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合情推理和演绎推理(1) (2)


重庆市松树桥中学 欧涛燕
August 23, 2016

合情推理 推 理 与 证 明

归纳 类比 比较法 综合法 分析法 反证法

推理

演绎推理 直接证明

证明

间接证明 数学归纳法

1.气象科学家为什么能够预报

出冷空气动 态路径和天气情况? 2.铜、铁、铝、金等金属都能导电, 猜想:一切金属都能导电。 3.蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的, 海龟是用肺呼吸的,蛇、鳄鱼、海龟都是 爬行动物, 猜想:所以的爬行动物都是用肺呼吸的。

规律:偶数=奇质数+奇质数

=3+3, =3+5,
=29+971,

=5+5, ……
=139+863, ……

猜想:任何一个不小于6的偶数都等于两个 奇质数的和.

歌德巴赫猜想的过程: 归纳推理的过程:
?具体的材料 ?观察分析

?猜想出一般性的结论

归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征, 归纳推理是由部分到整体、由个别到 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 一般的推理。 (结论未必为真,需证明) 的推理 ,或者由个别事实概括出一般结论的 推理,称为归纳推理(简称归纳).

观察分析 归纳整理

提出带有规 律性的结论 (猜想)

检验猜想

生活中归纳推理的例子
学习中归纳推理的例子

成语“一叶知秋”
意思是从一片树叶的凋落,

知道秋天将要来到.
比喻由细微的迹象看出整体形势 的变化,由部分推知全体.

(1) 1,3,5,7,…,由此你猜想出 第n个数是_______. 2n-1 an (2)数列{an}的第1项a1=1且an +1 = 1 + an (n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通 项公式.

例1

1=12,

1+3=22,
1+3+5=32, 1+3+5+7=42, 1+3+5+7+9=52 ……
1 3 7 5

9

由此你归纳出第n个等式是_______.
1+3+5+…+(2n-1)=n2

?例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶 点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们 之间的关系.

多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱
五棱锥 立方体 正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5 5 4 5 6 6 8 9

多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5 5 6 6 8 4 5 6 6 8 6 6 8 9 10 12 12

正八面体
五棱柱 截角正方体 尖顶塔

猜想
多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体

F+V-E=2
4 5 5 6 6 8 4 5 6 6 8 6 10

欧拉公式

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
6 8 9 10 12 12

正八面体
五棱柱 截角正方体 尖顶塔

7 7
9

15 15
16

10 9

传说在古老的印度有一座神庙,神庙中有三根针 和套在一根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧 侣们按下列规则,把圆环从一根针上全部移到另一根针 上,第三根针起“过渡”的作用. 1.每次只能移动1个圆环;
2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面.

请你试着推测:把 n 个圆环从1号针移到3号针,最少 需要移动多少次?

2

1

3

设 an 为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数, 则 n =1时,a1 =1 第1个圆环从1到3.

2

1

3

设 an为把

n=1时, a1=1 n=2时, a2=3

n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数,则
第1个圆环从1到3. 前1个圆环从1到2; 第2个圆环从1到3;

第1个圆环从2到3.

2

1

3

设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数, 则 n=1时, a1=1 前2个圆环从1到2; n =2时, a2=3 第3个圆环从1到3; n =3时, a3=7 前2个圆环从2到3. n=4时, a4= 15

猜想 an=

2n -1

2

1

3

3 已知 sin 5 + sin 65 + sin 125 = 2
2 o 2 o 2 o

3 sin 30 + sin 90 + sin 150 = 2 观察上述两等式的规律,请你 写出一般性的命题。
2 o 2 o 2 o

3 sin a + sin (a + 60 ) + sin (a + 120 ) = 2
2 2 o 2 o

1 1 1 f(n)=1+ + + L + (n ? N * )计算得 2 3 n 3 5 7 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3,f (32) > 2 2 2 L , 推测当n > 2时,有-----------------.

n+2 f (2 ) > 2
n

如图所示,(1),(2),(3),...,是 由花盆摆成的图案,根据图中花盆摆放的规 律,猜想第n个图形中花盆的盆数a n =

(1)

(2)
2

(3)

an = 3n - 3n + 1

课堂小结
?归纳推理
?归纳推理的 基础 ?归纳推理的 作用
? 由部分到整体,个别到一 般的推理
? 观察分析

? 发现新知识,获得新结论 ? 归纳推理的结论不一定正确

?注意

课后作业
阅读教材 P110到P113 教材P114 习题1:2、3、4、5

《三维设计》P40 -P41:例1、例2

请同学们上网了解以下的猜想:

哥德巴赫猜想

费马猜想
四色猜想

歌尼斯堡七桥问题

重庆市松树桥中学 欧涛燕
August 23, 2016

哥德巴赫(Goldbach C.,1690~1764)
是德国数学家。曾在英

国牛津大学学习;原学
法学,曾担任中学教师。1725年到俄国,同年 被选为彼得堡科学院院 士;1725年~1740年 担任彼得堡科学院会议 秘书;1742年移居莫斯科,并在俄国外交部任 职。曾提出著名的哥德巴赫猜想。


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