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课题:《对数函数——概念、图象、性质》


课题: 《对数函数——概念、图象、性质》
【人教版高中(必修)数学第一册第二章“对数函数”第一节】

广州市花都区秀全中学 2004 年 5 月 16 日

胡晓燕

设计意图:
本课的教学设计基于“人人都能获得必要的数学”即平等性的考 虑,坚持面向全体学生,努力创设适合学生发展的数学教育。 根据建构

主义的观点,学生的学习是一个积极主动的建构过程, 而不是被动地接受知识的过程。 由于学生已具备反函数及其互为反函 数图象间的关系、指数函数等知识,为研究指数函数的反函数(对数 函数)提供了知识上的积累;因此本教学设计是:通过四个问题的提 出,引导学生回顾指数函数的性质、图象,以类比的思想,小组协助 的形式主动探索得出对数函数的性质, 再通过对数函数的图象验证其 性质;并借助电脑多媒体使教师的设计问题与活动的引导密切结合, 强调学生“活动”的内化,以此达到使学生有效地对当前所学知识的 意义建构的目的。

《对数函数--概念、图象、性质》教案

教学课题:对数函数--概念、图象、性质
【人教版高中(必修)数学第一册第二章“对数函数”第一节】

教学目标:
(1)理解指数函数与对数函数的内在关系; (2)掌握对数函数的概念、图象和性质; (3)培养学生用类比方法探索研究数学问题的素养; (4)提高学生信息检查和整合能力; (5)学习辩证唯物主义观点。

教学重点:对数函数的概念、图象与性质。 教学难点:指数函数与对数函数的内在的关系。 教学过程与教学内容:
教学环 节 (一) 实例引 入 提出课 题 教 学 内 容 教学方法

实例引入:电脑屏幕演示某细胞分裂的动画 问题一、函数 y=2x 存在反函数?指数函数 y=ax 存在 反函数? 问题二、若指数函数的反函数存在,你能说出它的 性质? (引出研究课题:指数函数的反函数是什么?) (二) 全班分成若干组,学生分组讨论思考,并写出一份 分组讨 总结(根据学生研究情况,适时给出下面两个表) 。 论新课 原函数 反函数 研究 定义域 值域 互为反函数的图象关于 对称

学生观察、思考。

学生讨论,老师巡 查,给予点拨及提 供材料(表一、表 二,空白处学生填 写) 。

表一

(二) 分组讨 论新课 研究

名 函数 称 y=2x

指数函数 y=ax(a>0 且≠1)

指数函数的 反函数

鼓励学生讨论,学 习用联想与类比方 法研究问题。

定 义 域 值 域 函 数 值 变 化 情 况 单 调 性

(-∞,+∞)

(0,+ ∞)

当 a>1 时, x∈(0,+ ∞)时,y>1 x=0 时,y=1 x∈(-∞,0)时, 0<y<1 当 0<a<1 时, x∈(0,+ ∞)时,0<y<1 x=0 时,y=1 x∈(-∞,0)时,y>1 当 a>1 时,ax 是增函数 当 0<a<1 时,ax 是减函 数

师生共同研讨。

表二 学生展示并分析小组总结,老师点评。 问题三、指数函数的反函数是一个什么样的函 数?你能把它表示出来吗? (板书)对数函数的定义: 函数 y=logax(a>0 且 a≠1)叫做对数函数; 其中 x 是自变量。函数的定义域是(0,+∞) 。它是指数 x 函数 y=a (a>0 且 a≠1)的反函数. 问题四、指数函数的反函数(对数函数)的图象? (请同学们分别画出 y=2x、y=(1/2)x 与其反函数的图 象。然后得出对数函数的图象。 )

培养学生的动手能 力。 老师巡查,点拨。 通过实物投影仪展 示学生的图形。

展示学生所画图形,老师评价(作函数图象可用 描点法或利用对称性作图) 。 下面两个同学所作的图是否正确?(学生可能出 由特殊到一般。用 现的两种图形) 。提问同学,老师点评。 《几何画板》在电 脑屏幕演示由指数 y y 函数画出对数函数 的过程(只演示由 对称性得出的图 0 x 0 x 象) 图一 图二

演示由 y=ax(a>0 且 a≠1)得出 y=logax 图象的过程。

( 三 ) 知 由学生将总结与图形整合如表三.验证对数函数的性 识 整 质。 合,巩 名称 指数函数 对数函数 固应用 图象 y=a
x

y=a
(a>1)

x

(0<a<1)

y=logax(a>1)
1

1

以“形”促“数” , 通过数形结合与对 比的方法使学生头 脑中的知识条理 化、系统化。

y=logax(0<a<1)

