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河南省周口市西华一高2013届高三上学期期末考试数学(文)试题


西华一高第四次月考(文科)
命题人:王凌云 审题人:张金明

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、已知全集 U=R,集合 M A、 ( ??, 2)

? {x | x ? 1}, N ? {x |
B、 ( ??, 2]

x

?1 ? 0}, 则CU ( M ? N ) ? x?2
C、 (?1, 2] D、 [?1, 2)
[来源:高[考∴试﹤题∴库 GkStK]

2、若复数 (1 ? bi)(2 ? i) 是纯虚数( i 是虚数单位, b 是实数)则 b A、2 3、命题“ ?x ? R, x A、 ?x ? R, x C、 ?x ? R, x 4.已知双曲线 x 为( A. )
2

?
D、 ?2

B、
2

1 2

C、 ?

1 2

? 2 x ? 4 ? 0 ”的否定为
B、 ?x ? R, x D、
2

? 2x ? 4 ? 0 ? 2x ? 4 ? 0
?

? 2x ? 4 ? 0

2

?x ? R, x 2 ? 2x ? 4 ? 0
在双曲线上,且 MF ? MF2 1

2

y2 ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 M 2
2 3 3
4 3

???? ???? ? ?

? 0 ,则点 M

到 x 轴的距离

3

B.

C.

D.

5 3

5、如果过曲线 A、 (1,0)

y ? x4 ? x 上的点 P 处的切线平行于直线 y ? 3x ? 2 ,那么点 P 的坐标为
B、 (0,-1) C、 (1,3) D、 (-1,0)

6.一个正方体的展开图如图所示,A、B、C、D 为原正方体 的顶点,则在原来的正方体中( A.AB∥CD B. 与 CD 相交 AB ) C. AB⊥CD D. 与 CD 所成的角为 60° AB

7、设 α 、β 是两个不同的平面,a、b 是两条不同的直线,给出下列四个命 题,其中真命题是( ) A.若 a∥α ,b∥α ,则 a∥b B.若 a∥α ,b∥β ,则 α ∥β C.若 a⊥α ,b⊥β ,a⊥b,则 α ⊥β D.若 a、b 在平面 α 内的射影互相垂直,则 a⊥b

8、已知 a

? 0,b ? 0, 如果不等式

2 1 m ? ? 恒成立,那么 m的最大值等于 a b 2a ? b

A

10

B

7

C

8

D

9

9.设函数 f(x)为奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又

f (2) ? 0, 则

f ( x) ? f (? x) ? 0 的解集为 2
( )

A. (-2,0)∪(0,2) C. (-∞,2)∪(2,+∞) 10.

B. (-∞,-2)∪(0,2) D. (-2,0)∪(2,+∞)

A, B, C , D 是同一球面上的四个点,其中 ?ABC 是正三角形, AD ? 平面 ABC ,
) C.

AD ? 2 AB ? 6 则该球的体积为(
A. 32

3?

B.

48?

64 3?

D.

16 3?
p , q ,若“ p ? q ”为真,

11.给出下列四个命题: ①若集合 A 、 B 满足 A ? B ? A ,则 A ? B ; ②给定命题 则“

p ? q ” 为 真 ; ③ 设 a , b , m ? R , 若 a ? b , 则 am2 ? bm2 ; ④ 若 直 线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0 与 直 线
) A、 1 B、 2 C、 3 D、

l2 : x ? y ? 1 ? 0垂直,则 a ? 1 . 其中正确命题的个数是(
4 12、已知 an

1 ? ( ) n ?1 ,把数列 ?an ? 的各项排列成如下的三角形状, 3

a1 a2 a5 a3 a6 a4 a7 a8 a9


?????????????? 记 A(m,n)表示第 m 行的第 n 个数,则 A(10,11)= ( A、 (

1 90 ) 3

B、 (

1 91 ) 3

C、 (

1 92 ) 3

D、 (

1 110 ) 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 曲线 14.若 ?

y ? xe x ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为



? y ?1 ,则 x ? 3 y 的最大值是_________. ? y ?| x |
2 2

15.已知双曲线的两条渐近线均和圆 C:x +y -6x+5=0 相切,且双曲线的右焦点为抛物线 双曲线的标准方程为 16.有以下四个命题: ① ?ABC 中, “ ②不等式 10 ③若命题
x

y 2 ? 12x 的焦点,则该

.

