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湖北省巴东一中高二数学教案 选修1-1:3.2立体几何中的向量方法第4课时


§3.2.3 坐标法中解方程组求向量的有关问题
【学情分析】 :
教学对象是高二的学生,学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面已经学习 了直线的方向向量和平面的法向量,并且对坐标法也有一定的认识,本节课是进一步通过坐 标法来解决立体几何的一些问题。我们可以将这些问题,转化为空间向量的代数运算和方程 组来解决。

【教学目标】 :<

br />(1)知识与技能:能根据图形的特点建立合适的空间坐标系并用坐标表示点和向量;对 某个向量能用解方程组的方法求其坐标. (2)过程与方法:在解决问题中,通过数形结合与问题转化的思想方法,加深对相关内 容的理解。 (3)情感态度与价值观:体会把立方体几何几何转化为向量问题优势,培养探索精神。

【教学重点】 :
解方程组求向量的的坐标.

【教学难点】 :
解方程组求向量的的坐标..

【教学过程设计】 :
教学环节 一、 复习引 入 教学活动 1. 单位向量,平面的法向量 (1)单位向量--模为 1 的向量。 (2)平面的法向量--垂直于平面的向量。 2. 坐标法。 一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” 学生回顾用平面向量解决平面几何问题的“三步曲” ,与老师共同得 出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” : (1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的 点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题; (化为向量问题) (2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之 间距离和夹角等问题; (进行向量运算) (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 (回到图形问题) 二、例题 例 1: 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 棱长为 1, 求证: 平面 A1BC1 的法向量为直线 DB1 的方向向量.
D1 D' A1 B1 C1

设计意图 为探索新知识做准 备.

二、 探究与 练习

让学生通过回顾寻 找将立体几何问题 转化为向量问题的 步骤。

例 1 在建立坐标系 后,比较简单,容 易把握。分析中的 方法是为配合本次 课的课题而设计 的。

D

C

A

B

分析: (1)建立空间坐标系;

-1-

(2)用坐标表示向量 A1B, BC1 (3)设平面 A1BC1 的方向向量为 n=(x,y,z),由下列关系

n ? A1B ? 0, n ? BC1 ? 0
列方程组求 x,y,z. (4)证明向量 n// DB 1 (解略) 思考:有更简单的方法吗? 向量DB1 与 A1 B 、 BC1 的数量积为零即可。

由学生回答本例的 简便解法。

例 2,ABCD 是一个直角梯形,角 ABC 是直角,SA 垂直于平面 ABCD, 例 2 是一个典型的 SA=AB=BC=1,AD=0.5,求平面 SCD 与平面 SBA 所成二面角的余弦。 通过解方程组求法 向量的问题,这类 S 问题可以不用作出 二面角的平面角就 求出结果。
B C

A

D

分析:求二面角的余弦,可以转换为求它们的方向向量夹角的余弦。 所以本题关键是求平面的法向量。 解:以 A 为原点建立空间直角坐标系,使点 A、C、D、S 的坐标分别 为 A(0,0,0) 、C(-1,1,0) 、D(0,0.5、0) 、S(0,0,1) 。

1 易知面SBA的法向量n1 ? AD ? (0, , 0) 2 设平面SCD的法向量 n2 ? ( x, y, z ),

由n2 ? CD, n2 ? SD, 得:
y y ? ? x? ?0 x? ? ? ? ? 2 2 ?? ? ?y?z?0 ?z ? y ? ? ?2 ? 2 任取 n2 ? (1, 2,1) n n 6 ? cos ? n1 , n2 ?? 1 2 ? | n1 || n2 | 3

取 y=2,因为只要 向量的方向。

例3

6 3 如图,一块均匀的正三 角形面的钢板的 即所求二面角得余弦值是
例 3 是数学与物理 的综合应用问题, 求合力转化为向量

质量为500kg,在它的顶点处分别受 力F1 , F2 , F3 , 每个力与同它相邻的三 角形的两边之间的角都 是60?,且 F1 ? F2 ? F3 ? 200kg.这块钢板在这些 力的作用下将会怎样运 动?这三个力最小为多 少 时,才能提起这块钢板 ?
-2-

的加法。

F3 F1
C O A B 500kg
分析: 建立坐标系, 将向量坐标化, 然后进行坐标形式下的向量运算。 为简化运算, 可以选择以三角形的一个顶点为原点、 一条边所在直线为一 条轴、三角形所在平面为坐标平面的坐标系。 帮助学生理解如何 解:如图,以点 A为原点,平面 ABC为xAy坐标 建立坐标系。
平面, AB方向为y轴正方向, AB 为y轴的单位长度 建立空间直角坐标系 Axyz, 则正三角形的顶点 3 1 , ,0). 2 2 设力F1方向上的单位向量坐标 为( x, y, z ), 坐标分别为A(0,0,0), B (0,1,0), C ( ?

