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苏教版高中数学选修2-2《2.3 数学归纳法(1)》教案


教学目标: 1.理解数学归纳法的概念,掌握数学归纳法的证明步骤. 2.通过数学归纳法的学习,体会用不完全归纳法发现规律,用数学归纳法证 明规律的途径.掌握从特殊到一般是应用的一种主要思想方法. 教学重点: 掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法. 教学难点: 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 教学过程: 一、预习 1.问题:很多同学小时候都玩过这样的游戏, (教具摆设)就是一种码放砖 头的游戏,码放时保证任意相邻的两块砖头,若前一块砖头倒下,则一定导致后 一块砖头也倒下,这样只要推倒第一块砖头就会导致全部砖头都倒下(这种游戏 称为多米诺骨牌游戏) . 思考 这个游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?

只要满足以下两个条件,所有的多米诺骨牌都能倒下: (1)__________________________________________________; (2)__________________________________________________. 思考 思考 你认为条件(2)的作用是什么? 如果条件(1)不要,能不能保证全部的骨牌都倒下?

a 2.我们知道对于数列{an},已知 a1=1,且 an+1= n (n=1,2,3?)通 1+an
1 过对 n=1,2,3,4,前 4 项的归纳,我们可以猜想出其通项公式为 an= ,但归 n

纳推理得出的猜想不一定成立,必须通过严格的证明. 要证明这个猜想,同学们自然就会从 n=5 开始一个个往下验证,当 n 较小时 可以逐个验证,但当 n 较大时,逐个验证起来会很麻烦,特别是证明 n 取所有正 整数时,逐个验证是不可能的.能不能寻求一种方法,通过有限个步骤的推理, 证明 n 取所有正整数都成立.

1 思考?你认为证明数学的通项公式是 an= , 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏 n

有相似性吗?你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗? 多米诺骨牌游戏原理 (1)第一块骨牌倒下. (2)若第 k 块倒下时,则相邻的 第 k+1 块也倒下. 根据(1)和(2) ,可知不论有多 少块骨牌,都能全部倒下. 证明: (1) (2)假设
1 通项公式 an= 的证明方法 n

(1)当 n= (2)若当 n= 即 立,即 ,则当 n= .

时,猜想成立 时,猜想成立, 时,猜想也成

根据(1)和(2) ,可知对任意的 正整数 n,猜想都成立. . ,

3.小结. 数学归纳法的定义: 一般地,证明一个与正整数有关的命题,可按下列步骤进行: (1) (归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立. (2) (归纳递推)假设 n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当 n=k+1 时命 题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数都成立. 上述证明方法叫做数学归纳法. 用框图表示为:

验证 n=n0 时 命题成立. 归纳奠基

若 n=k (k≥n0)时命题成立, 证明 n=k+1 时命题也成立. 归纳递推

命题对从 n0 从开始所 有的正整数 n 都成立. 注 这两个步骤缺一不可,只完成步骤(1)而缺少步骤(2) ,就做出判断可

能得出不正确的结论,因为单靠步骤(1) ,无法递推下去,即 n 取 n0 以后的数时 命题是否正确,我们无法判定.同样,只有步骤(2)而缺少步骤(1) ,也可能得 出不正确的结论,缺少步骤(1)这个基础,假设就失去了成立的前提,步骤(2) 也就没有意义了. 二、课堂训练 例1 例2 例3 证明等差数列通项公式 an=a1+(n-1)d. 用数学归纳法证明:1+3+5+?+(2n-1)= n 2 . 用数学归纳法证明 12+22+32+?+n2=
n(n+1)(2n+1) (n∈N*) . 6

练习: 用数学归纳法证明:-1+3-5+?+(-1)n(2n-1)=(-1)nn. 三、巩固练习

1-a n+2 1.用数学归纳法证明:“ 1+a+a + +a = ? a ≠1,n ∈ N? ? ” 1-a
2 n+1

在验证n=1成立时,左边计算所得的结果是 2.已知: f (n)=
1 1 1 + +???+ ,则 f (k+ 1) 等于 n+1 n+2 3n+1

. .

1 3.用数学归纳法证明:1×2+2×3+3×4+?+n(n+1)= n(n+1)(n+2) . 3 n(n+1) 4.用数学归纳法证明: 12-22+32-42+ +(-1) n-1 n 2=(-1) n-1 . 2

四、小结 重点:两个步骤、一个结论; 注意:奠基基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.

五、作业 课本 P94 第 1,2,3 题.


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