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浙江省杭州地区七校2015届高三上学期期末联考数学(理)试题


2014 学年杭州地区七校高三第一学期期末模拟联考 高三年级数学(理)学科 试 题
考生须知: 1.本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟; 2.答题前,在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名;座位号写在指定位置; 3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效; 4.考试结束后,只需上交答题卷。

选择题部分(共 40 分)
一、选择题

:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? {x |

x ? x 2 ? 2 , x ? R} , B ? {1, m} ,若 A ? B ,则 m 的值为(
B . ?1

)

A. 2

C . ? 1或 2

D. 2或 2

2. 是不等式 2 x 2 ? 5 x ? 3 ? 0 成立的一个充分不必要条件,则实数 a 的取值范围 “x ? {a,3}” 是( )

A.  (3,??)

1? ? B.? ? ?, ? ? ? ?3, ? ?? 2? ?
1? ? D.? ? ?,? ? ? (3,??) 2? ?

1? ? C.? ? ?,? ? 2? ?
3.已知函数 f ( x) ? ?

?3 x ? 1,x ? 1 ,则函数 f ( x) 的零点为 ( ?1 ? log 2 x,x ? 1



1 A. , 0 2

B. ? 2, 0

C.

1 2

D.0


4. 已知 | a |?| b |? 1 向量 a与b 的夹角为 120°, 且 ( a ? b) ? ( a ? t b) , 则实数 t 的值为 (

A .-1
5. 已知 cos 2? ?

B.1

C.-2 )

D.2

2 ,则 sin 4 ? ? cos 4 ? 的值为( 3
B ?

A

2 3

2 3

C

11 18

D

?

2 9

6.设等差数列 {a n } 和等比数列 {bn } 首项都是 1,公差和公比都是 2,则 ab2 ? ab3 ? ab4 ? ( )

A . 24
7.设 F1 , F2 是双曲线

B . 25

C . 26

D . 27

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的左、右两个焦点,若双曲线右支上 a2 b2
3 | PF2 | ,则双曲

存在一点 P ,使 (OP ? OF2 ) ? F2 P ? 0 ( O 为坐标原点) ,且 | PF1 |? 线的离心率为( )

A.

2 ?1 2

B . 2 ?1

C.

3 ?1 2

D . 3 ?1

8.已知 f ( x) 是定义在 R 上的增函数,函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于点(1,0)对称,若对 任意的 x , y ? R ,不等式 f ( y ? 3) ? f ( 4 x ? x ? 3 ) ? 0 恒成立,则
2

y 的取值范围是 x





2 2 3 , 2? 3] 3 3 2 C . [2 ? 3 , 3] 3
A . [2 ?

B . [1 , 2 ? D . [1 , 3]

2 3] 3

非选择题部分(共 110 分)
注意事项: 1.用黑色的字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、填空题:本大题共 7 小题,第 9 题每空 2 分,第 10,11,12 题每空 3 分,第 13,14, 15 题每空 4 分,共 36 分。 9. 已知 f ( x) ? 2 sin ? 2 x ? 集合为

? ?

??

?? ? ? 。则 f ? ? = 3? ?6?

;若 f ( x) =-2,则满足条件的 x 的

;则 f ( x) 的其中一个对称中心为

。 ;

10. 已知函数 f ( x) ? ( ) | x ?1|? a| x ? 2| 。当 a ? 1 时, f ( x) 的单调递减区间为 当 a ? ?1 时, f ( x) 的单调递减区间为 11.已知 x , y 为正实数,且 x ? 2 y ? 3 。则 。

1 2

3x ? y 的最小值为 xy

; 则

2 x( y ? 1) 的最大值为



12. 已知递增的等差数列 {a n } 的首项 a1 ? 1 ,且 a1 、 a 2 、 a 4 成等比数列。则数列 {a n } 的 通项公式为 ______________。 13.如图,△ ABC 是边长为 2 3 的等边三角形, P 是以 C 为圆心, 半径为 1 的圆上的任意一点,则 AP ? BP 的取值范围是 .
C

;则 a 2 ? a5 ? a8 ? ? ? a3n ?1 ? ? ? a3n ?8 的表达式为

P B

3? 的子集, 14.若不等式 x ? x ? 1 ? a 的解集是区间 ? ?3,
2

则实数 a 的范围为
2 2

.

A
xy 的取值范围是 x? y?2
.

