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训练3不等式及线性规划问题


常考问题 3 不等式及线性规划问题
(建议用时:50 分钟) 1 1.(2013· 枣庄二模)已知 a>0,b>0,且 2a+b=4,则ab的最小值为 ( 1 A.4 解析 成立. 答案 C 1 B.4 C.2 D.2 ).

1 1 由 4=2a+b≥2 2ab,得 ab≤2,又 a>0,b>0,所以ab≥2,当且仅当 a=

1,b=2 时等号

? ? 1 ? ? ? 2 2.(2013· 湖北卷)已知全集为 R,集合 A=?x??2? x≤1?,B={x|x -6x+8≤0},则 A∩?RB 等于 ? ? ? ? ?

( A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4} C.{x|0≤x<2,或 x>4} D.{x|0<x≤2,或 x≥4} 解析 A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4}.

).

∴A∩?RB={x|x≥0}∩{x|x>4,或 x<2} ={x|0≤x<2,或 x>4}. 答案 C

3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的平均时速为 v,则 ( A.a<v< ab a+b C. ab<v< 2 解析 B.v= ab a+b D.v= 2 ).

设甲、乙两地之间的距离为 s. 2s s= 2sab 2ab 2ab = < = ab. ?a+b?s a+b 2 ab

∵a<b,∴v= s

a+b

ab-a2 a2-a2 2ab 又 v-a= -a= > =0,∴v>a. a+b a+b a+b

答案

A

?2x-y-2≥0, 4. (2013· 山东卷)在平面直角坐标系 xOy 中, M 为不等式组?x+2y-1≥0, ?3x+y-8≤0
则直线 OM 斜率的最小值为( 1 A.2 B.1 C.-3 解析 1 D.-2 ).

所表示的区域上一动点,

已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示, 显然当点 M

与点 A 重合时直线 OM 的斜率最小,由直线方程 x+2y-1=0 和 3x 1 +y-8=0,解得 A(3,-1),故 OM 斜率的最小值为-3. 答案 C

?x≥1, 5.(2013· 新课标全国Ⅱ卷)已知 a>0,x,y 满足约束条件?x+y≤3, ?y≥a?x-3?,
则 a 等于

若 z=2x+y 的最小值为 1,

( 1 A.4 解析 1 B.2 C.1 D.2

).

由已知约束条件, 作出可行域如图中△ABC 内部及边界

部分,由目标函数 z=2x+y 的几何意义为直线 l:y=-2x+z 在 y 轴上的截距,知当直线 l 过可行域内的点 B(1,-2a)时, 1 目标函数 z=2x+y 的最小值为 1 ,则 2-2a=1,解得 a=2, 故选 B. 答案 B

6.(2013· 四川卷)已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-4x,那么,不等式 f(x+2)<5 的解集是________. 解析 当 x≥0 时,f(x)=x2-4x<5 的解集为[0,5),

又 f(x)为偶函数, 所以 f(x)<5 的解集为(-5,5). 由于 f(x)向左平移两个单位即得 f(x+2), 故 f(x+2)<5 的解集为{x|-7<x<3}. 答案 {x|-7<x<3} 1 的最小值是________. a?a-b?

1 7.设 a>b>0,则 a2+ab+

解析

1 a2+ab+

1 1 1 1 1 =a2-ab+ab+ab+ =a(a-b)+ +ab+ab≥2+2=4.当且仅 a?a-b? a?a-b? a?a-b?

2 当 a(a-b)=1 且 ab=1,即 a= 2,b= 2 时取等号. 答案 4

?x+4y≥4, 8.(2013· 广东卷)给定区域 D:?x+y≤4, ?x≥0,
的直线. 解析

令点集 T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是 z=x+y

在 D 上取得最大值或最小值的点}, 则 T 中的点共确定________条不同

作出图形可知,△ABF 所围成的区域即为区域 D,其中 A(0,1)

是 z 在 D 处取得最小值点,B,C,D,E,F 是 z 在 D 上取得最大值 的点,则 T 中的点共确定 AB,AC,AD,AE,AF,BF 共 6 条不同的 直线. 答案 6 2x . x2+6

9.已知函数 f(x)=

(1)若 f(x)>k 的解集为{x|x<-3,或 x>-2},求 k 的值; (2)对任意 x>0,f(x)≤t 恒成立,求 t 的取值范围. 解 (1)f(x)>k?kx2-2x+6k<0.

