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高中数学必修1 知识要点复习提纲PPT演示课件


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一、集合 二、函数 三、初等函数 四、函数应用 五、函数的零点与二分法

一、集合的概念
1、集合:把研究对象称为元素,

把一些元素组成的总体叫做集合
2、元素与集合的关系:? 或 ? 3、元素的特性:确定性、互异性、无序性
4、常用数集: N 、 N、 Z、 Q、

R
?

二、集合的表示
1、列举法:把集合中的元素一一列举出 来,并放在{ }内 2、描述法:用文字或公式等描述出元素 的特性,并放在{ }内

例 1、已知 x ? {1, 2 , x }, 则 x ?
2

0或2

例 2、已知集合

A ? { x | ax

2

? 2 x ? 1 ? 0 , a ? R }, 求 a 的取值范围

若 A 中元素至多只有一个,

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三、集合间的基本关系
1、子集:对于两个集合A,B如果集合A 中的任何一个元素都是集合B的元素,我 们称A为B的子集 2、集合相等: A ? B , B ? A ? A ? B 3、空集:规定空集是任何集合的子 集,是任何非空集合的真子集

例 3、若集合

A ? { x | ? 2 ? x ? 4 }, B ? { x | x ? a },

满足 A ? B ,求 a 的取值范围

二、集合间的基本关系
1、子集:对于两个集合A,B如果集合A中的任何
一个元素都是集合B的元素,我们称A为B的子集.
若集合中元素有n个,则其子集个数为 真子集个数为

2n

2n-1 非空真子集个数为 2n-2

2、集合相等: A ?
何非空集合的真子集

B, B ? A ? A ? B

3、空集:规定空集是任何集合的子集,是任

四、集合的并集、交集、全集、补集
1、 A ? B ? { x | x ? A 或 x ? B }

2、 A ? B ? { x | x ? A 且 x ? B }

3、 C U A ? { x | x ? U 且 x ? A }

全集:某集合含有我们所研究的各个 集合的全部元素,用U表示

三、集合的并集、交集、全集、补集
1、 A ? B ? { x | x ? A 或 x ? B }

A

B

2、 A ? B ? { x | x ? A 且 x ? B }

3、 C U A ? { x | x ? U 且 x ? A }

全集:某集合含有我们所研究的各个集合的全
部元素,用U表示

例 6、已知集合

A ? { x | ? 1 ? x ? 2 },

B ? { x | x ? k ? 0 }, (1) 若 A ? B ? ? , 求 k 的取值范围 ( 2 ) 若 A ? B ? A , 求 k 的取值范围

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一、函数的概念:
设 A 、 B 是非空的数集,如果按 对应关系 f ,使对于集合 照某种确定的 x, A 中的任意一个数

在集合 B 中都有惟一确定的数 那么就称 函数。记作 f : A ? B 为从集合

f ( x )和它对应, A 到集合 B 的一个

y ? f ( x ), x ? A x 的取值范围 A 叫做函数的

其中, x 叫做自变量, 定义域;与 数值的集合

x 的值相对应的

y 值叫做函数值,函

? f ( x ) x ? A ?叫做函数的值域。

例2、下列题中两个函数是否表示同一个函数
1) f ( x ) ? x 2) f ( x) ? x 3) f ( x ) ? x
2

g (x) ? ( g (x) ? g (x) ?
3

2

x) x x
2

3

4) f ( x) ? 5) f ( x ) ?

x ?4 x?2 ( x ? 2)
2

g (x) ? x ? 2 g (x) ? x ? 2

二、函数的定义域
例3、求下列函数的定义域
3

1) f ( x ) ?

4?x x ?1

?

( x ? 4)

0

log 2 ( x ? 1)

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2、抽象函数的定义域
1)已知函数y=f(x)的定义域是[1,3], 求f(2x-1)的定义域
? 1 ? 2 x ? 1 ? 3,? 1 ? x ? 2, 函 数 的 定 义 域 为 ? x | 1 ? x ? 2 ? .

2)已知函数y=f(x)的定义域是[0,5), 求g(x)=f(x-1)- f(x+1)的定义域
? 0 ? x ? 1 ? 5, ?1 ? x ? 6 , ?? ?? ? 1 ? x ? 4, ? 0 ? x ? 1 ? 5, ? ? 1 ? x ? 4 , 函 数 的 定 义 域 为 ? x | 1 ? x ? 4? .

三、函数的表示法
1、解 析 法 2、列 表 法 3、图 像 法 例 (1)已知 f ( x ) ? x ? 4 x ? 3 , 求 f ( x ? 1)
2

( 2 )已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x , 求 f ( x )
2

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?x ? 3 ? ( 3 )已知 f ( x ) ? ? 1 ?x ? 4 ?
2

x ? 0 x ? 0 ,求 f [ f ( ? 4 )] x ? 0
f ( x )的解析式

( 4 )已知 f [ f ( x )] ? 4 x ? 1,求一次函数

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函数单调性
定义:一般地,设函数f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、 x2,当x1<x2时,都有f(x1) < f(x2) ,那么就说函数在区间 上是增函数。区间D叫做函数的增区间。

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、 x2,当x1<x2时,都有f(x1) >f(x2) ,那么就说函数在区间 上是减函数。区间D叫做函数的减区间。
增函数、减函数、单调函数是 对定义域上的某个区间而言的。

函数单调性: 用定义证明函数单调性的步骤: (1). 设x1<x2, 并是某个区间上任意二值; (2). 作差 f(x1)-f(x2) ; (3). 判断 f(x1)-f(x2) 的符号: (4). 作结论.

