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浙江省金丽衢十二校2013届高三第一次联考数学理试题


金丽衢十二校 2012-2013 学年第一次联合考试数学试卷(理科)
一、选择题: 1.复数

i 的共轭复数为 1? i 1 1 1 1 A. ? ? i B. ? i 2 2 2 2

C.

1 1 ? i 2 2

D. ?

1 1 ? i 2 2
<

br />2.已知全集 U ? R ,集合 A ? x 1 ? x ? 3 , B ? x x ? 2 ,则 A ? CU B ? A.

?

?

?

?

?x 1 ? x ? 2?

B.

?x 2 ? x ? 3? C. ?x 1 ? x ? 2?
C. ?2,3?

D.

?x x ? 2?

3.设 f ? x ? ? ln x ? x ? 2 ,则函数 f ? x ? 的零点所在的区间为 A. ?0,1? B. ?1,2 ? D. ?3,4 ?

4.已知实数列 ? 1, x, y, z ,?2 成等比数列,则 xyz = A. ? 4 B. ? 4 C. ? 2 2 D. ? 2 2

5.已知不重合的直线 m 、和平面 ?、? ,且 m ? ? , l ? ? ,给出下列命题: ①若 ? ∥ ? ,则 m ? l ;②若 ? ⊥ ? ,则 m // l ;③若 m ? l ,则 ? ∥ ? ; ④若 m // l ,则 ? ? ? .其中正确命题的个数是 A. B. 2 C. 3 D. 4

6.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0 )的图象如右图所示,为了得到

g ( x) ? A sin ?x 的图象,可以将 f (x) 的图象
A.向右平移 C.向左平移

? ?
6

个单位长度 个单位长度

B.向左平移 D.向右平移

? ?
3

个单位长度 个单位长度

6 3 2 2 2 2 7. 点集 ? x, y ? ?x ? y ? 2 x ??x ? y ? 4 ? ? 0 所表示的平面图形的面积为

?

?

A. ?

B. 2?

C. 3?

D. 5?

8. 在 ?ABC 中, AB ? ?cos18?, cos 72?? , BC ? ?2 cos 63?,2 cos 27?? ,则 ?ABC 面积为 A.

2 4

B.

2 2

C.

3 2

D. 2

9.已知 f ? x ? 是可导的函数,且 f ?( x) ? f ( x) 对于 x ? R 恒成立,则 A. f ?1? ? ef ? 0 ? , f ? 2013? ? e C. f ?1? ? ef ? 0 ? , f ? 2013? ? e
2013

f ?0? f ?0?

B. f ?1? ? ef ? 0 ? , f ? 2013? ? e

2013

f ?0? f ?0?

2013

D. f ?1? ? ef ? 0 ? , f ? 2013? ? e

2013

10.已知 a, b ? ?0,1? ,则 a ? b ? 1 是不等式 ax 2 ? by 2 ? ?ax ? by ?

2

对任意的 x, y ? R

恒成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、填空题: 11. 若直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与直线 2 x ? my ? 6 ? 0 互相垂直,则实数 m 的值为 12.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是

?x ? y ? 5 ? 0 ? 13. 设 Z ? 2 x ? y ,其中实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 Z 的最大值是 ? x ? 0, y ? 0 ?
14. 一空间几何体三视图为如图所示的直角三角形与直角梯形, 从该几何体的五 个面中任意取四个面,这四个面的面积之和为 (只选择一种情况)

15 . 在 ?ABC 中 , M 是 BC 的 中 点 , AM ? 1 , 点 P 在 AM 上 且 满 足

AM ? 2 PM ,则 PA ? PB ? PC 的值为
16. 已知点 B 为双曲线

?

?

x2 y2 ? ? 1(a, b ? 0) 的虚轴端点, F1 是双曲线的焦点, O 为坐标 a2 b2

原点.若 F1O 在 F1 B 上的投影恰好为 b ,则此双曲线的离心率 e ? ______ 17 . 设 f ? x ? 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 当 x ? 0 时 , f ? x ? ? 2 . 若 对 任 意 的 x ? ?a, a ? 2? , 不 等 式
x

f ? x ? a ? ? f 2 ? x ? 恒成立,则实数 a 的取值范围是
三.解答题:本大题共 5 小题,满分 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18.(本题满分 14 分) 在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别为 a, b, c , ? 角 C (Ⅰ)求 a, c 的值; (Ⅱ)求 sin ? A ?

?

3

b ? , ? 5 , ABC 的面积为 10 3 .

? ?

??

? 的值. 6?

19.(本题满分 14 分)已知等差数列 ?a n ? 满足 a3 ? 10, a5 ? 2a 2 ? 6 .