由已知{x|x<-3,或 x>-2}是其解集,得 kx2-2x+6k=0 的两根是-3,-2. 2 2 由根与系数的关系可知(-2)+(-3)= k,即 k=-5. (2)∵x>0,f(x)= 2x 2 2 6 = 6≤ = 6 ,当且仅当 x= 6时取等号.由已知 f(x)≤t 对任意 x>0 恒 x +6 2 6 x+ x
2

6 ? 6 ? 成立,故 t≥ 6 ,即 t 的取值范围是? ,+∞?. ?6 ? 1 1 10.(2013· 金华十校模拟)已知函数 f(x)=3ax3-4x2+cx+d(a,c,d∈R)满足 f(0)=0,f′(1)=0,且 f′(x)≥0 在 R 上恒成立. (1)求 a,c,d 的值; 3 b 1 (2)若 h(x)=4x2-bx+2-4, 解不等式 f′(x)+h(x)<0.



1 1 (1)∵f(0)=0,∴d=0,∵f′(x)=ax2-2x+c.又 f′(1)=0,∴a+c=2.∵f′(x)≥0 在 R 上恒

1 1 1 成立, 即 ax2-2x+c≥0 恒成立,∴ax2-2x+2-a≥0 恒成立,显然当 a=0 时,上式不恒成立. ∴ a≠0, a>0, ? ? ∴?? 1?2 ?1 ? ?-2? -4a?2-a?≤0, ? ?? ? ? ? a>0, ? ? 即? 2 1 1 a -2a+16≤0, ? ? 1 1 解得 a=4,c=4.

1 1 1 (2)由(1)知 f′(x)=4x2-2x+4. 1? b 1 1 1 3 b 1 ? 由 f′(x)+h(x)<0,得4x2-2x+4+4x2-bx+2-4<0,即 x2-?b+2?x+2<0, ? ? 1 ? 1? ?1 ? 即(x-b)?x-2?<0,当 b>2时,解集为?2,b?, ? ? ? ? 1? 1 1 ? 当 b<2时,解集为?b,2?,当 b=2时,解集为?. ? ? 11.已知函数 f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),对任意的 x∈R,恒有 f′(x)≤f(x). (1)证明:当 x≥0 时,f(x)≤(x+c)2; (2)若对满足题设条件的任意 b,c,不等式 f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,求 M 的最小值. (1)证明 易知 f′(x)=2x+b.由题设, 对任意的 x∈R, 2x+b≤x2+bx+c, 即 x2+(b-2)x+c-b≥0 b2 恒成立,所以(b-2)2-4(c-b)≤0,从而 c≥ 4 +1.于是 c≥1, 且 c≥2 b2 4 ×1=|b|,因此 2c-b=c+(c-b)>0.

故当 x≥0 时,有(x+c)2-f(x)=(2c-b)x+c(c-1)≥0.即当 x≥0 时,f(x)≤(x+c)2. (2)解 由(1)知 c≥|b|.当 c>|b|时,有 M≥ f?c?-f?b? c2-b2+bc-b2 c+2b = = . c2-b2 c2-b2 b+c

c+2b b 1 令 t=c ,则-1<t<1, =2- . b+c 1+t 而函数 g(t)=2- 3? 1 ? (-1<t<1)的值域是?-∞,2?. ? ? 1+t

?3 ? 因此,当 c>|b|时,M 的取值集合为?2,+∞?. ? ? 3 当 c=|b|时,由(1)知 b=± 2,c=2.此时 f(c)-f(b)=-8 或 0,c2-b2=0,从而 f(c)-f(b)≤2(c2-b2)

恒成立. 3 综上所述,M 的最小值为2.


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