kl800.com省心范文网

2014年重庆一中高2014级高三下期第一次月考理科数学


2014 年重庆一中高 2014 级高三下期第一次月考

数 学 试 题(理科)2014.3
特别提醒: (14) 、 (15) 、 (16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前 两题给分。 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有 一项是符合题目要求的)

z?
(1)已知复数 (A) i

2i 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则复数 z 的虚部为(
(C) ?i (D) ?1



(B)1

(2)已知条件 p :? 是两条直线的夹角,条件 q :? 是第一象限的角。则“条件 p ”是“条 件 q ”的( )

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (3) (原创)以下茎叶图记录了甲、乙两组各 6 名 乙组 学生在一次数学测试中的成绩(单位:分) 。已知 甲组 9 11 6 6 甲组数据的众数为 124,乙组数据的平均数即为甲 2 y x 4 12 5 y 组数据的中位数,则 x 、 的值分别为( ) 7 4 13 4 (A)4、5 (C)4、4 (B)5、4 (D)5、5 )

8

(4) (原创)已知实数 x, y 满足 x ? 4 y ? 1 ,则 xy 的值域为(

? 1? ? 0, ? (A)? 16 ?
(A) 45? (B) 54? (C) 63? (D) 69?

? 1 1? ?? , ? (B)? 16 16 ?

1? ? ? ??, ? 16 ? (C)?


1? ? ? ??, ? 8? (D)?

(5)某几何体的三视图如右图所示,则它的表面积为(

(6)已知一个四面体的一条棱长为 6 ,其余棱长均为 2,则这个四面体的体积为(



(A)1

4 (B) 3

(C) 2 2

(D)3

(7)已知函数 范围是( (A)

f ? x ? ? x3 ? 3x ? c

的图像与 x 轴恰好有三个不同的公共点,则实数 c 的取值

) (B)

? ?1,1?

? ?1,1?

(C)

? ?2, 2 ?

(D) )

? ?2, 2?

(8)执行如右图所示的程序框图,则输出的 s 的值等于( (A)13 (B)15 (C)36 (D)49

3 ? sin 700 ? tan 80 ? 4 cos10 ? ? 2 ? cos2 100 ? (9) (
0 0

) (D)4

(A) 3

(B)2

(C) 2 3

(10) (原创)已知 D, E , F 分别是 ?ABC 的三边 BC , CA, AB 上的点,

AF ?
且 满 足

2 AB 3

AE ?


3 AC 4



? ? AB AC AD ? ? ? ? ? ?? ? R? | AB | cos B | AC | cos C ? ?



DE ? DA ? DE ? DC



? BD sin B AD cos B ? DF ? ? ? ? ??? ? R? | AD | ? ? | BD | 。则 | EF |:| BC |? (
1 (A) 3 1 (B) 2



3 (C) 3

2 (D) 2

二.填空题(本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案写在答题 卡相应位置上) (11)正项等比数列 ( 12 ) 已 知 集 合

?an ? 中, a12 a13 ? 9 ,则 log9 a1 ? log9 a2 ?
A ? ? x ? R | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0?
。 ,集合

? log 9 a24 ?

。 ,则集合

B ? ? x ? R || x |? 2?

A B?

(13) (原创)小钟和小薛相约周末去爬尖刀山,他们约定周日早上 8 点至 9 点之间(假定 他们在这一时间段内任一时刻等可能的到达) 在华岩寺正大门前集中前往, 则他们中先到者 等待的时间不超过 15 分钟的概率是 (用数字作答) 。 特别提醒: (14) 、 (15) 、 (16)三题为选做题,请从中任选两题作答, 若三题全做,则按前两题给分。 (14) (原创)如图,在 ?ABC 中, AB ? 3 , BC ? 4 , CA ? 5 , D 是 BC 的中点, BE ? AC 于 E , BE 的延长线交 ?DEC 的外接圆于

F ,则 EF 的长为



(15)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴非负半轴为极轴建立

极 坐标 系。已 知点

P ? ?1, 0 ?

