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一元一次不等式组的运用方案设计题


第八章 一元一次不等式(组)的运用

方案设计题

复习1

该语言叙述表达必须理解记忆 复习2
于或小
于,通常用符号 “≤” 表示。(读作:“小于或等
于”) 2、“不小于” “不低于” “至少” “等于或大

1、 “不大于” “不超过” “至多” “最多”指的

是等

“最少”指的是

于”。通常用符号“≥”表示。(读作:“大于或等 于”)。 3、“超过、以上、大于、盈利”指的是“大于”

用“>”表示;
4、“不足、以下、小于、亏损”指的是“小于” 用“<”表

应用题1

为打造“书香校园”,某学校计划用不超过 1900本科技类书籍和1620本人文类书籍,组建 中、小型两类图书角共30个。已知组建一个中 型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本; 组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文 类书籍60本。 (1)问符合题意的组建方案有几种?请你帮学校 设计出来; (2)若组建一个中型图书角的费用是860元,组 建一个小型图书角的费用是570元,试说明在(1) 中哪种方案费用最低?最低费用是多元?

分析:
(1)在计划用书中,科技类书籍不超过1900本, 人文类书籍不超过1620本,由此列出不等式组, 求其整数解,可求得图书角的组建方案。 (2) 由(1)中的方案,计算出各个方案的费用,经 比较可确定最低费用。 (3) “不超过(不超出)”表示“≤” (4)如果设组建中型图书角 个,则组建小型 图书角为 (30 ? x)个。 所有科技类书:80x ? 30(30 ? x) ? 1900 所有人文类书:50x ? 60(30 ? x) ? 1620

x

解:(1)设组建中型图书角 x 个,则组建小型 图书角为(30 ? x) 个。根据题意得:

由于 x 只能取整数,所以 x 取值是18、19、20 所以有三种组建方案: 方案一:组建中型图书角18个,小型图书角12个 方案二:组建中型图书角19个,小型图书角11个 方案三:组建中型图书角20个,小型图书角10个 (2)由于中型书角的费用>小型书角费用,所以 选方案一。最低费用860×18+570×12=22320元

?80x ? 30(30 ? x) ? 1900 ? ?50x ? 60(30 ? x) ? 1620

解得18 ? x ? 20

应用题2
某建筑公司需要水泥230吨,钢材168吨,现 有A、B两种型号的货车共40辆可供使用,每辆A 型车最多可装水泥6吨和钢材4吨,运费190元; 每辆B型车最多可装水泥5吨和钢材5吨,运费200 元。 (1)要安排A、B两种型号的货车来运输,有几 种运输方案?请你帮该公司设计。 (2)哪种运输方案的运费最少?为什么?

解:(1)设用A型车x辆,则用B型车(40-x)辆, 依题意得: 6 x ? 5(40 ? x) ? 230

解得:30 ? x ? 32

4 x ? 5(40 ? x) ? 168

? x为正整数? x ? 30 、 31 、 32 ? 安排A、B两型货车运输有三种运输方案: 方案1:A型车30辆、B型车10辆; 方案2:A型车31辆、B型车9辆; 方案3:A型车32辆、B型车8辆。
(2) 当A型车30辆、B型车10辆时:190×30+200×10=7700(元)

当A型车31辆、B型车9辆时:190×31+200×9=7690(元)
当A型车32辆、B型车8辆时为:190×32+200×8=7680(元)

所以第三种运输方案运费最少

应用题3
初三某班毕业时结余经费1800元,班委会 决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为 母校购买纪念品,其余资金在毕业晚会上给50 位同学每人购买一件文化衫或一本相册作纪念, 已知每件文化衫比每本相册贵9元,用200元恰 好可以买到2件文化衫和5本相册。
(1)求每件文化衫和每本相册的价格分别是 多少? (2)有几种购买文化衫和相册的方案?哪种 方案用于给母校购买纪念品的资金更充足?