函数的奇偶性
1.奇函数:对任意的 x ? I ,都有 f ( ? x ) 2.偶函数:对任意的 x ? I ,都有 f ( ? x ) 3.奇函数和偶函数的必要条件:
? ? f (x)
? f (x)

定义域关于原点对称.
注:要判断函数的奇偶性,首先要看其定 义域区间是否关于原点对称!

例1、判断下列函数的奇偶性
(1) f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 1

(2) f ?x ? ?

3 x
2

(3) f ? x ? ? x ?
2

1 x

( 4 ) f ? x ? ? x , x ? ?? 2 , 3 ?

例 2 、已知 f ? x ?是奇函数,且在 增函数,且最大值是 在 ?? 7 , 3 ?上是 ? 4,那么

?3, ?是 7 f ?x ?

函数
值是

且最

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例1 3 已 知 f

? x ? 是 R上 的 奇 函 数 , ?x? ?
x (1 ? x ),

且 当 x ? 0时 , f (1) 求 f ( x );

( 2) 求 x ? 0 时 , f ( x ) 表 达 式 ; ( 3) 求 f ( x ).

指数幂与根式运算
1.指数幂的运算性质
(1) a
m

? a
n

n

? a
mn

m?n

( 2 )( a ) ? a
m

(3)

a a

m n

? a
n

m?n

( 4 )( ab ) ? a ? b
n

n

2.a的n次方根
如果 x ? a ,(n>1,且n ? N ),那么x就叫做a 的n次方根.
n
?

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3.根式
当n为正奇数时, a 当n为正偶数时,
n

n

n

? a ,

a

n

?a ,a ? 0 ? ? | a |? ? ?? a , a ? 0 ?

4.分数指数幂
(1)正数的分数指数幂:
m ? m n

a

n

?

n

a

m

,a

?
n

1 a
m

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5.对数
a ? N ? x ? log a N .
x

负数和零没有对数;
常用关系式:

log a 1 ? 0 , log a a ? 1, a
log a a ? x
x

log a N

? N

对数运算性质如下:
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0 ,那么:
(1) log ( M ? N ) ? log M ? log N ; a a a

(2) log
a

M N
n

? log a M ? log a N ;

(3) log a M

? n log a M ( n ? R ).

几个重要公式
(1) log
a
m

b

n

?

n m

log
c c

a

b

( 2 ) log
( 3 ) log

a

b ?
b ?

log log
log 1

b a
a

(换底公式)

a

b

指数函数的概念

指数 自变量 函数

y = a 叫作指数函数

x

底数(a>0且a≠1) 常数

a>1


0<a<1



性 质

定义域为(-∞,+ ∞ ),值域为(0,+ ∞ )

图像都过点(0,1),当x=0时,y=1
当x>0时,y>1;x<0时,0<y<1 当x>0时,0<y<1;x<0时,y>1

是R上的增函数

是R上的减函数

比较下列各题中两数值的大小

(1)1.72.5,1.73. (2) 0.8-0.1 ,0.8-0.2
(3) 2 . 1
1
3 .4

,0 .4
1

2 .8

(4) 2 3 , 3 3

对数函数y=logax (a>0,且a≠1)
a>1 图 象 性 质
y 0 (1,0)

0<a<1
y x
0 (1,0) x

定义域 : ( 0,+∞) 值 域 : R 过点(1 ,0), 即当x =1时,y=0 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数

当x>1时,y>0 当x=1时,y=0 当0<x<1时,y<0

当x>1时,y<0 当x=1时,y=0 当0<x<1时,y>0

例1.比较下列各组数中两个值 的大小:
(1) log23.4 , log28.5 ;
(2) log0.31.8 , log0.32.7; (3) log3? , log20.8. (4) log67, log76;

2.填空题:
(1)y=log(5x-1)(7x-2)的定义域是

(2)y=

lg (8 ? x ) 的定义域是
2

lg(x-3)<1,求x的范围. 3.已知3

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指数函数与对数函数

图 象 间 的 关 系

例1. 设f(x)= log

1? x
a

1? x

a>0 ,

且a≠1, (1) 求f(x)的定义域;

(2) 当a>1时,求使f(x)>0的 x的取值范围.

函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变 量,α是常数.

零点
y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标叫 做该函数的零点。即f(x)=0的解。 方程f(x)=0有实数根 ? 函数y=f(x)的图象与x轴有交点

? 函数y=f(x)有零点
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已知函数

f ? x ?的图象是连续不断的 x , f ? x ?的对应值表:

,

且有如下的

x

1

2
8

3

4

5
7

6
3

7

8

9
8

f ? x ? 14

?2 2

? 2 ?1

问:函数

f ? x ?在哪几个区间内有零点

? 为什么 ?


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