15.若实数 x,y 满足 x ? y ? 4 ,则

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本题满分 14 分)已知圆 C: x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 。
2 2

(1)求 m 的取值范围。 (2)当 m=4 时,若圆 C 与直线 x ? ay ? 4 ? 0 交于 M,N 两点,且 CM ? CN ,求 a 的值。

17. (本题满分 14 分)设函数 f ( x) ? m ? n ,其中向量 m ? (2 cos x ,1) ,

n ? (cos x , 3 sin 2 x) , x ? R .
(1)求 f ( x) 的最小正周期与单调递减区间; (2) 在△ ABC 中,a 、b 、c 分别是角 A 、B 、C 的对边, 已知 f ( A) ? 2 ,b ? 1 , △ ABC

的面积为

3 b?c ,求 的值. 2 sin B ? sin C

18. (本题满分 15 分)已知数列 {an } , S n 是其前 n 项的且满足 3an ? 2 S n ? n(n ? N ? ) (I)求证:数列 ? an ? ? 为等比数列;

? ?

1? 2?

(Ⅱ )记 Tn ? S1 ? S 2 ? … ? S n ,求 Tn 的表达式。

19. (本题满分 15 分)已知 M (? 3 , 0) , N ( 3 , 0) 是平面上的两个定点,动点 P 满足

| PM | ? | PN |? 2 6 .
(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)已知圆方程为 x 2 ? y 2 ? 2 ,过圆上任意一点作圆的切线,切线与(1)中的轨迹交于

A , B 两点, O 为坐标原点,设 Q 为 AB 的中点,求 | OQ | 长度的取值范围.

20. (本题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? x ? ( x ? 1) | x ? a | .
2

(1)若 a ? ?1 ,解方程 f ( x) ? 1 ; (2)若函数 f ( x) 在 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (3)若 a ? 1 且不等式 f ( x) ? 2 x ? 3 对一切实数 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围

2014 学年杭州地区七校高三第一学期期末模拟联考 高三年级数学(理)学科参考答案
最终定稿人:塘栖中学 黄江 联系电话:18069820296

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 题号 答案 1 A 2 D 3 D 4 A 5 B 6 B 7 D 8 C

二、填空题:本大题共 7 小题,第 9 题每空 2 分,第 10,11,12 题每空 3 分,第 13,14, 15 题每空 4 分,共 36 分。 9. ①

3

② {x | x ? k? ?

5 ? , k ? Z} 12
11. ①



(

k? ? ? , 0)(k ? Z ) 2 6


10. ① [1 , ? ?)



[?2 , 1]

7?2 6 3

5 2

12. ① an ? n 14.



3n 2 ? 19n ? 30 2
15.

13.

[1 , 13]

a?5

[1 ? 2 , 2) ? (2 , 1 ? 2 ]

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本题满分 14 分) 解: (1) D 2 ? E 2 ? 4 F ? 4 ? 16 ? 4m ? 0 ,∴ m ? 5 (2)∵ m ? 4 ,∴ ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 1 ,
2 2

??5 分

圆心 C : (1 , 2) ,半径 r ? 1 ∵ CM ? CN ∴d ?

??6 分

2 | 1 ? 2a ? 4 | 2 r ,即 ? 2 2 2 1? a

??10 分

化简: 7 a 2 ? 24a ? 17 ? 0 ∴ a ? 1或 a ?

??12 分 ??14 分

17 7

17. (本题满分 14 分) 解: (1) f ( x) ? m ? n ? 2 cos x ? 3 sin 2 x
2

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin( 2 x ?
∴函数 f ( x) 的最小正周期 T ? 令

?
6

) ?1

??4 分 ??5 分

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

3? ? 2k? , k ? Z , 2

2? ?? 2

解得

?
6

? k? ? x ?

2? ? k? , k ? Z 3

∴函数 f ( x) 的单调递减区间是 [

?

6

? k? ,

(2)由 f ( A) ? 2 ,得 2 sin( 2 A ?

?
6

2? ? k? ] , k ? Z 3

??7 分

) ? 1 ? 2 ,即 sin( 2 A ?

?
6

)?

在△ ABC 中,∵ 0 ? A ? ? ,∴ 2 A ? 又∵ S ?ABC ?

?
6

?

5? ? ,得 A ? 6 3

1 2
??9 分

1 1 3 3 ,∴ c ? 2 bc sin A ? ? 1 ? c ? ? 2 2 2 2

∴由余弦定理得: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 3 ,∴ a ? 由

3

??12 分

b c a ? ? ? sin B sin C sin A
b?c ?2 sin B ? sin C

3 3 2

,得 b ? 2 sin B , c ? 2 sin C



??14 分

18. (本题满分 15 分) 解: (1)当 n ? 1 时, 3a1 ? 2 S1 ? 1 ,∴ a1 ? 1 当 n ? 2 时, 3an ? 2 S n ? n ①, ??1 分 ② ??5 分

3an ?1 ? 2 S n ?1 ? (n ? 1)