F2

由于F1与 AB, AC的夹角均为 60?,利用向量 的数量积运算,得cos60? ? 1 ? ( x, y, z ) ? (0,1,0), 2 1 3 1 cos60? ? ? ( x, y, z ) ? (? , ,0), 2 2 2 1 1 解得x ? ? ,y? . 12 2
2 3
单位向量的模为 1。

又因为x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1,因此z ? 所以F1 ? 200(?
类似地 F2 ? 200( ? F3 ? 200( 1 1 ,? , 12 2 1 ,0, 3 2 ) 3 2 ) 3

1 1 2 , , ) 12 2 3

它们的合力F1+F2 ? F3 ? 200[(? 1 1 2 1 1 2 1 2 , , ) ? (? ,? , ) ? ( ,0, )] 12 2 3 12 2 3 3 3
-3-

? 200(0,0, 6 )

这说明,作用在钢板上 的合力方向向上, 大小为200 6kg, 作用点为O. 由于200 6 ? 500, 所以钢板仍静止不动。
探究:不建立坐标系,如何解决这个问题? ――求每个力向上的分力。 三、 训练与 提高 四、小结 1,课本 P113 第 11 题。 答案:3/8. 1. 根据图形特点建立合适的空间直角坐标系,用坐标表示点和向量,通 过向量解决问题。 2. 个别点和向量的坐标先假设,再列方程组来求出。 五、作业 课本 P112 ,第 6 题 和 P113 第 10 题。 反思归纳 开拓学生思维。 学生进行提高训练 应用.

练习与测试:
(基础题) 1,已知 S 是△ABC 所在平面外一点,D 是 SC 的中点,若 z= 答:0 . = ,则 x+y+

2,把边长为 a 的正三角形 ABC 沿高线 AD 折成 60 的二面角,点 A 到 BC 的距离是( A. a 答:D 3,若 a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),如果 a 与 b 为共线向量,则



B.

6a 2

C.

3a 3

D.

15a 4

-4-

A.x=1,y=1

B.x=

,y=-

C.x=

,y=-

D.x=-

,y=

解析:因为 a=(2x,1,3)与 b=(1,-2y,9)共线,故有 答案:C

=

=

,∴x=

,y=-

,应选 C.

4,若空间三点 A(1,5,-2)、B(2,4,1)、C(p,3,q+2)共线,则 p=__________,q=__________. 解析:∵A、B、C 三点共线,则 =λ ,即(1,-1,3)=λ (p-1,-2,q+4),

∴ 答案:3 2

∴λ =

,代入得 p=3,q=2.

(中等题) 5,棱长为 a 的正方体 OABC—O1A1B1C1 中,E、F 分别为棱 AB、BC 上的动点,且 AE=BF=x

z (0≤x≤a). 如图,以 O 为原点,直线 OA、OC、OO1 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标 O1 B1 系, A1
⑴ 求证:A1F⊥C1E; ⑵ 当△BEF 的面积取得最大值时,求二面角 B1—EF—B 的正切值. 证明: (1)A1(a,0.a) ,F(a-x,a,0) ,C1(0,a,a) ,E(a,x,0) 所以 A1 F ? (? x, a,?a),C1 E ? (a, x ? a,?a) ,由此得 A1 F ? C1 E =0, A1F⊥C1E (2)当△BEF 的面积取得最大值时,E、F 应分别为相应边的中点,可求得二面角 B1—EF —B 的正切值 2 2 . 6, 如图, 在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 点 E 是棱 BC 的中点, 点 F 是棱 CD 上的动点. 试确定点 F 的位置,使得 D1E⊥平面 AB1F; 解:以 A 为坐标原点,建立下图所示的空间直角坐标系. O A

C1

C E B F

y

x

-5-

设 DF=x,则 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1),

E(1,

,0),F(x,1,0).



=(1,-

,-1),

=(1,0,1),

=(x,1,0). ∴ · =1-1=0,即 D1E⊥AB1.

于是 D1E⊥平面 AB1F

D1E⊥AF

·

=0

x-

=0,即 x=

.

故当点 F 是 CD 的中点时,D1E⊥平面 AB1F.

-6-