? ? 6 cos ? ? 6sin ? ?
, 若极 坐标 方程为

9

? 的 曲 线与直 线

? x ? ?1 ? 4t ? ? y ? ?3t ( t 为参数)相交于 A 、 B 两点,则 | PA | ? | PB |?



( 16 ) 若 关 于 实 数 x 的 不 等 式 |1 ? 5 x | ? |1 ? 3 x |? a | x | 无 解 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 。

三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤) (17) (本小题满分 13 分,⑴小问 6 分,⑵小问 7 分)设

f ? x ? ? e x ? ax 2 ? 7 x ? 13?

,其中

a ? R ,曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线与直线 l :2ex ? y ? e ? 0 平行。⑴确定 a 的
值; ⑵求函数

f ? x?

的单调区间。

(18) (本小题满分 13 分,⑴小问 5 分,⑵小问 8 分) (原创)小张有 4 张 VCD 光盘和 3 张 DVD 光盘,小王有 2 张 VCD 光盘和 1 张 DVD 光盘,所有 10 张光盘都各不相同。现小 张和小王各拿一张光盘互相交换,求:⑴ 小张恰有 4 张 VCD 光盘的概率;⑵ 小张的 DVD 光 盘张数 X 的分布列与期望。

(19) (本小题满分 13 分,⑴小问 5 分,⑵小问 8 分) (原创)如图,在四面体 A ? BCD 中,

AD ? 平面 BCD , BC ? CD ,CD ? 2 , AD ? 4 。 M 是 AD 的中点, P 是 BM 的中点,
点 Q 在线段 AC 上,且 AQ ? 3QC 。⑴证明: PQ // 平面 BCD ;⑵若异面直线 PQ 与 CD 所
0 成的角为 45 ,二面角 C ? BM ? D 的大小为 ? ,求 cos ? 的值。

A

M P B Q C D

(20) (本小题满分 12 分,⑴小问 5 分,⑵小问 7 分) (原创)在 ?ABC 中,内角 A 、 B 、

C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,且 b sin B ? a sin A ? c ? 3a sin C 。⑴求角 B 的大小;⑵


?

?

b 2 ? 4b cos ? A ? C ? ? 4 ? 0

,求 ?ABC 的面积 S 。

( 21 ) (本小题满分 12 分,⑴小问 5 分,⑵小问 7 分) (原创)如图所示,椭圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? F,F F,F a 2 b2 的左右焦点分别为 1 2 ,椭圆 ? 上的点到 1 2 的距离之差的最

F 大值为 2, 且其离心率 e 是方程 4 x ? 8 x ? 3 ? 0 的根。 ⑴求椭圆 ? 的方程; ⑵过左焦点 1 的
2

| AB | 直线 l 与椭圆 ? 相交于 A, B 两点,与圆 x ? y ? a 相交于 C , D 两点,求 | CD | 的最小值,
2 2 2

以及取得最小值时直线 l 的方程。

(22) (本小题满分 12 分,⑴小问 3 分,⑵小问 4 分,⑶小问 5 分) (原创)在数列

?an ? 中,

a ? 1 , a2 ? 3 ,其前 n 项和 S n 满足 已知 1

Sn ?

n ? a1 ? an ? ? n ? N ? ? a ,a ,a 2 。⑴求 3 4 5 的值;
an ? ? 2n ? 1?
n ?1 2

aa a ⑵求 n 的表达式;⑶对于任意的正整数 n ? 2 ,求证: 1 2



y D B

F1 C A

O

F2

x

2014 年重庆一中高 2014 级高三下期第一次月考 数 学 答 案(理科)2014.3 一.选择题:BDACB ACDCD

二.填空题:11.12;12. 17.解:⑴由题 故

? x | ?1 ? x ? 2?

7 14 ? ??,8? ;13. 16 ;14. 15 ;15.2;16.


2 f ? ? x ? ? e x ? ax 2 ? 7 x ? 13? ? e x ? 2ax ? 7 ? ? e x ? ? ax ? ? 2a ? 7 ? x ? 6 ? ?

f ? ?1? ? e ? 3a ? 1?