图象 特征 定义 域 值域 函数 值变 化情 况

过点(0,1) (-∞,+∞) (0,+ ∞) 当 a>1 时, x∈(0,+ ∞)时,y>1 x=0 时,y=1 x∈(-∞,0)时,0<y<1

过点(1,0) (0,+ ∞) (-∞,+ ∞) 当 a>1 时, x∈(1,+∞)时,y>0 x=1 时,y=0 x∈(0,1)时,y<0

单调 性

当 0<a<1 时, x∈(0,+ ∞),0<y<1 x=0 时,y=1 x∈(-∞,0)时,y>1 当 a>1 时, ax 是增函 数; 当 0<a<1 时, ax 是减 函数。

当 0<a<1 时, x∈(0,1)时,y>0 x=1 时,y=0 x∈(1,+∞)时,y<0 当 a>1 时,y=logax 是增函数; 当 0<a<1 时, y=logaxs 是减函数。

利用对数函数的定 义域(0,+∞)求 解

应用举例 例 1、求下列函数的定义域 (1)y=logax2, (2)y=loga(4-x);(3)y=loga(9-x2)

(四) (1)再现表三(电脑屏幕以对比形式放映) , 回顾整理。 小结归 进行小结。 纳布置 (2)布置课后作业。 作业

《对数函数--概念、图象、性质》说课稿
花都区秀全中学 胡晓燕(2004.5)
【本节教材选自人教版高中(必修)数学第一册第二章“对数函数”第一节】

一、说教材 1、地位和作用 本章学习是在学生完成函数的第一阶段学习(初中)的基础上, 进行第二阶段的函数学习。 而对数函数作为这一阶段的重要的基本初 等函数之一,在已学习对数、反函数以及指数函数的基础上以类比的 方法进行学习,这有利于学生加深学生对函数、反函数认识及函数性 质的理解; 同时对数函数作为常用数学模型在解决社会生活中的实例 有广泛的应用,本节课的学习为学生进一步学习、参加生产和实际生 活提供必要的基础知识。 2、教学目标 教学目标是教学的出发点和归宿, 《数学教学大纲》除了要求使学 生掌握必要的数学基础知识外, 还要求对学生进行能力培养和思想教 育。根据大纲要求,结合教材和学生的水平状况。我确定了以下教学 目标: (1)理解指数函数与对数函数的内在关系; (2)掌握对数函数的概念、图象和性质; (3)培养学生用类比方法探索研究数学问题的素养; (4)提高学生信息检查和整合能力; (5)学习辩证唯物主义观点。

3、重点和难点: 重点:对数函数的概念、图象与性质。 难点:指数函数与对数函数的内在的关系。 二、说教法 教法的好坏,直接影响课堂教学的质量。选择教学方法的原则, 概括起来有三点:要服务于教学目标,要适合于学生学习,要充分利 用环境条件和学校设备。对于本节课的教法,我主要考虑了以下两方 面: (1)教学模式:建构式教学法 本节课应用这种教学模式的具体操作程序是: 创设问题情景—— 小组协作探索——类比猜想整理——动手画图验证——知识巩固应 用。 这种教学模式的特点是:学生在一定的情境背景(已具备对数、 反函数以及指数函数的基础)下,借助老师和学习伙伴的帮助下,利 用必要的学习资料等学习环境要素充分发挥学生的主动性、 积极性和 首创精神, 最终达到使学生有效地实现对当前所学知识的意义建构的 目的(即在学习过程中帮助学生很好地掌握对数函数的概念、图象和 性质,并对指数函数与对数函数的内在关系达到较深刻的理解) 。 (2)教学手段:利用计算机多媒体辅助教学。 为了给学生认识理解“对数函数的图象、指数函数与对数函数 的内在关系”提供更加形象、直观、清晰的材料,我利用电脑动画模 拟演示了由指数函数图象作关于直线 y=x 的对称图象 (即对数函数的

图象) ,用表格的形式演示对数函数与指数函数性质比较一览表。这 有助于在共享集体思维成果的基础上,完成对所学知识的意义建构。 三、说学法 学法指导在教学过程中有着十分重要的作用, 它不仅有助于学 生学好数学知识,而且对培养和发展学生的自学能力,使学生学会学 习,学会交流,形成科学世界观都有着不可低估的作用。本节课我将 从以下两个方面对学生进行学法指导: (1)联想类比。数学是一门基础学科,数学的概念、性质抽象严 谨,因此在学习过程中引导学生借鉴已有知识和经验,通过观察、分 析、类比发现新的知识,这有利于培养学生的数学情感,提高学生的 学习兴趣,更有助于学生对知识的理解和掌握。 (2)协作学习。学生是在特定的学习环境进行学习。 “水涨船高” , 通过小组协商、讨论;使原来相互矛盾的意见、模糊不清的知识逐渐 变得明朗、一致,使问题顺利解决。 四、说教程 系统论告诉我们, 整体大于部分之和。 处理教学中的一切具体问题, 应首先着眼于整体。因此,在认真分析教材、教法、学法的基础上, 设计教学过程如下: (说明:本节课课前不要求学生预习、上课不打 开课本) 1、创设情境、提出问题: 电脑演示细胞分裂的动画 (设计意图:创设趣味性的情境,增强学生的有意注意,调动学生