A ? B ”是“ sin A ? sin B ”的充要条件;

? x 2 在 ? 0, ??? 上恒成立; ;

p : ?x ? R, sinx ? 1 ,则 ?p : ?x ? R, sinx ? 1
? x , y ? x , y ? x 2 , y ? x 3 其中在 ? 0, ??? 上是增函数的函数有 3 个.
?1 1 2

④设有四个函数 y

其中真命题的序号

.

三、解答题:解答应写文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知函数 (1)求函数 的最小值和最小正周期; .

(2)设 求

的内角 的值.

的对边分别为





,若



18.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ?

ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形。 ?DAB ? 60? , AB ? 2 AD, PD ?

底面

ABCD

。 (I)证明: PA ? (II)设 PD

BD

? AD ? 1 ,求棱锥 D ? PBC 的高。

S 19. ( 本小 题满 分 12 分 )已 知 数列 的 前 n 项 和 为 n , 且满足

an ?

1 S n ?1 n ? N ? 2

?

?

.(1)求数列

?a n ? 的通项公式;

(2)若

bn ? log2 a n

cn ?
,

1 b n b n ?1

,数列

?c n ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn 的取值范围.

20. (本小题满分 12 分) 有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于 85 分为优秀,85 分以下为非优秀统计成绩后,得到如下的列联表. 优秀 甲班 乙班 合计 105 2 已知从全部 105 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 . 7 (1)请完成上面的列联表; (2)根据列联表,若按 95%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”; (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人:把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进行编号,先后两次抛掷一枚 均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到 6 号或 10 号的概率. 10 30 105 非优秀 总计



K2=

n? ad-bc? 2 , ? a+b? ? c+d? ? a+c? ? b+d?

21. (本小题满分 12 分)已知函数 (1) a

f ( x) ?

ex ? a , g ( x) ? a ln x ? a x

? 1 时,求 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调区间;
? 1 时,函数 y ? f ( x) 的图象总在函数 y ? g ( x) 的图像的上方,求实数 a 的取值范围.

(2)若 x

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答是用 2B 铅笔在答题卡上把 所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如右图所示,AB 为圆 O 的直径,BC,CD 为圆 O 的切线,B、D 为切点. (1)求证:AD∥OC; (2)若圆 O 的半径为 1,求 AD·OC 的值.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ?x=1+tcos α , 已知直线 C1:? ?y=tsin α ?x=cos θ , (t 为参数),圆 C2:? ?y=sin θ π (θ 为参数).当 α = 时,将直线和曲线 3

的参数方程转化成普通方程并,求 C1 与 C2 的交点坐标;

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式|ax-2|+|ax-a|≥2(a>0). (1)当 a=1 时,求此不等式的解集; (2)若此不等式的解集为 R,求实数 a 的取值范围.

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分 BABBA DCDDA BB 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分

13、

y ? 3x ? 1

14.4

x2 y 2 ? ?1 15、 5 4

16、①②④

三、解答题: 17. 则 的最小值是 , ; ,则 , , , , ,由正弦定理,得 由余弦定理,得 由解得 . , ,即 , ,

最小正周期是

18.解: (Ⅰ)因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ? 从而 BD +AD = AB ,故 BD ? AD
2 2 2

3 AD

又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD 所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD (Ⅱ)过 D 作 DE⊥PB 于 E,由(I)知 BC⊥BD,又 PD⊥底面 ABCD ,所以 BC⊥平面 PBD,而 DE ? 平面 PBD,故 DE⊥BC,所以 DE⊥平面 PBC 由题设知 PD=1,则 BD=

3 ,PB=2,
3 3 ,即棱锥 D ? PBC 的高为 2 2

由 DE﹒PB=PD﹒BD 得 DE=

19. (1)当 n ? 1 时,

1 a1 ? S1 ? 1 a ? 2 ?????1 分 2 ,解得 1 1 an ? Sn ? 1 2 ??② ?????3 分

1 an?1 ? Sn?1 ? 1 2 当 n ? 2 时, ??① 1 an ? an?1 ? an 2 ②-①得



an ? 2an ?1

?????5 分
n ? an ? 2

?数列 ?an ? 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列
(2)

?????6 分

bn ? log2 an ? log2 2n ? n

?????7 分

cn ?

