理得 AD=
2

AC2 ? CD2 ? 2 AC ? CD cos120?
1 2
9( 2 ? 6 ) (km). 2
10 分

= 27 ? (3 3 ? 9) ? 2 ? 3 3 ? (3 3 ? 9) ? (? ) =

3 3 3 ?9 ? CD ? sin ? ACD 2 ? 2 由正弦定理得 sin∠ CAD= sin ?CAD ? ? AD 2 9 2? 6 2

?

?

?

?

12 分

∴ ∠ CAD=45° ,于是 AD 的方位角为 50° +30° +45° =125° , 所以,从 A 到 D 的方位角是 125° ,距离为

13 分 14 分 3分 5分

9( 2 ? 6 ) km. 2

22、 【解】 (1)当 4 ? 2c 即 0 ? c ? 2 时,轨迹是以 F1 、 F2 为焦点的椭圆 当 c ? 2 时,轨迹是线段 F1F2 4分 当 c ? 2 时,轨迹不存在

(2)以线段 F1 F2 的中点为坐标原点,以 F1 F2 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系, 可得轨迹 ? 的方程为

x2 2 +y ? 1 4
S?F1 AF2 ? 1 | F1 F2 | h ? 3h , 2

7分

① 解法 1:设 h 表示点 A 到线段 F1F2 的距离 要使 ?AF1 F2 的面积有最大值,只要 h 有最大值 当点 A 与椭圆的上顶点重合时, hmax ? 1

8分

S?F1AF2 的最大值为 3
6

10 分

x2 2 +y ? 1 中,设 ?F1 AF2 =? ,记 | AF1 |? r1 ,| AF2 |? r2 . 解法 2:在椭圆 4
M

A
C
1

? 点 A 在椭圆上,? 由椭圆的定义得: r1 ? r2 ? 2a ? 4.
2 在 ?F 1 AF 2 中,由余弦定理得: r 1 ? r2 ? 2r 1r2 cos? ? (2c) . 2 2

2 2 2 2 rr ? 配方, 得:(r 1 ?r 2 ) ? 2rr 1 2 ? 2rr 1 2 cos? ? (2 3) . 4 ? 2rr 1 2 ? 2rr 1 2 cos? ? (2 3) . 从而 1 2

S ?F1 AF2 ?
得 S?F1 AF2

1 1 2 sin ? r1r2 sin ? ? ? ? sin ? ? 2 2 1 ? cos ? 1 ? cos ? 1 1 2 sin ? ? ? r1r2 sin ? ? ? ? sin ? ? = tan 2 2 1 ? cos ? 1 ? cos ? 2

2 . 1 ? cos ?

8分

根据椭圆的对称性,当 ? 最大时, S?F1 AF2 最大

当点 A 与椭圆的上顶点重合时, ? max ?

2 ? 3

2 ? ? 3 S?F1AF2 最大值为 tan ? tan ? 3 2 2

10 分 11 分 12 分

② 结论:当 AC ? F1F2 时,显然存在除 A 、 C 外的两点 S 、 T 关于直线 m 对称 下证当 AC 与 F1F2 不垂直时,不存在除 A 、 C 外的两点 S 、 T 关于直线 m 对称 证法 1:假设存在这样的两个不同的点 S ( x3 , y3 )和T ( x4 , y4 ),

ST ? m,? k ST ?

y4 ? y3 ? k. x4 ? x3 x3 ? x4 y ? y4 , yH ? 3 , 2 2
1 (x ? x 0 ) k

设ST的中点为H ( xH , yH ), 则xH ?
设线段 AC 的中点为 M ( x0 , y0 ) 由于 H 在 m 上,故 yH ? y 0 ? ? 又 S、 T 在椭圆上,所以有

直线 m : y ? y0 ? ?

1 (x H ? x0 ). k



2 x3 x2 2 2 ? y3 ? 1与 4 ? y4 ? 1. 4 4

两式相减,得

(x 3 ? x 4 )(x 3 ? x 4 ) ? (y3 ? y 4 )(y3 ? y4 ) ? 0 4

将该式写为

1 x3 ? x4 y4 ? y3 y3 ? y4 ? ? ? ? 0, 4 2 x4 ? x3 2

并将直线 ST 的斜率 k 和线段 ST 的中点,表示代入该表达式中, 得

1 xH ? kyH ? 0. 4



14 分

7

? 4 3k 2 x ? ? ? 0 4 4 ? 1 ? 4k 2 ① 、② 得 xH ? ky0 ? x0 ,由(1) ? 代入 3 3 3 k ? y ? 0 ? 1 ? 4k 2 ?
得 xH ?

4 3k 4 ? 4 3k 2 ? ?12 3k 2 4 3k 2 k ? ? ? ? ? ? x0 ? ? 2 ? 2 3 1 ? 4k 2 3 ? 1 ? 4k 2 ? 1 ? 4k ? 3(1 ? 4k )

4 3k 2 2 x 3k y H ? ? H ? ? 1 ? 4k ? ? y0 4k 4k 1 ? 4k 2 ?
即 ST 的中点为点 M ,而这是不可能的. 此时不存在满足题设条件的点 S 和 T . 证法 2:假设存在这样的两个不同的点 S ( x3 , y3 )和T ( x4 , y4 ), 16 分

1 1 设ST的中点为H ( xH , yH ) , k OH ? k ST ? ? , k OM ? k AC ? ? 4 4 1 则 kOH ? kOM ? ? ,故直线 m 经过原点。 4k 1 1 ? ? ,则假设不成立, 直线 m 的斜率为 ? 4k k 故此时椭圆上不存在两点(除了点 A 、点 C 外)关于直线 m 对称
23、 【解】 (1)① ② 都是等比源函数.

14 分 15 分

16 分 4分

(2)证明:假设存在正整数 m, n, k 且 m ? n ? k ,使得 f (m), f (n ), f (k ) 成等比数列,
n 22n ? 2b ? 2n ? 2m?k ? b(2m ? 2k ) , (2 ?b 2 ) ? (m 2 ?b ) k (2 ?b,整理得 )
2n?m

等式两边同除以 2 m , 得 2

? 2b ? 2n ?m ? 2k ? b ? 2k ?m ? b .

因为 n ? m ? 1, k ? m ? 2 ,所以等式左边为偶数,等式右边为奇数, 所以等式 2
2n?m

? 2b ? 2n ?m ? 2k ? b ? 2k ?m ? b 不可能成立,
10 分

所以假设不成立,说明对任意的正奇数 b ,函数 f ( x) ? 2x ? b 不是等比源函数 (3)因为任意的 d , b ? N* ,都有 g (n ? 1) ? g (n) ? d , 所以任意的 d , b ? N* ,数列 {g ( n )} 都是以 g (1) 为首项公差为 d 的等差数列.

由 g 2 (m) ? g (1) ? g (k ) , (其中 1 ? m ? k )可得 [ g (1) ? (m ? 1)d ]2 ? g (1) ? [ g (1) ? (k ? 1)d ] , 整理得 (m ? 1)[2 g (1) ? (m ? 1)d ] ? g (1)(k ? 1) , 令 m ? g (1) ? 1 ,则 g (1)[2 g (1) ? g (1)d ] ? g (1)(k ? 1) , 所以 k ? 2 g (1) ? g (1) d ? 1 , 所以任意的 d , b ? N* ,数列 {g ( n )} 中总存在三项 g (1), g[ g (1) ? 1], g[2 g (1) ? g (1)d ? 1] 成等比数列.
8

所以任意的 d , b ? N* ,函数 g ( x) ? dx ? b 都是等比源函数.

18 分

9


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