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高三数学周练3


新建二中 2017-2018 学年上学期高三历届(理科) 数学周练(3)
命题人:徐茶生 审题人:审题小组 校对人:汤娜 使用时间:2017-9-19

一、选择题
1. 将 3 2 2 化成分数指数幂为 A、 2
1 2

B、 2

?

1 2

C、 2

1 3

D、 2

2 3

2. 已知函数 f ( x) 的定义域为 [1,9] ,则函数 y ? 2 x ? x 2 ? f ( x 2 ) 的定义域为 A、 [1,9]
5

B、 [1,3]

C、 [1, 2]

D、 [2,3]

3. 函数 y ? log 1 (?3 ? 4 x ? x2 ) 的单调增区间是 4. A、 (??, 2] B、 (1, 2] C、 [2, ??) D、 [2,3) 已知函数 f ( x) 的定义域为 (3 ? 2a, a ? 1) ,且 f ( x ? 1) 为偶函数,则实数 a 的值可以是 2 A、 B、 2 C、 4 D、 6 3 对于函数 y ? f ( x), x ? R ,“ y ?| f ( x) | 的图象关于 y 轴对称”是“ y ? f ( x) 是奇函数”的 A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 1 已知 log a ? 1 ,那么 a 的取值范围是 2 1 1 1 1 A、 0 ? a ? B、 a ? C、 ? a ? 1 D、 0 ? a ? 或a ? 1 2 2 2 2 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足:对任意 x1 , x2 ? [0, ??)( x1 ? x2 ) 都有 ? 0 ,则有 x2 ? x1 A、 f (3) ? f (?2) ? f (1) B、 f (1) ? f (?2) ? f (3) C、 f (?2) ? f (1) ? f (3) D、 f (3) ? f (1) ? f (?2)
b

5.

6.

7.

?1? 8. 已知 log 1 a ? 1 , ? ? ? 1 , 2c ? 3 ,则 ?2? 2 A、 a ? b ? c B、 c ? a ? b C、 a ? c ? b D、 c ? b ? a 1 ? ?x ? 2 , x ? A 1 1 9. 设集合 A ? [0, ) , B ? [ ,1] ,函数 f ( x) ? ? ,若 f [ f (x 0)] ?A ,则 x0 的取值范围 2 2 ? 2(1 ? x ), x ? B ? 是 A、 (0 1 ] B、 ( 1 , 1 ] C、 ( 1 , 5 ) D、 [0, 3 ] 4 4 2 4 8 8 10. 已知函数 f ( x) 对任意 x ? R 都有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? 2 f (3), y ? f ( x ? 1) 的图象关于点 (1, 0) 对称, 则 f (2013) ? A、10 B、 ?5 C、5 D、0 1 3 ? ( a ? 0, a ? 1 ),如果 f ? log3 b? ? 5 ( b ? 0, b ? 1),那么 11. 已知函数 f ? x ? ? log a ( x 2 ? 1 ? x) ? x a ?1 2 ? ? A、 ? 5 B、 ? 3 C、 3 D、 5 f ? log 1 b ? 的值是 ? 3 ?

12. 设 a ? x 2 ? xy ? y 2 , b ? p xy , c ? x ? y ,若对任意的正实数 x, y ,都存在以 a, b, c 为三边长的 三角形,则实数 p 的取值范围是 A. (1,3) B. ?1, 2?
1 7 C. ( , ) 2 2
? D. ? ?? 3 , 2 ? 1 ? ?