1 1 1 1 ? ? ? bn bn ?1 n(n ? 1) n n ? 1

?????8 分

1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? ? ? ? ? ? ... ? ? 1? 2 2 3 3 4 n n ?1 = n ? 1
? 1 ? 1? ? ? 0, ? n ?1 ? 2? ?1 ? ?Tn ? ? ,1? ?2 ?

?????10 分

?n ? N

?

?????12 分

20.解 (1) 优秀 甲班 乙班 合计 (2)根据列联表中的数据,得到 10 20 30 非优秀 45 30 75 总计 55 50 105

k=

105×? 10×30-20×45? 55×50×30×75

2

≈6.109>3.841,

因此有 95%的把握认为“成绩与班级有关系”. (3)设“抽到 6 号或 10 号”为事件 A,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数为(x,y),则所有的基本事件有 (1,1)、(1,2)、(1,3)、?、(6,6),共 36 个. 8 2 事件 A 包含的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(4,6),(5,5),(6,4),共 8 个,∴P(A)= = . 36 9 21.解: (1) a

? 1 时 F ( x) ?

ex ?1 ? ln x ? 1( x ? 0) x

则 F '( x)

?

xe x ? (e x ? 1) 1 ( x ? 1)(e x ? 1) ? ? x2 x x2

令 F '( x) ? 0 有: x ? 0(舍去)或x ? 1;令 F '( x) ? 0有0 ?

x ?1

故 F ( x ) 的单增区间为

?1, ??? ;单减区间为 ? 0,1? .

ex ? a ? a ln x ? a( x ? 1) (2)构造 F ( x) ? f ( x) ? g ( x)( x ? 1) ,即 F ( x) ? x
则 F '( x) ? ① 令: 当a

( x ? 1)(e x ? a) . x2

? e 时, e x ? a ? 0 成立,则 x ? 1 时, F '( x) ? 0 ,即 F ( x) 在 (1, ??) 上单增,

F (1) ? e ? a ? a ? 0 ? a ?

1 1 e ,故 a ? e 2 2

② a ? e时 ,

F '( x) ? 0有x ? 1或x ? lna ? 1 x ? lna

令 F '( x) ? 0有x ? 1或x ? lna ;令 F '( x) ? 0有 ? 1 即 F ( x) 在

?1,lna? 上单减;在 ?ln a, ??? 上单增
? F (ln a) ? ?a ln(ln a) ? a ? 0 ? a ? e e ,舍去
? 1 e 2
[来源:高[考∴试﹤题∴库 GkStK]

1

故 F ( x)min

综上所述,实数 a 的取值范围 a

22、如右图所示,AB 为圆 O 的直径,BC,CD 为圆 O 的切线,B、D 为切点. (1)求证:AD∥OC; (2)若圆 O 的半径为 1,求 AD·OC 的值. (1)证明 如图所示,连接 OD,BD, ∵BC,CD 为⊙O 的切线,∴BD⊥OC, ∴又 AB 为圆 O 的直径,∴AD⊥DB, ∴AD∥OC.

(2)解 因为 AO=OD,则∠1=∠A=∠3, Rt△BAD∽Rt△COD,∴

AD AB = ,即 AD·OC=AB·OD=2. OD OC

24、解 (1)当 a=1 时, 不等式为|x-2|+|x-1|≥2. 5 1 由绝对值的几何意义知,不等式的意义可解释为数轴上的点 x 到 1、2 的距离之和大于等于 2.∴x≥ 或 x≤ . 2 2

? 1 5 ∴不等式的解集为?x?x≤ 或x≥ 2 ? ? 2 注 也可用零点分段法求解.

? ?. ?

[来源:高[考∴试﹤题∴库]

(2)∵|ax-2|+|ax-a|≥|a-2|, ∴原不等式的解集为 R 等价于|a-2|≥2, ∴a≥4 或 a≤0,又 a>0,∴a≥4.
[来源:GkStK.Com]

[来源:学优高考网]

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