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【课堂新坐标】(广东专用)2014高考数学一轮复习 课后作业(二十一)两角和与差的正弦、余弦和正切公式 文


课后作业(二十一)

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

一、选择题 3-sin 70° 1.(2013·清远质检) =( 2 2-cos 10° A. 1 2 B. 2 2 C.2 D. 3 2 ) )

2.在△ABC 中,tan A+tan B+ 3= 3tan Atan B,则 C 等于( π 2π π π A.

B. C. D. 3 3 6 4

cos 2α 2 3.(2013·广州模拟)若 =- ,则 cos α +sin α 的值为( π 2 sin(α - ) 4 A.- 7 2 1 B.- 2 1 7 C. D. 2 2

)

4 π 4.若 sin(α -β )sin β -cos(α -β )cos β = ,且 α 是第二象限角,则 tan( + 5 4 α )等于( ) 1 D.- 7 ) 1 A.7 B.-7 C. 7

π 1 5.(2013·潮州模拟)设 sin( +θ )= ,则 sin 2θ =( 4 3 7 1 1 7 A.- B.- C. D. 9 9 9 9 二、填空题 π tan x 6.已知 tan(x+ )=2,则 的值为________. 4 tan 2x

π 3 π 2 7.已知 sin(θ + )= ,θ ∈( , π ),则 cos θ =________. 3 5 6 3 1 3 8.(2013·肇庆调研)若 cos(α +β )= ,cos(α -β )= ,则 tan α ·tan β = 5 5 ________. 三、解答题 1 π 9.(2013·清远质检)已知函数 f(x)=2sin( x- ),x∈R. 3 6 5π (1)求 f( )的值; 4 π π 10 6 (2)设 α ,β ∈[0, ],f(3α + )= ,f(3β +2π )= ,求 cos(α +β )的值. 2 2 13 5 10.已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0,0≤φ ≤π )为偶函数,其图象上相邻的两 个最低点间的距离为 2π . (1)求 f(x)的解析式;

π π π 1 2π (2)若 α ∈(- , ),f(α + )= ,求 sin(2α + )的值. 3 2 3 3 3 7π 3π 11.已知函数 f(x)=sin(x+ )+cos(x- ),x∈R. 4 4 (1)求 f(x)的最小正周期和最小值; 4 4 π (2)已知 cos(β -α )= ,cos(β +α )=- ,0<α <β ≤ , 5 5 2 求证:[f(β )] -2=0.
2

解析及答案 一、选择题 3-sin 70° 2(3-sin 70°) 1. 【解析】 原式= = =2. 1 3-sin 70° (3-cos 20°) 2 【答案】 C 2. 【解析】 由已知得 tan A+tan B=- 3(1-tan Atan B), tan A+tan B ∴ =- 3,即 tan(A+B)=- 3, 1-tan Atan B π 又 tan C=tan[π -(A+B)]=-tan(A+B)= 3,又 0<C<π ,∴C= . 3 【答案】 A 3. 【解析】 cos 2α cos α -sin α = π 2 sin(α - ) (sin α -cos α ) 4 2 2 . 2
2 2

=- 2(sin α +cos α )=- 1 ∴sin α +cos α = . 2 【答案】 C

4 4. 【解析】 ∵sin(α -β )sin β -cos(α -β )cos β = , 5 4 ∴cos α =- . 5 3 3 又 α 是第二象限角,∴sin α = ,则 tan α =- . 5 4 π 3 +tan α 1- 4 4 1 π ∴tan( +α )= = = . 4 π 3 7 1-tan tan α 1+ 4 4 tan 【答案】 C

π 1 5. 【解析】 ∵sin( +θ )= , 4 3 π 2 7 2 π ∴cos( +2θ )=1-2sin ( +θ )=1- = , 2 4 9 9 π 又 cos( +2θ )=-sin 2θ , 2 7 7 ∴-sin 2θ = ,即 sin 2θ =- . 9 9 【答案】 A 二、填空题 π tan x+1 1 6. 【解析】 由 tan(x+ )=2 得 =2,∴tan x= , 4 1-tan x 3 ∴ tan x tan x 1-tan x 1 1 4 = = = (1- )= . tan 2x 2tan x 2 2 9 9 2 1-tan x 4 9
2

【答案】

π 2 π π 7. 【解析】 ∵θ ∈( , π ),∴θ + ∈( ,π ), 6 3 3 2 π 3 π 4 由 sin(θ + )= 知 cos(θ + )=- , 3 5 3 5 π π ∴cos θ =cos[(θ + )- ] 3 3 4 1 3 3 3 3-4 =- × + × = . 5 2 5 2 10 【答案】 3 3-4 10

1 3 8. 【解析】 ∵cos(α +β )= 且 cos(α -β )= , 5 5

?cos α cos β -sin α sin β =1, ? 5 ∴? 3 ?cos α cos β +sin α sin β =5, ? 2 ?cos α cos β =5, ? ∴? 1 ?sin α sin β =5, ?
sin α sin β 1 ∴tan α ·tan β = = . cos α cos β 2 【答案】 1 2

三、解答题 5π 1 5π π π 9. 【解】 (1)f( )=2sin( × - )=2sin = 2. 4 3 4 6 4

π 1 π π 10 (2)f(3α + )=2sin[( (3α + )- )]=2sin α = , 2 3 2 6 13 5 ∴sin α = , 13 1 π π 6 3 f(3β +2π )=2sin[ (3β +2π )- ]=2sin(β + )= ,∴cos β = . 3 6 2 5 5 π ∵α ,β ∈[0, ], 2 12 4 2 2 ∴cos α = 1-sin α = ,sin β = 1-cos β = , 13 5 ∴cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β = 12 3 5 4 16 × - × = . 13 5 13 5 65

10. 【解】 (1)因为周期为 2π ,所以 ω =1, 又因为 0≤φ ≤π ,且 f(x)为偶函数, π π 所以 φ = ,则 f(x)=sin(x+ )=cos x. 2 2 π 1 π 5π (2)因为 cos(α + )= ,又 α + ∈(0, ), 3 3 3 6 π 2 2 所以 sin(α + )= , 3 3 2π π π 因此 sin(2α + )=2sin(α + )cos(α + ) 3 3 3 2 2 1 4 2 =2× × = . 3 3 9 7π 3π π 11. 【解】 (1)∵f(x)=sin(x+ -2π )+sin(x- + ) 4 4 2 π π π =sin(x- )+sin(x- )=2sin(x- ). 4 4 4 ∴T=2π ,f(x)的最小值为-2. 4 4 (2)证明 ∵cos(β -α )= ,cos(β +α )=- . 5 5 4 ∴cos β cos α +sin β sin α = , 5 4 cos β cos α -sin β sin α =- , 5 两式相加得 2cos β cos α =0. π π ∵0<α <β ≤ ,∴β = . 2 2 π 由(1)知 f(x)=2sin(x- ), 4 ∴[f(β )] -2=4sin
2 2

π 2 2 -2=4×( ) -2=0. 4 2


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