温馨提示:(1)若设每件文化衫为x元,每 本相册为y元,则: x ? 35 x? y ?9 解得: y ? 26 2 x ? 5 y ? 200
(2)设购买了a件文化衫,则购买了相册(50-a)本, 依题意得:

1800? 35a ? 26?50 ? a ? ? 270 1800? 35a ? 26?50 ? a ? ? 300
2 5 解得: 22 ? a ? 25 9 9

又因为a为正整数

所以a=23、24、25

应用题4
双蓉服装店专买M、N两种型号的服装,若 销售一件M型服装可获利18元,销售一件N型 服装可获利30元,根据市场需求,服装店老板 决定购进M型服装的数量要比购进N型服装数 量的2倍还多4件,且M型服装最多可购进28件, 这样服装全部售出后,可使总的获利不少于 699元,问有几种进货方案,如何进货?

解:设购进N型服装x件,则购进M型服装
(2x+4)件,依题意得:

? x为正整数 ? x ? 11 、 12 ? 有两种进货方案 : ?1?N型服装11件、M 型服装26件; ?2?N型服装12件、M 型服装28件。

1 解得:10 ? x ? 12 2

2 x ? 4 ? 28 18x ? 30(2 x ? 4) ? 699

应用题5

1. 甲、乙两仓库要向A、B两地调运机器,已知甲 仓库可调出机器100台,乙仓库可调出机器80台, A地需要70台,B地需要110台。甲、乙两仓到A、 B两地的路程运费如下表:
路程(千米) 甲库 乙库 20 15 25 20 运费(元/台· 千米) 甲库 乙库 12 12 10 8

A地 B地

(1)设甲往A地调运机器x台,用含x的代数式表示总 运费Y(元). (2)怎样安排调运方案,才能使总运费最省?

应用题6
2.A厂有100台电脑,B厂有40台电脑,甲地需要 80台,乙地需要60台.如果从A厂运往甲地、乙地 的运费分别是800元/台、400元/台,从B厂运往甲 地、乙地的运费分别是500元/台、300元/台。求: (1)若总运费为84000元, B厂运往乙地应是多少台? (2)若总运费不超过76500元,共有几种调运方案? 请你帮忙设计出来。 (3)求出总运费最低的调运方案,最低是多少元?

应用题7 3.某校七年级学生参加社会实践活动,原计划租用 48座客车若干辆,但还有24人无座位. (1)设原计划租用48座客车x辆,则该校七年级 学生的总数有__________人; (2)若租用60座客车,则可比原计划租48座客车 少2辆,且所租的60座客车中有一辆没有坐满,但 这辆车已坐的座位超过36个,请你求出该校七年 级学生的总人数. (3)现在又了解到,48座客车的租金为每辆200 元,60座客车的租金为每辆240元.为了让每个学 生都有座位,所租客车上又不留空位,请你帮忙 设计租车方案.你能设计几种?哪种方案最省? 最少费用是多少?

4.下表所示为装运甲,乙,丙三种蔬菜的重量及利润, 某汽车运输公司计划装运甲,乙,丙三种蔬菜到外地 销售(每辆汽车按规定满载,并且每辆汽车只能装一 种蔬菜). 应用题8
甲 2 5 乙 1 7 丙 1.5 4

每辆汽车能装满的吨数 每吨蔬菜可获利润(百元)

⑴若用8辆汽车装运乙、丙两种蔬菜11吨到A地销 售,问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆?

4.下表所示为装运甲,乙,丙三种蔬菜的重量及利润, 某汽车运输公司计划装运甲,乙,丙三种蔬菜到外地 销售(每辆汽车按规定满载,并且每辆汽车只能装一 种蔬菜). 甲 2 5 乙 1 7 丙 1.5 4

每辆汽车能装满的吨数 每吨蔬菜可获利润(百元)

⑵公司计划用20辆汽车装运甲,乙,丙三种蔬菜36 吨到B 地销售(每种蔬菜不少于一车),问装运甲种 蔬菜的汽车的数量应在什么范围内?