。因直线 l 的斜率为 2e ,故

e ? 3a ? 1? ? 2e
,由

,从而 a ? 1 ; 得 x ? 2 或 x ? 3 ,由

f ? ? x ? ? e x ? x 2 ? 5 x ? 6 ? ? e x ? x ? 2 ?? x ? 3?

f ?? x? ? 0

f ?? x? ? 0

f ? x? ? ??, 2 ? 和 ? 3, ?? ? ,单减区间为 ? 2,3? 。 得 2 ? x ? 3 。故 的单增区间为

18.解:⑴记事件 A 为“小张和小王各拿一张 VCD 光盘交换” ,事件 B 为“小张和小

王各拿一张 DCD 光盘交换” ,则 A, B 互斥,且

P ? A? ?

4?2 8 ? 7 ? 3 21 ,
X
2 3 4

3 ?1 3 P ? B? ? ? 7 ? 3 21















P

11 P ? A B ? ? P ? A? ? P ? B ? ? 21 ; P ? X ? 2? ?

2 7

11 21

4 21

⑵ X 所有可能取值为 2,3, 4 , 且

3? 2 2 4 ? 2 ? 3 ?1 11 ? P ? X ? 3? ? ? 7 ?3 7 , 7 ?3 21 ,

P ? X ? 4? ?

4 ?1 4 ? 7 ? 3 21 。故 X 的分布列如右表, X 的

A

2 11 4 61 EX ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 7 21 21 21 。 期望
19.法一:⑴如图,连 AP 并延长交 BD 于 E ,连

N R B F P Q E C

M

CE ,过 M 作 MN // BD 交 AP 于 N ,则 AN ? NE ,
NP ? PE 。故 AP ? 3PE ,从而 PQ // CE 。因 PQ ?

D

平面 BCD , CE ? 平面 BCD ,故 PQ // 平面 BCD ; ⑵过 C 作 CF ? BD 于 F , 作 CR ? BM 于 R , 连 FR 。 因 AD ? 平面 BCD , 故平面 ABD ? 平面 BCD , 故 CF ? 平面 ABD , 因此 CF ? BM , 从而 BM ? 平面 RCF , 所以 ?CRF ? ?
0 即为二面角 C ? BM ? D 的平面角。因 PQ // CE ,故 ?DCE ? 45 ,因此 CE 即为 ?BCD

的 角 平 分 线 。 由 ⑴ 易 知 DE ? 2 MN ? 2 EB , 故 DC ? 2 BC , 从 而 BC ? 1 ,

CF ?

1? 2 1 ?2
2 2

?

2 5 。由题易知 BC ? 平面 ACD ,

z

A



BC ? CM 。 由 题 CM ? 2 2 , 故
M

CR ?

3 1? 2 2 2 2 CF ? sin ? ? ? 3 。所以 1? 8 10 ,从 CR
1 10 ? 10 。 10

P y Q B C D x

cos ? ?


法二:如图建立空间直角坐标系,则

C ? 0, 0, 0 ?



D ? 2, 0, 0 ?



A ? 2, 0, 4 ?



M ? 2, 0, 2 ?



Q ?1 2, 0,1?
⑴设

。 , 则

B ? 0, y, 0 ?

P ?1, y 2,1?

, 因此

QP ? ?1 2, y 2, 0 ?

。 显然

DA ? ? 0, 0, 4 ?

是平面 BCD

的一个法向量,且 QP ? DA ? 0 ,所以 PQ // 平面 BCD ;

⑵由⑴ QP ? CD ? 1 , 因此

| QP |?

QP ? CD 1 y2 cos 450 ? ? | QP || CD | 得 y ? 1 , 4 4 , | CD |? 2 ,故由
, 。 设

B ? 0,1, 0 ?

, 从而

BD ? ? 2, ?1, 0 ? BM ? ? 2, ?1, 2 ?

m ? ? x1 , y1 , z1 ?