?2 n ?1 ?n为奇数 ? ? (Ⅰ)求 a n ; (Ⅱ)数列 ?bn ? 满足 bn ? ? 1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,求 T2n . a n ?1 ?n为偶数 ? ? ?2

20.(本题满分 14 分)如图在梯形 ABCD 中, AB // DC , 且 E 、F 是线段 AB 上的两点, DE ? AB , CF ? AB ,

CF ? 3 , EF ? FB ? 2 , G 为 FB 的中点,设 AE ? t ,
现将 ?ADE , ?BCF 分别沿 DE, CF 折起, A, B 两点重 使 合于点 P ,得到多面体 PEFCD . (Ⅰ)求证: PD // 平面 EGC ; (Ⅱ)当 EG ? 面 PFC 时,求二面角 P ? DC ? G 的余弦值.

21.(本小题满分 15 分)已知椭圆 M : x ?
2

y2 ? 1 的左右顶点分别为 D, C ,,过点 P?? 2,0? 且斜率不为 0 2

的直线与椭圆 M 相交于 A, B 两点,设 A? x1 , y1 ?, B? x 2 , y 2 ? . (Ⅰ)求

x1 x 2 ? 1 的值;(Ⅱ)若直线 AC与BD 相交于点 E ,证明:点 E 的横坐标为定值. x1 ? x 2

22.(本小题满分 15 分)已知函数 f ? x ? ? ?2 x ? 2 ?e (Ⅰ) 求函数 f (x) 的单调区间; (Ⅱ) 设函数 ? ? x ? ?

?x

( e 为自然对数的底数)

1 1 xf ? x ? ? tf ?? x ? ? e ? x ,是否存在实数 x1 , x 2 ? ?0,1? ,使得 2? ? x1 ? ? ? ? x 2 ? ?若 2 2

存在,求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由.

金丽衢十二校数学试卷(理科)参考答案
一、选择题(5×10=50 分) 题号 答案

1 D

2 A

3 B

4 C
14. 8 ?

5 B

6 A

7 C

8 B

9 D

10 C

二、填空题(4×7=28 分) 11. 15. ? 12. 30 13. 8

2 或 7 ? 2 或10 (任取一个都给分)
3 2

1 2

16.

5 ?1 2

17. a ? ?

三、解答题(共 72 分)

? 18. 解:(?) S ?ABC ?

1 ? ab sin C ? 10 3 ? a ? 5 ? sin ? 20 3, 得a ? 8 ——3 分 2 3
1 ?7 2
——6 分

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C , c ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 82 ? 52 ? 2 ? 5 ? 8 ?

3 2 2 2 2 2 2 a c a sin C 2 ? 4 3 cos A ? b ? c ? a ? 5 ? 7 ? 8 ? 1 (??) ? ? ,? sin A ? ? sin A sin C c 7 7 2bc 2? 5? 7 7 ? ? ? 4 3 3 1 1 13 sin( A ? ) ? sin A cos ? cos A sin ? ? ? ? ? ————14 分 6 6 6 7 2 7 2 14 8?
19. 解:(? )a1 ? 2d

? 10, a1 ? 4d ? 2(a1 ? d ) ? 6

a1 ? 2, d ? 4,? an ? a1 ? (n ? 1)d ? 4n ? 2
——————7 分

(??)数列?bn ?的前2n项中,奇数项和偶数项各有n项 当n奇数时,bn为首项是1公比是4的等比数列

D
M

C

S奇 =

a1 (1 ? q n ) 1 ? 4n 4n ? 1 ? ? ——10 分 1? q 1? 4 3
E
——————13 分
N

当n为偶数时,bn为首项是1公差是4的等差数列 S偶 =n ? n(n ? 1) ? 4 ? 2n 2 ? n 2
4 ?1 ———14 分 3
n

F G P

T2 n ? S奇 ? S偶 ? 2n 2 ? n ?

20. (Ⅰ)证明:连接 DF 交 EC 于点 O ,连接 OG

? O, G 为中点 ? PD // OG 又? PD ? 面EGC

OG ? 面EGC ? PD // 平面 EGC ——5 分
(Ⅱ)①当 EG ? 面 PFC 时, EG ? PF 又? G 为 FB 的中点? EF ? EP ? 2 ,?t ? 2 ————8 分 方法一:分别取 EF , CD, EP 中点 M , N , Q ,连接 PM , PN , MN , DQ, GQ ,设 PM 与 GQ 的交点为 K ,因为

PE ? PF ,? PD ? PC ? PN ? DC 又? MN ? DC ? DC ? 面 PMN ? ?PNK 为二面角 P ? DC ? G 的平面角.———11 分
易求得 PK ?