4.下表所示为装运甲,乙,丙三种蔬菜的重量及利润, 某汽车运输公司计划装运甲,乙,丙三种蔬菜到外地 销售(每辆汽车按规定满载,并且每辆汽车只能装一 种蔬菜). 甲 2 5 乙 1 7 丙 1.5 4

每辆汽车能装满的吨数 每吨蔬菜可获利润(百元)

⑶在⑵的条件下,问如何安排装运,可使公司获 得最大利润?最大利润是多少?

2. 解 设A厂运往甲地x台,那么A运往乙地有(100-x)台, B厂运往甲地(80-x)台,B厂运往乙地 (x-40)台,则总运费 W关于x的一次函数关系式: W=8x+4(100-x)+5(80-x)+3(x-40)=680+2x。 (1) 当W=840(百元)时,则有680+2x=840,解得x=80。 若总运费为840 (百元),A厂应运往甲地 ? 40 ? x ? 80 80台。 (2) 当W≤765(百元),则 ? ?680? 2 x ? 765 解得40≤x≤42.5, 因为x只能取整数,所以x只有四种可的能值:40、41、 42。 答:若要求总运费不超过76500元,共有3种调运方案。 (3) 因为W=680+2x随着x的增大而增大,又因为40≤x≤42, 所以当x=40时,函数W=680+2x有最小值,最小值是 W=760(百元),即最低总运费是76000元。 此时的调运方案是:B厂的40台全部运往甲地;A厂运往 甲地40台,运往乙地60台。

(1) 应安排2辆汽车装运乙种蔬菜,6辆汽车装运丙 种蔬菜。 (2) 设安排y辆汽车装运甲种蔬菜,z辆汽车装运乙 种蔬菜,则用[20-(y+z)]辆汽车装运丙种蔬菜。 得 2y+z+1.5[20-(y+z)]=36, 化简,得 z=y-12, 所以 y-12=32-2y。 因为 y≥1, z≥1, 20-(y+z)≥1, 所以 y≥1, y-12≥1, 32-2y≥1, 所以 13≤y≤15.5。 设获利润S百元,则S=5y+108, 当y=15时,S的最大值是183, z=y-12=3, 20-(y+z)=2。

应用题9 例2.(茂名市)今年 6月份,我市某果农收 获荔枝30吨,香蕉13吨,现计划租用甲、乙 两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳, 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨,一种 货车可装荔枝香蕉各2吨; 1、该果农按排甲、乙两种货车时有几种方案? 请你帮助设计出来. 2、若甲种货车每辆要付运输费2000元,乙 种货车每辆要付运输费1300元,则该果农应 选择哪种方案?使运费最少?最少运费是多 少元?

解:(1)设安排甲种货车x辆,则安排乙种货车(10-x)辆,依 题意,得 ?4 x ? 2(10 ? x) ? 30
? ? x ? 2(10 ? x) ? 13

,解这个不等式组,得 是整数,x可取5、6、7, 既安排甲、乙两种货车有三种方案: ①甲种货车5辆,乙种货车5辆; ②甲种货车6辆,乙种货车4辆; ③甲种货车7辆,乙种货车3辆; 方法一:由于甲种货车的运费高于乙种货车的运费,两种货车共10 辆, 所以当甲种货车的数量越少时,总运费就越少,故该果农应选择① 运费最少, 最少运费是16500元; 方法二:方案①需要运费2000×5+1300×5=16500(元) 方案②需要运费 2000×6+1300×4=17200(元) 方案③需要运费 2000×7+1300×3=17900(元 该果农应选择① 运费最少,最少运费是16500元.