是平面 BMD 的

法向量,则

?2 x1 ? y1 ? 0 ? ?2 x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0

,取

x1 ? 1 得 m ? ?1, 2, 0 ? 。设 n ? ? x2 , y2 , z2 ? 是平面 BMC

? y1 ? 0 m?n 10 cos ? ?| |? ? 2 x ? y1 ? 2 z1 ? 0 x ? 1 得 n ? ?1, 0, ?1? 。故 10 。 | m || n | 的法向量,则 ? 1 ,取 1
20.解:⑴由正弦定理可得

b 2 ? a 2 ? c ? 3a c

?

?

,即 3ac ? a ? c ? b ,故由余弦
2 2 2

cos B ?
定理得

a 2 ? c2 ? b2 3 ? 2ac 2 ,因此 B ? 300 ;

⑵因

? ? 16 cos 2 ? A ? C ? ? 16 ? ?16sin 2 ? A ? C ? ? 0

, 故

sin 2 ? A ? C ? ? 0

, 得A?C,

b?


4 4 cos ? A ? C ? a2 ? ? 8? 4 3 ?2 2 2 2 0 2 ? 3 2 ? 2 a ? 2 a cos 30 2 。故 ,得 ,故

S?

1 2 a sin 300 ? 2 ? 3 2 。
21.解:⑴设 P 是椭圆 ? 上任意一点,则

| PF1 | ? | PF2 |?| F1 F2 |? 2c ,故 c ? 1 。解方

程 4 x ? 8x ? 3 ? 0 得
2

x?

1 3 1 c x? ?e? 2 2或 2。 a, 因 0 ? e ? 1, 故2 因此 a ? 2 , 从而 b ? 3 。

x2 y 2 ? ?1 3 所以椭圆 ? 的方程为 4 ; a2 3 p ? ?c ? 3 | F1 B |? ? OF B ? ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 c 2 ? cos ? , ⑵法一:焦准距 ,设 ,则
| F1 A |? 3 12 | AB |? 2 2 2 2 ? cos ? ,故 4 ? cos 2 ? 。易知 | CD |? 2 2 ? sin ? ? 2 3 ? cos ? ,故

| AB |2 1 36 ? ? 2 2 | CD | 3 ? cos ? ? 4 ? cos 2 ? ?2

。令

t ? 4 ? cos 2 ? ? ?3, 4?
,故

,则

| AB |2 36 ? 2 2 | CD | t ?7 ? t ?


。令

f ?t ? ? t 2 ? 7 ? t ?

,则

f ? ? t ? ? ?3t 2 ? 14t ? t ?14 ? 3t ? ? 0

f ?t ?

?3, 4? 单调递增,从而

| AB |2 36 3 | AB | 3 ? ? ? ? ? ?? 2 f ? t ? ? f ? 4 ? ? 48 48 4 | CD | 2 ,当且仅当 t ? 4 即 2 时取等 ,得 | CD |
| AB | 3 号。所以 | CD | 的最小值为 2 ,取得最小值直线 l 的方程为 x ? ?1 。

| AB | 3 ? 2 。当 l 与 x 轴不垂直时, 法二:当 l ? x 轴时易知 | AB |? 3 , | CD |? 2 3 ,有 | CD |

x2 y 2 ? ?1 4k 2 ? 3? x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 y ? k ? x ? 1? ? l 4 3 设 : ,代入 并整理得 ,故

| AB | ? ?1 ? k
2

2

?? x ? x ?
1 2

2

2 ?? ?8k 2 ? 2 4k 2 ? 12 ? ? 12k 2 ? 12 ? ? ?1 ? k ? ?? 2 ??? ? ? 4? 2 ? 4k ? 3 ? 4k ? 3 ? ? 4k 2 ? 3 ? ? ? ? ? 。圆心 O 2

? k 2 ? 12k 2 ? 16 | AB |2 | CD | ? 4 ? 4 ? 2 ? ? d? ? 2 2 2 k ?1? k 2 ?1 | CD | ? k ? 1 l t ? k ? 1 到 的距离 , 故 , 令 , 则
|k|
2

36t 3

? 4t ? 1? ? 3t ? 1?
2

?