二、填空题
?e x ? k , x ? 0 13. 已知函数 f ( x) ? ? 是 R 上的增函数,则实数 k 的取值范围是_______. ( 1 ? k ) x ? k , x ? 0 ?
?log x, x ? 0 14. 已知函数 f ( x) ? ? x 3 ,且关于 x 的方程 f ( x) ? x ? 3a ? 0 有两个实数根,则实数 a 的 x?0 ?3 ,
取值范围是

? x ? 1,x ? 0 1? ? 15. 设函数 f ? x ? ? ? x 则满足 f ? x ? ? f ? x ? ? ? 1 的 x 的取值范围是__________ 2? ? ? 2 ,x ? 0
16. 已知 y ? f ( x)( x ? R) 的导函数为 f ?( x ) .若 f ( x) ? f (? x) ? 2 x3 ,且当 x ? 0 时, f ?( x) ? 3x2 ,则 不等式 f ( x) ? f ( x ?1) ? 3x2 ? 3x ? 1 的解集是________

三、解答题
17. 已知 a ? 0 且 a ? 1 , f (x) ? loga x ? a x ,对任意 x ? [1,2] ,均有 f (x) ? a 2 ,试探求有无满足条 件的实数 a ,若有,把它求出来;若没有,说明理由.

18. 已知 g ? x ? ? ?x2 ? 3 , f ? x ? 是二次函数, g ? x ? ? f ? x ? 是奇函数,且当 x ?[?1, 2] 时, f ? x ? 的 最小值是 1,求 f ? x ? 的表达式.

19. 已知函数 f ( x) ? log9 (9x ? 1) ? kx ( k ? R )是偶函数. ⑴求 k 的值; ⑵若函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? x ? b 没有交点,求 b 的取值范围;
1 2

20. 已知函数 f ( x) ? 3x ,且 f (a ? 2) ? 18 , g ( x) ? 3ax ? 4 x 的定义域为[-1,1]. ⑴求 3 a 的值及函数 g ( x) 的解析式; ⑵试判断函数 g ( x) 的单调性; ⑶若方程 g ( x) = m 有解,求实数 m 的取值范围

21. 已知 f ( x) ? loga x, g ( x) ? 2loga (2x ? t ? 2)(a ? 0, a ? 1, t ? R) . (1)当 t ? 5 时,求函数 g ( x) 图象过的定点; (2)当 t ? 4, x ?[1, 2] ,且 F ( x) ? g ( x) ? f ( x) 有最小值 2 时,求 a 的值; (3)当 0 ? a ? 1, x ?[1, 2] 时,有 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 t 的取值范围.

22. 函数 f ( x) ? loga x ? 2a (a ? 0 且 a ? 1) ,当 x ? [ s, t ] , f ( x) 取值范围是 [loga (t ? a),loga (s ? a)] x ? 2a 求 a 的取值范围

新建二中 2017-2018 学年上学期高三历届(理科) 数学周练(3)
命题人:徐茶生 审题人:审题小组 校对人:汤娜 使用时间:2017-9-19 一、选择题 ACDBB DABCD BA 二、填空题 1 1 13、 [ ,1) 14、 a ? ? 2 3 12、

1 15、 (? ,??) 4

1 16、 ( , ??) 2
?a ? b ? c ,即 c ? a ? b ? a ? c 恒 ?a ? c ? b

解:因 x, y 为正实数,则 c ? a ,要使 a, b, c 为三边的三角形存在,则 ?

成立,故

x y ? ?2? y x

x y ? ?1 ? p ? y x

x y ? ?2? y x

x y x y ? ?1 , 令 t ? ? , 则 t ? 2 , 取 y x y x

m?

x y ? ?2? y x

x y ? ? 1 ? t ? 2 ? t ? 1 , m 递减,所以 t ? 2 时, mmax ? 2 ? 2 ? 2 ? 1 ? 1 y x
x y 可知 t ? 2 时,nmin ? 2 ? 2 ? 2 ? 1 ? 3 ? ? 1 ? t ? 2 ? t ? 1 ,n 递增, y x

同理 n ?

x y ? ?2? y x

故实数 16、

p 的取值范围是 (1,3) ,故选 A
3 3

解:令 F ( x) ? f ( x) ? x ,则由 f ( x) ? f ( ? x) ? 2 x ,可得 F ( ? x ) ? F ( x ) ,故 F ( x) 为偶函数, 当 x ? 0 时, F '( x ) ? 3 x 即 F '( x ) ? 0 ,所以 F ( x) 在 (0, ??) 上为增函数.
2

不等式 f ( x ) ? f ( x ? 1) ? 3x 2 ? 3x ? 1 可化为 F ( x ) ? F ( x ? 1) ,所以有 x ? x ? 1 ,解得 x ?