?x ? 5 ? ?x ? 7

应用题10
(2011四川内江,加试6,12分)某电脑经销商计划同时 购进一批电脑机箱和液晶显示器,若购进电脑机箱10台和 液晶显示器8台,共需要资金7000元;若购进电脑机箱2 台和液晶显示器5台,共需要资金4120元. (1)每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元? (2)该经销商计划购进这两种商品共50台,而可用于购 买这两种商品的资金不超过22240元.根据市场行情,销 售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160 元.该经销商希望销售完这两种商品,所获利润不少于 4100元.试问:该经销商有哪几种进货方案?哪种方案获 利最大?最大利润是多少?

(1)设每台电脑机箱的进价是x元,液晶显示器的进价是y元,得
?10 x ? 8 y ? 7000 ? ? x ? 60 ?2 x ? 5 y ? 4120 ? ,解得 ? y ? 800 答:每台电脑机箱的进价是60元,液晶显示器的进价是800元 (2)设购进电脑机箱z台,得
?60 x ? 800(50 ? x) ? 22240 ? ?10 x ? 160(50 ? x) ? 4100

,解得24≤x≤26 因x是整数,所以x=24,25,26 利润10x+160(50-x)=8000-150x,可见x越小利润就越大,故x=24 时利润最大为4400元 答:该经销商有3种进货方案:①进24台电脑机箱,26台液晶显示 器;②进25台电脑机箱,25台液晶显示器;③进26台电脑机箱,

24台液晶显示器。第①种方案利润最大为4400元



应用题11
(2011内蒙古乌兰察布,23,10分),某园林部 门决定利用现有的349盆甲种花卉和295盆乙种花 卉搭配A、B两种园艺造型共50个,摆放在迎宾大 道两侧.已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆, 乙种花卉4盆;搭配一个B种造型需甲种花卉5盆, 乙种花卉9盆. (l)某校九年级某班课外活动小组承接了这个园艺 造型搭配方案的设计,问符合题意的搭配方案有几 种?请你帮助设计出来; (2)若搭配一个A种造型的成本是200元,搭配一 个B种造型的成本是360元,试说明(1)中哪种方 案成本最低,最低成本是多少元?

⑴设搭建A种园艺造型x个,则搭建B种园艺造型(50-x) 个. ?8 x ? 5(50 ? x) ? 349 根据题意得 ?

?4 x ? 9(50 ? x) ? 295

解得,

31 ? x ? 33

所以共有三种方案①A :31 B:19 ②A :32 B:18 ③A :33 B:17 ⑵由于搭配一个A种造型的成本是200元,搭配一个B种 造型的成本是360元,所以搭配同样多的园艺造型A种比B 种成本低,则应该搭配A种33个,B种17个. 成本:33×200+17×360=12720(元)

应用题12
(2011贵州安顺,24,10分)某班到毕业时共结 余班费1800元,班委会决定拿出不少于270元但不 超过300元的资金为老师购买纪念品,其余资金用 于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件T恤或一 本影集作为纪念品.已知每件T恤比每本影集贵9 元,用200元恰好可以买到2件T恤和5本影集. ⑴求每件T恤和每本影集的价格分别为多少元? ⑵有几种购买T恤和影集的方案?

(1)设T恤和影集的价格分别为元和元.则

?x ? y ? 9 ? 解得 ?2 x ? 5 y ? 200

? x ? 35 ? y ? 26 ? 答:T恤和影集的价格分别为35元和26元.
(2)设购买T恤件,则购买影集 (50-) 本,则
1500 ? 35t ? 26?50 ? t ? ? 1530
200 230 ?t ? 9 9

解得, ∵为正整数,∴= 23,24,25, 即有三种方案.第一种方案:购T恤23件,影集27本; 第二种方案:购T恤24件,影集26本;

第三种方案:购T恤25件,影集25本.

应用题13

(2011山东枣庄,22,8分)某中学为落实市教育局提出 的“全员育人,创办特色学校”的会议精神,决心打造 “书香校园”,计划用不超过1900本科技类书籍和1620 本人文类书籍,组建中、小型两类图书角共30个.已知组 建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本; 组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60 本. (1)符合题意的组建方案有几种?请你帮学校设计出来; (2)若组建一个中型图书角的费用是860元,组建一个 小型图书角的费用是570元,试说明(1)中哪种方案费 用最低,最低费用是多少元?