36 1 ?1? ?1? 1 3 2 s? ? ? ? 5 ? ? ? 8 ? ? 48 t ?t ? ?t ? t ,且 f ? s ? ? s ? 5s ? 8s ? 48 ,则 。令
3 2

f ? ? s ? ? 3s 2 ? 10s ? 8 ? ? 3s ? 2 ?? s ? 4 ?

s ? ? 0,1? f ??s? ? 0 。因 t ? 1 ,故 ,因此 ,从而

| AB |2 36 3 | AB | 3 | AB | 3 ? ? ? ? 2 f ? s ? ? f ? 0 ? ? 48 | CD | 48 4 | CD | 2 | CD | , 可知 。 综上知 的最小值为 2 ,
取得最小值直线 l 的方程为 x ? ?1 。 22.解:⑴依次令 n ? 3, 4,5 可得 ⑵法一:由⑴猜想 ②假设

a3 ? 5 , a4 ? 7 , a5 ? 9 ;

an ? 2n ? 1 ,下面用数学归纳法证明:①当 n ? 1, 2 时结论显然成立; a ? 2k ? 1 ,则 ak ?1 ? Sk ?1 ? Sk ? 2 ?1 ? ak ?1 ? 时结论成立,即 k
k ?1

n ? k ? k ? N , k ? 2?

?

k ? 2k ? 1? k 1 k ?1 ak ?1 ? ? ? k ? 1? ak ?1 ? 2k 2 ? k ? 1 ? ak ?1 ? 2k ? 1 ?1 ? ak ? ? ? 2 2 2 2 , 故当

n ? k ? 1 时结论成立。综上知结论成立。
法二:猜想 ②假设

an ? 2n ? 1 ,下面用第二数学归纳法证明:①当 n ? 1, 2 时结论显然成立;
时结论成立,即

n ? k ? k ? N , k ? 2?

am ? 2m ? 1? m ? k , m ? N ? ?

k ?1

,则 2

?1 ? ak ?1 ? ?


S k ?1 ? 1 ? 3 ?

? ? 2k ? 1? ? ak ?1 ? k 2 ? ak ?1 ? ? k ? 1? ak ?1 ? 2k 2 ? k ? 1 ? ak ?1 ? 2k ? 1

故当 n ? k ? 1 时结论成立。综上知结论成立。

法三:由题

an ?1 ? S n ?1 ? S n ?

n ?1 n ?1 ? an?1 ? ? ?1 ? an ? ? nan ? ? n ? 1? an?1 ? 1 2 2 ,当
? ai ai ?1 ? n ?1 ? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? i ? 1 i i ? 1 i ? ,因此 ? ? ? i ? 2 i ? 2 ,故
n ?1

n ? 2 时,
a2 ?

an a 1 1 1 ? n ?1 ? ? ? n ?1 n n ? n ? 1? n ? 1 n

an 1 ? 1? ? an ? 2n ? 1? n ? 2 ? a ?1 a ? 2n ? 1 n ?1 n ?1 。又 1 ,故 n 。

⑶法一:由⑵知

?an ? 为 等 差 数 列 , 故 a1 ? an?1 ? a2 ? an ?

? an ? a2 ? an ?1 ? a1 。 由

xy ?

? x ? y?
4

2

?

? x ? y?
4

2

| a ? an ?1 |? 知 x ? y 一定时,要使 xy 最小,则 | x ? y | 最大。显然 1
,故

| ak ? an ? 2? k | ? 2 ? k ? n ?