1 . 2

17、 解:不存在满足题设条件的实数 a 的值. 当 a ? 1 ,函数 f (x) ? log a x ? a x 在 (0, ??) 上是增函数,所以 log a 2 ? a 2 ? a 2 ,即 log a 2 ? 0 , 这是不可能的; 当 0 ? a ? 1 时, 函数 f (x) ? log a x ? a x 在 (0, ??) 上是减函数, 所以 log a 1 ? a ? a 2 , 即 a(a ? 1) ? 0 , 画出函数图象可知 a ? 1 或 a ? 0 ,与 0 ? a ? 1 矛盾,故不存在满足题设条件的实数 a 的值.. 18、 解:设 f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c ? a ? 0 ? ,则

f ? x ? ? g ? x ? ? ? a ? 1? x 2 ? bx ? c ? 3, 又 f ? x ? ? g ? x ? 为奇函数,

? ? a ? 1? x 2 ? bx ? c ? 3 ? ? ? a ? 1? x 2 ? bx ? c ? 3 对 x ? R 恒成立,
?a ? 1 ? ?a ? 1 ?a ? 1 ,解得 ? , ?? ?c ? 3 ? ?c ? 3 ?c ? 3
b ? f ? x ? ? x 2 ? bx ? 3 ,其对称轴为 x ? ? . 2 b (1)当 ? ? ?1 即 b ? 2 时, f ? x ?min ? f ? ?1? ? 4 ? b ? 1,? b ? 3 ; 2

b b ? b2 b2 (2)当 ?1 ? ? ? 2 即 ?4 ? b ? 2 时, f ? x ? min ? f ? ? ? ? 3 ? 1, ? ?? 2 2 ? 2? 4

解得 b ? ?2 2 或 b ? 2 2 (舍) ; (3)当 ?
b , ? 2 即 b ? ?4 时, f ? x ?min ? f ? 2 ? ? 7 ? 2b ? 1,? b ? ?3 (舍) 2

综上知 f ? x ? ? x 2 ? 3x ? 3 或 f ? x ? ? x 2 ? 2 2 x ? 3 . 19、 解:⑴ f (a ? 2) ? 3a ? 2 ? 32 ? 3a ? 18 , 所以3a ? 2 , 所以g ( x) ? (3a ) x ? 4 x ? 2 x ? 4 x .
1 ⑵ g ( x) ? 2 x ? 4 x ? ?(2 x ) 2 ? 2 x , 令 2 x ? t ? [ , 2] , 2 1 1 1 所以g ( x) ? ? (t ) ? ?t 2 ? t ? ?(t ? ) 2 ? 在 t ? [ , 2] 上单调递减, 2 4 2

又 t ? 2 x 为单调递增函数,所以 g ( x)在x ? [?1,1] 上单调递减. 1 1 1 ⑶由(2) 知g ( x) ? ? (t ) ? ?t 2 ? t ? ?(t ? ) 2 ? 在 t ? [ , 2] 上单调递减, 2 4 2 1 1 所以g ( x) ? [?2, ] , 即m ? [?2, ] . 4 4 20、 解(1)因为 y ? f ( x) 为偶函数, 所以 ?x ? R, f (? x) ? f (? x) , 即 log9 (9? x ? 1) ? kx ? log9 (9 x ? 1) ? kx 对于 ?x ? R 恒成立.
x 1 ? log (9 x ? 1) ? ? x 恒成立, 于是 2kx ? log9 (9? x ? 1) ? log9 (9 x ? 1) ? log 9 9 ? 9 x

