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高一数学寒假课程第1讲-集合及其应用


寒假课程· 高一数学

第一讲
一、知识梳理

集合及其应用

1.元素与集合:把一些能够确定的不同的对象看作一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成 的集合(或集).构成集合的每个对象叫做这个集合的元素.常用数集的符号:自然数集 N ,正整数集 N ? 或 N * ,整数集 Z ,有理数集 Q ,实数集

R .不含任何元素的集合叫做空集,记为 ? . 注:集合中元素的三个特性:元素的确定性、元素的互异性、元素的无序性. 2.集合与元素的关系:如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A ,记作 a ∈ A ;如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于集合 A ,记作 a ? A . 3.集合表示法: 列举法:将元素一一列出并用花括号括起来表示集合. 描述法:用集合所含元素的特征性质描述集合. 的所有元素构成的. Venn 图: 4.集合间的基本关系: 子集:如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素,我们称集合 A 为集合 B 的子集,记作

?x ? I p(x)?表示集合 A 是由集合 I 中具有性质 p( x)

A ? B ,读作 A 包含于 B .空集是任何一个集合的子集.
真子集:如果集合 A

? B ,但存在元素 x∈ B ,且 x ? A ,我们称集合 A 为集合 B 的真子集,记作

A

B.
集合的相等:如果构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.集合 A 与集合 B 是

相等的,记作 A = B . 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集. 5.集合的运算: 交集:由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为集合 A 与 B 的交集,记作: A ∩ B , 读作: A 交 B .

B, 并集:由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集,记作: A ∪
读作: A 并 B . 补集:对于一个集合 A ,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合,叫做集合 A 在全集 U 中 的补集,记作:?U A ,读作: A 在 U 中的补集.
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二、方法归纳
1.解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三个特征;对于用描述法给出 的集合

?x p(x)?,要紧紧抓住竖线前面的代表元素 x 以及它所具有的性质 p( x) ;在读懂集合的基础上尽可

能化简集合,化难为易,化隐为显是常用技巧;要重视发挥图示法的作用,通过数形结合直观地解决问题. 2.注意空集 ? 的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如 A ? B,则 有 A = ? 或 A ≠ ? 两种可能,此时应分类讨论. 3.数集的运算往往用数轴法. 4.用 Card( A )表示有限集 A 的元素个数,则由 A 可得 Card( A )=Card( B ) ;Card( ? )=0. 5. n 个元素的集合所有子集个数为 2 ,所有真子集个数为 2 -1.
n n

;由 A = B , ? B ,可得 Card( A )≤Card( B )

三、典型例题精讲
【例 1】若集合 A ? {1,2, x,4} , B ? {x ,1} , A ∩ B ={1,4},则满足条件的实数 x 的值为 (
2



A.4

B.2 或-2

C.-2

D.2

技巧提示:牵涉到集合中的元素,必须考虑集合中元素具有确定性、互异性、无序性. 又例:若 3 ? {1, a , a 2 },求实数 a 的范围.

【例 2】已知 M A.0

? ?y y ? x ? 1?, N ? ( x, y ) x 2 ? y 2 ? 1 ,则集合 M ? N 中元素的个数是 (
B.1 C.2 D.多个

?

?



技巧提示:用描述法给出的集合一定要先看代表元素,再看代表元素满足的条件.交集是由两个集合的 公共元素组成的集合.
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又例:设集合 A ? ( x, y ) y ? x 2 ? 1 , B ? ( x, y ) x 2 ? y 2 ? 1 ,则 A ? B 的子集的个数是( A.0 B.2 C.4 D.8

?

?

?

?



【例 3】若 A, B, C 为三个集合, A ∪ B = B ∩ C ,则一定有 ( A. A ? C B. C ? A C. A ≠ C D. A = ?



技巧提示:理解集合的运算性质是解答本题的关键. A ?( A ∪ B ) , ( B ∩ C )? C 就是交运算和并 运算的重要性质.本题也可利用 Venn 图直接得出结论.