学习的主动性和积极性) 老师提问 :某种细胞分裂时,得到的细胞的个数 y 是分裂次数 x 的函数, 这个函数可以用指数函数 y=2x 表示。 若研究其相反的问题: 如果要求这种细胞经过多少次分裂,大约可以得到 1 万个,10 万 个……细胞,那么,分裂次数 x 就是要得到的细胞个数 y 的函数。 那么此问题就是要研究指数函数 y=2x 的反函数。 问题一、 函数 y=2x 存在反函数吗?指数函数 y=ax 存在反函数吗? 问题二、若指数函数的反函数存在,你能说出它的性质? (设计意图:学生学习了反函数及其互为反函数图象间的关系、 指数函数等知识, 因此研究指数函数的反函数在知识的积累上已具备 条件,学生有能力完成这一课题) 2、合作交流,类比联想: 学生活动: 全班分成若干组,每组 4 人,每组中均有好、中、 差学生。学生分组讨论研究,并写出一份总结。 学生活动过程可能出现情况: 不知道应得出指数函数的反函数的 那些性质?从那方面入手研究? 教师活动:巡查,给予点拨(想一想原函数与反函数的关系?) , 提供材料 (一张让学生研究后填写的互为反函数的定义域与值域的关 系表,一张填有 y=ax 在 a>1 及 0<a<1 两种情况下的性质的表格(即 表一、表二) 。 (设计意图:分组合作交流,为学生提供一个轻松、开放的学习 环境,有助于有效地组织课堂学习,有助于带动和提高全体(包括差

生)学习的积极性、主动性,更有助于培养学生的集体荣誉感,以及 他们的竞争意识。老师的点拨和材料的提供,使学生在研究反函数的 性质时,自然地回忆指数函数的性质及研究方法,层现联想、类比、 数形结合思想,使学生更好地构建指数函数的反函数的相关知识,进 一步加深学生对原函数与反函数的相互关系的理解。 ) 由各个小组层交并解析其总结(实物投影) 。在电脑屏幕上演示 指数函数及其的反函数的性质,并对各个小组的总结进行评价。 教师提问:问题三、指数函数的反函数是一个什么样的函数?你 能把它表示出来吗? (学生回答) (设计意图:使学生感受到引入“对数函数”的概念必要性,而 且使学生理解它的实质(即对数函数是指数函数的反函数) ) 在解决该问题时,注意帮助学生利用指数式与对数式的关系,明 确对数函数的表示式;同时对“为什么 x=logay 不是指数函数 y=ax 的反函数”进行点拨,即引导学生再现反函数的求法。 (板书:对数函数的定义。 ) 教师提问:由指数函数类比所得的对数函数的性质是否正确,是 否有其它方法得出或验证其性质? (学生思考) 问题四、指数函数的反函数(对数函数)的图象? 3、动手操作,作图验证: (设计意图:图象是研究、验证性质的工具之一,也是函数的表

示方法之一。本环节目的之一是培养学生的动手能力,目的之二是加 深学生对指数函数与对数函数图象的关系理解, 目的之三是由对数函 数的图象验证其性质,目的之四是使个别不能理解对数函数的性质 (由指数函数的性质类比)在此环节得到更好的理解和认识。 ) 学生活动:分别画出 y=2x、y=(1/2)x 与其反函数的图象;然后得出 对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)的图象。(不限定学生用何种方法作图) 在此过程预计学生会有两种作图的方式:1、由反函数的解析式, 通过列表描点作图。2、利用互为反函数图象关于直线 y=x 对称关系 作出(在巡查过程进行点拨,如对程图形怎么画?曲线与坐标轴的位 置关系?特殊点的位置?) 。 学生可能出现两种常见的错法 1、画出的图象与 y 轴有交点(图 一) 。2、当 0<a<1 指数函数与对数函数的图象的交点不在直线 y=x 上(图二) 。 师生互动:与学生一起评价图一、图二的画法并分析错因。 用《几何画板》在电脑屏幕演示由指数函数画出对数函数的过程 (只演示由对称性得出的画法) ,引导学生验证对数函数的性质。 4、知识整合,巩固应用: 请学生将得出的总结与函数的图象整理成知识结构表三; 完成例 一及课后相应练习的学习,使学生初步掌握函数性质的简单应用。 (设计意图:由学生将总结与图形整合如表二,使学生头脑中的 知识条理化、系统化。 ) 电脑屏幕以对比形式演示对数函数与指数函数性质一览表。

布置作业:习题 2.8

1,2


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