解:(1)设组建中型图书角x个,则组建小型图书角为(30-x)个.由题意,得

80 x ? 30 ( 30 ? x ) ? 1900 ? ? 50 x ? 60 ( 30 ? x ) ? 1620 ?
……………………………………2分 解这个不等式组,得18≤x≤20. 由于x只能取整数,∴x的取值是18,19,20. 当x=18时,30-x=12;当x=19时,30-x=11;当x=20时,30-x=10. 故有三种组建方案:方案一,中型图书角18个,小型图书角12个;方案二,中型 图书 角19个,小型图书角11个;方案三,中型图书角20个,小型图书角10个. …5 分 (2)方案一的费用是:860×18+570×12=22320(元); 方案二的费用是:860×19+570×11=22610(元); 方案三的费用是:860×20+570×10=22900(元). 故方案一费用最低,最低费用是22320 元. ……………………………………8分

解题方法思考
本类方案题型解题关键在于找出符合 应用题全部含义的几个不等关系,依据这 些不等关系列出相应的不等式,从而组成 不等式组,求出不等式组的解集,在结合 问题的实际情况,从解集中找出符合题意 的解。
装货、载重、载人等装载问题,则隐含着至少要 把货物、重量、人等全部拉走。 “至少”用≥ 调配用料、搭配造型等配料问题,则隐含着最多 把所给的数量用完。 “最多”用≤

衍生训练2 应用题14 (济南中考)某校准备组织290名学生进行野外考 察活动,行李共有100件。学校计划租用甲、乙两 种型号的汽车共8辆,经了解,甲种汽车每辆最多 能载40人和10件行李,乙种汽车每辆最多能载30 人和20件行李。 (1)设租用甲种汽车 辆,请你帮助学校设计 所有可能的租车方案? (2)如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别 为2000元、1800元,请你选择最省钱的一种租车 方案?

x

解: (1)设租用甲种汽车 x 辆,则租用乙种汽车 辆,根据题意得: (8 ? x) ?40x ? 30(8 ? x) ? 290 ? 解得 5 ? x ? 6 ?10x ? 20(8 ? x) ? 100 即有两种租车方案: 第一种是租用甲种汽车5辆,乙种汽车3辆; 第二种是租用甲种汽车6辆,乙种汽车2辆。 (2)第一种费用:5×2000+3×1800=15400元 第二种租车费用: 6×2000+2×1800=15600元 ∴第一种租车方案更省费用。

应用题15 衍生训练3 (茂名中考)今年6月份,我市某果农收获荔枝 30吨、香蕉13吨,现计划租用甲、乙两种货车共 10辆将这批水果全部运往深圳,已知甲种货车可 装荔枝4吨和香蕉1吨,乙种货车可装荔枝、香蕉 各2吨。 (1)该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案? 请你帮助设计出来。 (2)若甲种货车每辆要付运费2000元,乙种货车 每辆要付运费1300元,则该果农应选择哪种方案 使运费最少?最少运费是多少元?

解: (1)设安排甲种货车 辆,则安排乙种货车 辆,根据题意得: ( 10 ? x)

x

?4 x ? 2(10 ? x) ? 30 ? ?x ? 2(10 ? x) ? 13

解得 5 ? x ? 7

? x 是整数, ? x?5 , 6 , 7
即安排甲、乙两种货车有三种方案: ①甲种货车5辆,乙种货车5辆; ②甲种货车6辆,乙种货车4辆; ③甲种货车7辆,乙种货车3辆。

(2)方案①需要运费2000×5+1300×5=16500元
方案②需要运费2000×6+1300×4=17200元 方案③需要运费2000×7+1300×3=17900元 ∴ 该果农应选择方案①运费最少, 最少运费是16500元

衍生训练4 应用题16 (青岛中考)为了美化青岛,创建文明城市,园林 部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙 种花卉搭配成A、B两种园艺造型共50个,摆放在 迎宾大道两侧,搭配每个造型所需花卉情况如下表 所示。 造型 甲 乙
A B 90盆 40盆 30盆 100盆

结合上述信息,解答下列问题: (1)符合题意的搭配方案有哪几种? (2)若搭配一个A型造型的成本为1000元,搭 配一个B种造型的成本为1200元,试说明选用 (1)中哪种方案成本最低?