? a1a2

an ?1 ? ? ? a1an ?1 ?? a2 an ?
2

? an?1a1 ? ? ? a1an?1 ?
n ?1 2

n ?1

,因

a1a2

an ?1 ? ? a1an ?1 ?

n ?1 2

? ? 2n ? 1?
k

n ?1 2

,从而

a1a2

an ? ? 2n ? 1?
k



n ? n ? 1? ? n ? k ? 1? ? 1 ? 2 ? k ? Cn ? ? ? ? ? ? 1? k ? N ,1 ? k ? n ? 2 n ? 1 k ! ? ? ?n? 法二:因为 ,所以
n 2 ? 2 ? ? k ? n n ?1 1 ? ? ? ? ? Cn ? ? ? n ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 3? ? ? 2n ? 1? ? ? 2n ? 1 ? k ? 0 ? 2n ? 1 ? ,故 ,因此 2n ? 1 ? n k

? 2n ? 3 ? 2 ? 2n ? 1?
n ?1 2

n

? ? 2i ? 1? ? ?
,从而
i ?1 i ?1

n ?1

n ?1

? 2i ? 3? 2 ? 2i ? 1?
i ?1 2

i

? ? 2n ? 1?

n ?1 2

,即

a1a2

an ? ? 2n ? 1?

n ?1 2



法三:①当 n ? 2 时不等式显然成立;②假设

n ? k ? k ? 2?

时不等式成立,即

a1a2

ak ? ? 2k ? 1?
k ?1 2

k ?1 2

ak ?1 ? 2k ? 1 ?
,则如“法二”可证

? 2k ? 3 ? 2 ? 2k ? 1? 2
k ?1

k

,故

a1a2

ak ?1 ?

? 2k ? 1?

? 2k ? 3 ? 2 ? ? 2k ? 1?

k

k ?1 2

? ? 2k ? 3 ? 2
,即当 n ? k ? 1 时不等式成立。综上得证。

k


英语2014年重庆一中高2014级高三下期第一次月考及答案

秘密★启用前 2014 年重庆一中高 2014 级高三下期第一次月考 英语试题卷 2014.3 英语试题卷共 11 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题...

语文2014年重庆一中高2014级高三下期第一次月考及答案

语文2014年重庆一中高2014级高三下期第一次月考及答案_高三语文_语文_高中教育_教育专区。秘密★启用前 2014 年重庆一中高 2014 级高三下期第一次月考 语文试题卷...

2014年重庆一中高2014级高三下期第一次月考历史

2014年重庆一中高2014级高三下期第一次月考历史_高考_高中教育_教育专区。2014年重庆一中高2014级高三下期第一次月考历史秘密★启用前 2014 年重庆一中高 2014 级...

2014年重庆一中高2014级高三下期第一次月考理综试题

2014年重庆一中高2014级高三下期第一次月考理综试题_理化生_高中教育_教育专区。2014 年重庆一中高 2014 级高三下期第一次月考 理科综合能力测试题 2014.3 物理...

文综2014年重庆一中高2014级高三下期第一次月考及答案

文综2014年重庆一中高2014级高三下期第一次月考及答案_高三政史地_政史地_高中教育_教育专区。秘密★启用前 2014 年重庆一中高 2014 级高三下期第一次月考 文综...

2015年重庆一中高2015级高三下期第一次月考理科数学

2015年重庆一中高2015级高三下期第一次月考理科数学_数学_高中教育_教育专区。2015年重庆一中高2015级高三下期第一次月考理科数学秘密...

重庆一中2014届高三英语下学期第一次月考试题新人教版

重庆一中2014届高三英语下学期第一次月考试题新人教版_英语_高中教育_教育专区。2014 年重庆一中高 2014 级高三下期第一次月考 英语试题卷 2014.3 英语试题卷共...

【恒心】重庆一中2014届高三下学期第一次月考语文试题及参考答案(20140328)

命题人 审题人:张罕 谭坛 2014 年重庆一中高 2014 级高三下期第一次月考 语文答案 2014.3 1.C 华陀——佗;治裁——制裁;踏莎 suō 行;刀削 xiāo 面 ...

重庆一中2014届高三下第一次月考英语试题

重庆一中2014届高三下第一次月考英语试题_英语_高中教育_教育专区。2014 年重庆一中高 2014 级高三下期第一次月考 英语试题卷 2014.3 英语试题卷共 11 页。满...

重庆时时彩下期预测 | 高三下期社区服务 | 高三数学第一次月考 | 重庆市第一次党代会 | 高三理科课程表 | 高三数学理科知识框架 | 高三理科生逆袭计划表 | 高三理科差生逆袭 |