又例:已知全集 U = R ,则正确表示集合 M ? ??1, 0,1? 和 N = x x 2 ? x ? 0 关系的韦恩(Venn)图是 ( )

?

?

【例 4】设集合 A={x|x2+ax-12=0},B={x|x2+bx+c=0},且 A≠B,A∪B={-3,4},A∩B={-3}, 求 a、b、c 的值.

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技巧提示:由于集合中的元素是以方程的解的形式给出的,因此要从集合中元素的特性和交、并集的 含义进行思考. 【例 5】设集合 A、B 是非空集合,定义 A× B={x|x∈A∪B 且 x ? A∩B},已知 A={x|y= 2x-x2}, B={y|y=2x2},则 A× B 等于 A.(2,+∞) C.[0,1)∪(2,+∞) ( )

B.[0,1]∪[2,+∞) D.[0,1]∪(2,+∞)

5 【例 6】已知全集 U=R,集合 A={x|log2(3-x)≤2},集合 B={x| ≥1}. x+2 (1)求 A、B; (2)求(?UA)∩B.

技巧提示:本题考查简单的分式不等式和对数不等式求解. 又例: 已知全集 U=R, 集合 A={y|-2≤y≤2}, 集合 B={y|y=2x}, 那么集合 A∩ (?UB) 等于 ( A.{y|-2≤y≤0} C.{y|y≥-2} B.{y|0≤y≤2} D.{y|y≤0} )

【例 7】已知集合 A={x|x2-6x+8<0},B={x|(x-a) (x-3a)<0}. (1)若 A ? B,求 a 的取值范围; (2)若 A∩B= ? ,求 a 的取值范围; (3)若 A∩B={x|3<x<4},求 a 的值或取值范围.

技巧提示: (1)本题为集合在一定约束条件下求参数的问题,涉及集合的运算,其转化途径常通过两 个方面:一是分析、简化每个集合;二是利用两集合元素的性质. (2)本题体现了分类讨论的思想,分类的关键点在于比较出 a 与 3a 的大小,进而将集合 B 表示出来.
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又例:已知集合 A={x|mx -2x+3=0,m∈R}. (1)若 A 是空集,求 m 的取值范围; (2)若 A 中只有一个元素,求 m 的值; (3)若 A 中含有两个元素,求 m 的取值范围.

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四、课后训练
1.已知集合 P={x|x2=1},Q={x|mx=1},若 Q ? P,则实数 m 的数值为( A.1 B.-1 C.1 或-1 D.0,1 或-1 ) )

2.已知 U={2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7},N={2,4,5,6},则 ( A.M∩N={4,6} C.(?UN)∪M=U B.M∪N=U D.(?UM)∩N=N

3.设 I 为全集,S1,S2,S3 是 I 的三个非空子集,且 S1∪ S2∪ S3=I,则下面论断正确的是 A.?I S1∩(S2∪ S3)= ? C.?I S1∩?I S2∩?I S3= ? B.S1 ? ( ?I S2∩?I S3) D.S1 ? ( ?I S2∪ ?I S3)

4.设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数 a=_____ 5.已知全集 U=A∪B 中有 m 个元素, (?UA)∪(?UB)中有 n 个元素.若 A∩B 非空,则 A∩B 的元素个数为 A.mn B.m+n C.n-m ) D.m-n

1 6.设集合 A={x|- <x<2},B={x|x2≤1},则 A∪B= ( 2 A.{x|-1≤x<2} C.{x|x<2} 1 B.{x|- <x≤1} 2 D.{x|1≤x<2}

7.设全集为 U,且 2011∈U,与 2011 ? (A∪B)意义相同的是 A.2011∈A∪B C.2011∈(?UA)∩(?UB)





B.2011 ? A 或 2011 ? B D.2011∈(?UA)∪(?UB)

8.设 P 和 Q 是两个集合,又集合 P-Q={x|x∈P,且 x ? Q},如果 P={x|log2x<1},Q={x||x-2|<1},那 么 P-Q 等于 ( A.{x|0<x<1{ C.{x|1≤x≤2} ) B.{x|0<x≤1} D.{x|2≤x<3}

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