解: (1)设需要搭配 个A种造型,则需要搭配 (50 ? x) 个B种造型,根据题意得:
?90x ? 40(50 ? x) ? 3600 ? ?30x ? 100(50 ? x) ? 2900

x

解得 30 ? x ? 32

? x 为整数, ? x ? 30, 31 ,32
第二种:A种造型31个,B种造型19个 第一种:A种造型32个,B种造型18个

∴有三种方案: 第一种:A种造型30个,B种造型20个 (2)由题知:三种方案的成本分别是: 第一种方案:30×1000+20×1200=54000(元) 第一种方案:31×1000+19×1200=53800(元) 第一种方案:32×1000+18×1200=53600(元) ∴第三种方案成本最低。

衍生训练12 应用题17 (重庆中考)我市某镇组织20辆汽车装运 A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售,按计划20 辆车都要装运,每辆汽车只能装运同一种脐橙,且 必须装满,根据下表提供的信息,解答以下问题。 脐橙品种 A B C 每辆汽车运载量(吨) 6 5 4 每吨脐橙获利(百元) 12
(1)设装运A种脐橙的车辆数为 ,装运B种脐橙 的车辆数为 y ,求 y 与 之间的关系式; (2)如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆,那 么车辆的安排方案有几种?并写出每种方案; (3)若要使此次销售获利最大,应采用哪种安排方 案?并求出最大利润的值。

x

x

16

10

(1)设装运A种脐橙的车辆数为 解:

的车辆数为

y

根据题意:6 x ? 5 y ? ( 4 20 ? x ? y) ? 100

,则装运C种脐橙的车辆为 (20 ? x ? y)

x ,装运B种脐橙

整理得

y ? ?20x ? 20

(2)由(1)知:装运A、B、C三种脐橙的车辆 数分别为 , ? 2 x ? 20 , ,根据题意得 ?x ? 4 解得 4 ? x ? 8 ? ?? 2 x ? 20 ? 4

x

x

? x 为整数, ? x ? 4 ,5 ,6 , 7, 8
∴安排方案共有5种,分别为:

方案一:装运A种脐橙4车,B种脐橙12车,C种脐橙4车 方案二:装运A种脐橙5车,B种脐橙10车,C种脐橙5车 方案三:装运A种脐橙6车,B种脐橙8车,C种脐橙6车 方案四:装运A种脐橙7车,B种脐橙6车,C种脐橙7车 方案五:装运A种脐橙8车,B种脐橙4车,C种脐橙8车

(3)设利润为W百元,则

W ? 6 x ?12 ? ( 5 ? 2 x ? 20) ?16 ? 4 x ?10 ? ?48x ? 1600 (4 ? x ? 8) ? ?48 ? 0, W的值随x的增大而减小 ? W最大 ? ?48? 4 ? 1600? 1408 (百元) ? 14.08万元

答:装运A种脐橙4车,B种脐橙12车,C种脐橙4车 时,可获得最大利润,最大利润是14.08万元。


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七年级下一元一次不等式(组)的典型应用题归纳_初一...(2)有哪几种符合题意的生产方案?请你帮助设计. ...©2014 Baidu 使用百度前必读 | 文库协议...

用一元一次不等式组解决方案设计问题

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一元二次方程应用题总结归类及典型例题库

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一元一次方程应用题汇编 方案选择问题

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一元一次不等式组的应用题

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一元一次不等式组应用题

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