∴②-①得: 3an ? 3an ?1 ? 2an ? 1 ,即 an ? 3an ?1 ? 1

1 1 1 2 ? 3 ,又 a ? 1 ? 3 ? 0 ∴ an ? ? 3an ?1 ? 1 ? , 1 2 2 a ?1 2 2 n ?1 2 1 3 ∴数列 {an ? } 是以 为首项, 3 为公比的等比数列。 2 2 1 3 3 1 (2)由(1)得: an ? ? ? 3n ?1 ,∴ an ? ? 3n ?1 ? 2 2 2 2 3 1 ∴代入得: S n ? ? 3n ? (2n ? 3) 4 4 an ?
∴ Tn ? S1 ? S 2 ? S3 ? ? ? S n

??7 分 ??9 分 ??12 分

?

3 1 (3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n ) ? (5 ? 7 ? 9 ? ?(2n ? 3)) 4 4

??14 分

?

3 3(1 ? 3n ) 1 n(5 ? 2n ? 3) 9 n n(n ? 4) ? ? ? (3 ? 1) ? ??15 分 4 1? 3 4 2 8 4

19. (本题满分 15 分)

解: (1)由题意知,点 P 的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆, 且a ?

??2 分

6 ,c ? 3 ,b ? 3 ,
x2 y2 ? ?1 6 3
??5 分

∴动点 P 的轨迹方程为

(2)若直线 AB 斜率不存在,则直线 AB 方程为 x ? ? 2 , 此时, | OQ |?

2

??6 分

若直线 AB 斜率存在,设直线 AB 方程为 y ? kx ? b , A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) 联立 ?

? y ? kx ? b 2 2 2 ,得: (1 ? 2k ) x ? 4kbx ? 2b ? 6 ? 0 2 2 x ? 2 y ? 6 ?
4kb 1 ? 2k 2

∴ x1 ? x 2 ? ?

x1 x 2 ?

2b 2 ? 6 1 ? 2k 2

??8 分

∴ y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2b ? ∵直线 AB 与圆 O 相切,∴

2b 2kb b ∴ Q(? , ) ?9 分 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 2
2

|b| 1? k

? 2 ,即 b 2 ? 2(1 ? k 2 ) ??11 分

∴ | OQ | ?
2

4k 2 b 2 ? b 2 2(4k 4 ? 5k 2 ? 1) k2 ? ? 2 ( 1 ? ) (1 ? 2k 2 ) 2 4k 4 ? 4k 2 ? 1 4k 4 ? 4k 2 ? 1
2

当 k ? 0 时, | OQ |?
2

当 k ? 0 时, | OQ | ? 2(1 ?

1 1 4k ? 2 ? 4 k
2

)?

9 , 4

??14 分

当且仅当 4k 2 ?

1 3 时,等号成立 ∴ | OQ |? [ 2 , ] 2 2 k

???15 分

20. (本题满分 16 分)

?2 x 2 ? 1 , x ? ?1 解: (1)当 a ? ?1 时,有 f ( x) ? ? , x ? ?1 ? 1
当 x ? ?1 时, 2 x 2 ? 1 ? 1 ,解得: x ? 1 或 x ? ?1 当 x ? ?1 时, f ( x) ? 1 恒成立 ∴方程的解集为: {x | x ? ?1 或 x ? 1}

???2 分

???4 分 ???5 分

(2) f ( x) ? ?

?2 x 2 ? (a ? 1) x ? a , x ? a ,x ? a ? (a ? 1) x ? a

???7 分

a ?1 ? 1 ? ?a 若 f ( x) 在 R 上单调递增,则有 ? 4 ,解得: a ? 3 ? ?a ?1 ? 0

???10 分

?2 x 2 ? (a ? 3) x ? a ? 3 , x ? a (3)设 g ( x) ? f ( x) ? (2 x ? 3) ,则 g ( x) ? ? x?a ? (a ? 1) x ? a ? 3
即不等式 g ( x) ? 0 对一切实数 x ? R 恒成立 ∵a ?1 ∴当 x ? a 时, g ( x) 单调递减,其值域为: (a ? 2a ? 3 , ? ?)
2

???11 分

∵ a ? 2a ? 3 ? (a ? 1) ? 2 ? 2 ,∴ g ( x) ? 0 恒成立
2 2

???13 分

当 x ? a 时,∵ a ? 1 ,∴ a ?

a?3 , 4

∴ g ( x) min

a?3 (a ? 3) 2 ? g( ) ? a ?3? ? 0 ,得 ? 3 ? a ? 5 4 8
???15 分 ???16 分

∵ a ? 1 ,∴ ? 3 ? a ? 1 综上: ? 3 ? a ? 1


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