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【优化方案】2012高中数学 第2章本章优化总结课件 新人教A版选修2-1


本章优化总结

知识体系网络 本 章 优 化 总 结

专题探究精讲

知识体系网络

专题探究精讲

圆锥曲线的定义 题型特点:对圆锥曲线定义的考查多以选择题和 填空题形式出现,一般难度相对较小,若想不到 定义的应用,计算量将会加大.解题时应注意应 用.

知识方法:(1)平面内满足|PF1|+|PF2|=2a(2a>
|F1F2|)的点P的轨迹叫做椭圆,定义可实现椭圆

上的点到两焦点的距离的相互转化.

(2)平面内满足||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|)的点P 的轨迹叫做双曲线,|PF1|-|PF2|=2a(2a<|F1F2|) 表示焦点F2对应的一支,定义可实现双曲线上的 点到两焦点的距离的相互转化. (3)平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定义可实现 抛物线上的点到焦点与到准线距离的相互转化.

例1

(2010 年高考辽宁卷)设抛物线 y2=8x 的

焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥ l,A 为垂足,如果直线 AF 的斜率为- 3,那 么|PF|=( A.4 3 C.8 3 ) B.8 D.16

【解析】 如图所示, 直线 AF 的方程为 y=- 3 (x-2),与准线方程 x=-2 联立得 A(-2,4 3). 设 P(x0,4 3),代入抛物线方程 y2=8x, 得 8x0=48,∴x0=6, ∴|PF|=x0+2=8,选 B.
【答案】 B

圆锥曲线的性质

题型特点:有关圆锥曲线的焦点、离心率等问
题是考试中常见的问题,只要掌握基本公式和

概念,并且充分理解题意,大都可以顺利求解.
知识方法:圆锥曲线的简单几何性质 (1)圆锥曲线的范围往往作为解题的隐含条件.

(2)椭圆、双曲线有两条对称轴和一个对称中心, 抛物线只有一条对称轴. (3)椭圆有四个顶点,对曲线有两个顶点,抛物

线只有一个顶点.
(4)双曲线焦点位置不同,渐近线方程不同.

(5)圆锥曲线中基本量a,b,c,e,p的几何意义
及相互转化.

x2 y 2 例2 椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 2c,若直 a b 线 y=2x 与椭圆的一个交点的横坐标恰为 c,则 椭圆的离心率等于( 2- 2 A. 2 C. 3-1 )

2 2-1 B. 2 D. 2-1

c2 y2 b2 【解析】 当 x=c 时, 2+ 2=1, y=±a , 由 得 a b 2 a2-c2 b c2 所以 2c= a = a =a- a . c c2 2 因此,2a=1- 2?e +2e-1=0,解得 e=- a 1± 2. 因为 0<e<1.所以 e= 2-1,故选 D.

【答案】

D

直线与圆锥曲线的位置关系 题型特点:近几年来直线与圆锥曲线的位置关

系在高考中占据高考解答题压轴题的位置,且
选择、填空也有涉及,有关直线与圆锥曲线的

位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等.

知识方法:与圆锥曲线有关的最值问题大多是综

合性、解法灵活、技巧性强、涉及代数、几何等
知识的题目,常用的解决方法有两种,一是几何

法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征及
意义,则考虑利用图形性质来解决;二是代数法:

若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则
可首先列出函数关系式,再求这个函数的最值.

例3 已知椭圆的一个顶点为 A(0,-1),焦点在

x 轴上. 若右焦点到直线 x-y+2 2=0 的距离为 3. (1)求椭圆的方程; (2)设椭圆与直线 y=kx+m(k≠0)相交于不同的 两点 M、N.当|AM|=|AN|时,求 m 的取值范围.