3 15 3 10 ,在 ?PNK 中由余弦定理可求得 cos ?PNK ? , PN ? 6 , NK ? 2 2 10
3 10 —14 分 10

所以二面角 P ? DC ? G 的平面角的余弦值为

? y ? k ?x ? 2? ? 21. 解 : ( Ⅰ ) 设 AB 方 程 为 : y ? k ? x ? 2 ? ( 易 知 k 肯 定 存 在 ) 则 联 立 方 程 ? 可得: y2 x2 ? ?1 ? 2 ?

?

? ? 4k 2 x1 ? x 2 ? 2 ? ? k ?2 ————4 分 k 2 ? 2 x 2 ? 4k 2 x ? 4k 2 ? 2 ? 0 ? 2 ? x x ? 4k ? 2 ? 1 2 k2 ? 2 ?

Y

?

B A P D E X O C

5k x1 x 2 ? 1 k 2 ? 2 5 ? ? ? ? ———6 分 2 x1 ? x 2 4 ? 4k 2 k ?2
(Ⅱ) D?? 1,0 ?, C ?1,0 ? AC 的方程为: y ?

2

y1 ?x ? 1? x1 ? 1

BD 的方程为: y ?

y2 ?x ? 1? x2 ? 1

可联立解得 E 点横坐标 x E ?

x 2 y1 ? x1 y 2 ? y1 ? y 2 2 x1 x 2 ? x 2 ? 3 x1 ? ————12 分 x 2 y1 ? x1 y 2 ? y1 ? y 2 3 x 2 ? x1 ? 4

1 3 x1 ? x 2 ? 4 1 5 2 (方法一)将 x1 x 2 ? ? ? x1 ? x 2 ? ? 1 代入上式可得 x E ? 2 ?? ? x1 ? 3 x 2 ? 4 2 4
所以 E 的横坐标为定值 ? (方法二)

1 .————15 分 2

?

2 x1 x 2 ? x 2 ? 3 x1 2 x1 x 2 ? x 2 ? x1 ? 2 x1 ? ? 3 x 2 ? x1 ? 4 3( x 2 ? x1 ) ? 4 x1 ? 4
? 2x ex

2

4k 2 ? 2 ? 4k 2 4k 2 ? 4 ? 2 ? 2 x1 ? 2 x1 1 k2 ? 2 k ? 2 k2 ? 2 ? ?? . 2 2 2 ? 4k 8 ? 8k 3 2 ? 4 x1 ? 4 ? 4 x1 2 k ?2 k ?2

22. 解:(Ⅰ)? f ?? x ? ?

? f ?? x ? 在 ?? ?,0 ? 上单调递增,在 ?0,?? ? 上单调递减.

(Ⅱ)假设存在实数 x1 , x 2 ? ?0,1? ,使得 2? ? x1 ? ? ? ? x 2 ? ,则 2[? ? x ?] min ? [? ? x ?] max

————————6 分

? ? ?x ? ? ? ? ?? x ? ?

x 2 ? ?1 ? t ?x ? 1 1 1 xf ? x ? ? tf ?? x ? ? e ? x ? 2 2 ex ? x 2 ? ?1 ? t ?x ? t ? ? x ? t ?? x ? 1? ? ex ex

① 当 t ? 1 时, g ?? x ? ? 0 , g (x) 在 [0,1] 上单调递减

3?t e ? 1 ,得 t ? 3 ? ? 1 e 2 ② 当 t ? 0 时, g ?? x ? ? 0 , g (x) 在 [0,1] 上单调递增 3?t ∴ 2? ?0 ? ? ? ?1? 即 2 ? ,得 t ? 3 ? 2e ? 0 ————10 分 e ③ 当 0 ? t ? 1 时, 在 x ? ?0, t ? , g ?? x ? ? 0 , g (x) 在 ?0, t ? 上单调递减 在 x ? ?t ,1? , g ?? x ? ? 0 , g (x) 在 ?t ,1? 上单调递增 t ?1 ? 3?t? ? ∴ 2? ?t ? ? max? ?0 ?, ? ?1?? 即 2 t ? max ?1, (★) ? e ? e ? t ?1 由(Ⅰ)知 f ?t ? ? 2 t 在 [0,1] 上单调递减 e 4 2t ? 2 2 3?t 3 故 ? ?2 而 ? ? ∴不等式(★)无解 t e e e e e
∴ 2? ?1? ? ? ?0 ? 即 2 综上所述,存在 t ? ?? ?,3 ? 2e ? ? ? 3 ?

? ?

e ? ,?? ? ,使得命题成立.————15 分 2 ?


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