9

而 x 不恒为零,所以 k ? ? 1 .
2

由题意知方程 log 9 (9 x ? 1) ? 1 x ? 1 x ? b 即方程 log 9 (9 x ? 1) ? x ? b 无解.
2 2

令 g ( x) ? log9 (9 x ? 1) ? x ,则函数 y ? g ( x) 的图象与直线 y ? b 无交点.

x 1 ? log ?1 ? 1 ? 因为 g ( x) ? log 9 9 ? 9? x x ?

9

?

9 ?
1 2

任取 x1 、 x2 ? R,且 x1 ? x2 ,则 0 ? 9 x ? 9 x ,从而 1 . ? 1 x x
91 9
2

? 1 ? 1 ? 于是 log9 ? ?1 ? x ? ? log 9 ?1 ? x ? ,即 g ( x1 ) ? g ( x2 ) , ? 91 ? ? 92?

所以 g ( x) 在 ? ??, ? ? ? 上是单调减函数.
1? 因为 1 ? 1x ? 1 ,所以 g ( x) ? log9 ? ?1 ? x ? ? 0 .

9

?

9 ?

所以 b 的取值范围是 ? ??, 0?. 21、 解:(1)当 t ? 5 时, g ( x) ? 2 log a (2 x ? 3)(a ? 0, a ? 1, t ? R ) ,

? g ( x) 图象必过定点 (?1,0) .
(2)当 t ? 4 时,

F ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? 2 log a (2 x ? 2) ? log a x ? log a
1 当 x ? [1, 2] 时, 4( x ? ) ? 8 ? [16,18] , x

(2 x ? 2) 2 1 ? log a [4( x ? ) ? 8] x x

若 a ? 1 ,则 F ( x) min ? log a 16 ? 2 ,解得 a ? 4 或 a ? ?4 (舍去) ; 若 0 ? a ? 1 ,则 F ( x) min ? log a 18 ? 2 ,解得 a ? 3 2 (舍去) .故 a ? 4 (3)转化为二次函数在某区间上最值问题.由题意知, 1 log a x ? log a (2 x ? t ? 2) 在 x ? [1, 2] 时恒成立, 2
? 0 ? a ? 1,? x ? 2 x ? t ? 2 在 x ? [1, 2] 时恒成立

1 17 t ? ?2 x ? x ? 2 ? ?2( x ? ) 2 ? 在 x ? [1, 2] 时恒成立,? t ? 1 . 4 8 故实数 t 的取值范围 [1, ??) . 22、 解 : 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 {x | x ? 2a 或 x ? ?2a} ; 由 s ? t 知 s ? a ? t ? a , 又 log a (t ? a ) ? log a ( s ? a ) 得 2a ? s ? t 且 0 ? a ? 1 令 t ( x) ? x ? 2a ? 1 ? 4a ,容易证明 t ( x ) 在 x ? 2a 时单调递增,∴ f ( x ) 在 [ s, t ] 上是单调递 x ? 2a x?a

?log ? f ( s) ? log a ( s ? a) ? a 减函数,∴ ? ?? ? f (t ) ? log a (t ? a) ?log a ?

s ? 2a ? log ( s ? a) a s ? 2a t ? 2a ? log (t ? a) a t ? 2a

∴ s, t 可看作方程 log a x ? 2a ? log a (t ? a ) 的两根 x ? 2a 即方程 x 2 ? (a ? 1) x ? 2a ? 2a 2 ? 0 有两根 s, t 且都大于 2 a 令 g ( x) ? x 2 ? (a ? 1) x ? 2a 2

? 2 2 ?? ? (a ? 1) ? 4(2a ? 2a ) ? 0 ? ∴ ? g (2a) ? 0 ?0?a? 1 9 ? a ?1 ? 2a ?? ? 2


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