【解】

x2 2 (1)依题意可设椭圆方程为 2+y =1, a

则右焦点 F( a2-1,0), | a2-1+2 2| 由题设 =3, 2 x 解得 a =3,故所求椭圆的方程为 +y2=1. 3
2 2

?y=kx+m ? (2)设 P 为弦 MN 的中点,由?x2 2 ? +y =1 ?3



得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0. 由于直线与椭圆有两个交点, ∴Δ>0,即 m <3k +1① xM+xN 3mk ∴xP= =- 2 , 2 3k +1 m 从而 yP=kxP+m= 2 , 3k +1 yP+1 m+3k2+1 ∴kAP= x =- , 3mk P
2 2

又|AM|=|AN|,∴AP⊥MN, m+3k2+1 1 则- =- ,即 2m=3k2+1② k 3mk 把②代入①得 2m>m2,解得 0<m<2, 2m-1 1 由②得 k = >0,解得 m> , 3 2
2

1 故所求 m 的取值范围是( ,2). 2

圆锥曲线中的定点、定值、最值问题

题型特点:圆锥曲线中的最值、取值范围问题既
是高考的热点问题,也是难点问题,解决这类问

题的基本思想是建立目标函数和不等关系,根据
目标函数和不等式求最值、取值范围,因此这类 问题的难点就是如何建立目标函数和不等关系. 知识方法:圆锥曲线中的定点、定值问题往往与 圆锥曲线中的“常数”有关,如椭圆的长、短轴,

双曲线的虚、实轴;抛物线的焦点等.可通过直 接计算而得到.另外还可用“特例法”和“相关 曲线系法”. 圆锥曲线中的最值问题,通常有两类:一类是有 关长度、面积等的最值问题;一类是圆锥曲线中 有关几何元素的最值问题.这两类问题的解决往 往要通过回归定义,结合几何知识,建立目标函 数,利用函数的性质或不等式知识,三角函数有 界性,以及数形结合、设参、转化代换等途径来 解决.特别注意函数思想,观察分析图形特征, 利用数形结合等思想方法.

例4

如图所示,过抛物线y2=2px的顶点O作两

条互相垂直的弦交抛物线于A、B两点.
求△AOB面积的最小值.

【解】

设直线 AB 的方程为 y=k(x-a),A(x1,

?y2=2px, y1),B(x2,y2).联立方程? 消去 x ?y=k?x-a?,

得 ky2-2py-2pak=0, 则 y1y2=-2pa.又 OA⊥OB.∴y1y2=-x1x2. 由方程组消去 y, k2x2-(2k2a+2p)x+k2a2=0, 得 则 x1·2=a2.因此,a2=2pa.∴a=2p. x 故直线 AB 过定点(2p,0).

1 ∴S△AOB=S△AOM+SBOM= |OM|(|y1|+|y2|) 2 ≥p(2 |y1y2|). 又 y2=2px1,y2=2px2, 1 2 ∴(y1y2)2=4p2x1x2. 又∵y1y2=-x1x2, 于是|y1y2|=4p2. 故 S△AOB 的最小值为 4p2.

曲线的方程
题型特点:求动点轨迹方程是常见题型,高考中 多以解答题的某一问出现,其难度为中等,大多 试题的轨迹方程求不出来或出错,将无法解决其

他问题.
知识方法:求曲线方程是解析几何的基本问题之 一,其求解的基本方法有: (1)直接法:建立适当的坐标系,设动点为(x,y), 根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式.

(2)代入法:利用所求曲线上的动点与某一已知曲 线上的动点的关系,把所求动点转换为已知动点. 具体地说,就是用所求动点的坐标x、y来表示已 知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程, 由此即可求得所求动点坐标x、y之间的关系式. (3)定义法:如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、 双曲线、抛物线等曲线的定义,则可直接利用这 些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程.

例5

设圆(x-1)2+y2=1的圆心为C,过原点作

圆的弦OA,求OA中点B的轨迹方程.
【解】 法一:(直接法)设 B 点坐标为(x,y), 由题意,得|OB|2+|BC|2=|OC|2=1,如图所示,

即 x2+y2+[(x-1)2+y2]=1, 12 2 1 即 OA 中点 B 的轨迹方程为(x- ) +y = (去掉原 2 4 点). 法二:(几何法) 设 B 点坐标为(x,y), 1 由题意知 CB⊥OA,OC 的中点记为 M( ,0),如法 2 1 1 一中图,则|MB|= |OC|= , 2 2 故 B 点的轨迹方程为

12 2 1 (x- ) +y = (去掉原点). 2 4 法三:(代入法)设 A 点坐标为(x1,y1),B 点坐标 为(x,y),
? ?x=x1 ? 2 由题意得? y1 ? ?y= 2 ? ?x1=2x ,即? . ?y1=2y

又因为(x1-1)2+y2=1,所以(2x-1)2+(2y)2=1. 1 12 2 1 即(x- ) +y = (去掉原点). 2 4


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