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【2014三维设计文科一轮课时跟踪检测】22简单的三角恒等变换


课时跟踪检测(二十二) 简单的三角 恒等变换

1 1.在△ABC 中,tan B=-2,tan C= ,则 A 等于( 3 π A. 4 π C. 3 2. 3π B. 4 π D. 6 )

)

sin?180° +2α? cos2α · 等于( 1+cos 2α cos?90° +α?

A.

-sin α C.sin α

B.-cos α D.cos α

3.(2013· 深圳调研)已知直线 l: xtan α-y-3tan β=0 的斜率为 2,在 y 轴上的截距为 1, 则 tan(α+β)=( 7 A.- 3 5 C. 7 ) 7 B. 3 D.1 )

π π 3 7 4.(2012· 山东高考)若 θ∈?4,2?,sin 2θ= ,则 sin θ=( ? ? 8 3 A. 5 C. 7 4 4 B. 5 3 D. 4

π tan?4+α?· 2α ? ? cos 5.(2012· 河北质检)计算 的值为( 2?π -α? 2cos ?4 ? A.-2 C.-1 6.定义运算? ( ) π A. 12 π C. 4 π B. 6 π D. 3 B.2 D.1

)

?a b?=ad-bc.若 cos α=1,?sin α sin β ?=3 3,0<β<α<π,则 β 等于 ? 7 ?cos α cos β? 14 2 ?c d ? ? ?

π cos 2θ 7.若 tan?4-θ?=3,则 =________. ? ? 1+sin 2θ

8.若锐角 α、β 满足(1+ 3tan α)(1+ 3tan β)=4,则 α+β= ________. cos 10° 3sin 10° + 9.计算: =________. 1-cos 80° 10.已知函数 f(x)=sin x+cos x,f′(x)是 f(x)的导函数. (1)求 f′(x)及函数 y=f′(x)的最小正周期; π (2)当 x∈?0,2?时,求函数 F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)的值域. ? ? π α 1 2 11.已知 0<α< <β<π,tan = ,cos(β-α)= . 2 2 2 10 (1)求 sin α 的值; (2)求 β 的值. 12.已知 sin(2α+β)=3sin β,设 tan α=x,tan β=y ,记 y=f(x). (1)求证:tan(α+β)=2tan α; (2)求 f(x)的解析式.

π π 1 1.(2012· 郑州质检)已知曲线 y=2sin?x+4?· ?4-x?与直线 y= 相交,若在 y 轴右侧 ? ? cos? ? 2 的交点自左向右依次记为 P1,P2,P3,…,则|P1P5― →|等于( A.π C.3π 3-sin 70° 2. 等于( 2-cos210° 1 A. 2 B. 2 2 3 2 ) B.2π D.4π )

C.2 D.

π π 3.(2012· 江西重点高中模拟)已知函数 f(x)=sin?2x+3?+sin?2x-3?+ 3cos 2x-m,若 ? ? ? ? f(x)的最大值为 1. (1)求 m 的值,并求 f(x)的单调递增区间; (2)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 f(B)= 3-1,且 3a=b+c, 试判断三角形的形状.

[答 题 栏] 1._________ 2._________ 3._________ 4._________ A级 5._________ 6 ._________ 7. __________ 8. __________ 9. __________ B级
[来源:学科网][来 源:Z_xx_k.Com][来 源:学&科&网] 网 Z,X,X,K][来源:学科网]

1.______ 2.______

[来源:学,科,





课时跟踪检测(二十二)

A级 1.选 A tan A=tan[π-(B+C)] 1 -2+ 3 tan B+tan C =-tan(B+C)=- =- 1 1-tan Btan C 1-?-2?× 3 π =1.故 A= . 4 ?-sin 2α?· 2α cos 2.选 D 原式= ?1+cos 2α?· ?-sin α? = 2sin α· α· 2α cos cos =cos α. 2cos2α· α sin

3.选 D 依题意得,tan α=2,-3tan β=1, 1 2- 3 tan α+tan β 1 即 tan β=- ,tan(α+β)= = =1. 3 2 1-tan αtan β 1+ 3 π π π 4.选 D 因为 θ∈?4,2?,所以 2θ∈?2,π?, ? ? ? ? 1 所以 cos 2θ<0,所以 cos 2θ= - 1-sin22θ=- . 8 1 9 又 cos 2θ=1-2sin2θ=- ,所以 sin2θ= , 8 16 3 所以 sin θ= . 4 π tan?4+α?· 2α ? ? cos π 2cos2?4-α? ? ?

5.选 D



π sin?4+α?· 2α ? ? cos π π 2sin2?4+α?cos?4+α? ? ? ? ? cos 2α π π 2sin?4+α?cos?4+α? ? ? ? ? cos 2α π sin 2?4+α? ? ?







cos 2α π sin?2+2α? ? ? cos 2α =1. cos 2α



6.选 D 依题意有 sin αcos β-cos αsin β 3 3 =sin(α-β)= , 14 π π 又 0<β<α< ,∴0<α-β< , 2 2 13 故 cos(α-β)= 1-sin2?α-β?= , 14 1 4 3 而 cos α= ,∴sin α= , 7 7 于是 sin β=sin[α-(α-β)] =sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) = 4 3 13 1 3 3 3 × - × = . 7 14 7 14 2

π 故 β= . 3 π 1-tan θ 7.解析:∵tan?4-θ?= ? ? 1+tan θ=3, 1 ∴tan θ=- . 2 ∴ cos2θ-sin2θ cos 2θ = 2 1+sin 2θ sin θ+2sin θcos θ+cos2θ

1 1- 4 1-tan2θ = 2 = =3. tan θ+2tan θ+1 1 -1+1 4 答案:3 8.解析: 由(1+ 3tan α)(1+ 3tan β)=4, tan α+tan β 可得 = 3,即 tan(α+β)= 3. 1-tan αtan β π 又 α+β∈(0,π),所以 α+β= . 3 π 答案: 3 cos 10° 3sin 10° + 9.解析: 1-cos 80°

= =

2?sin 30° 10° cos +cos 30° 10° sin ? 2 2sin 40° 2sin 40° = 2. 2sin 40°

答案: 2 π 10.解:(1)由题意可知,f′(x)=cos x-sin x=- 2· ?x-4?, sin? ? 所以 y=f′(x)的最小正周期为 T=2π. (2)F(x)=cos2x-sin2x+1+2sin xcos x =1+sin 2x+cos 2x π =1+ 2sin?2x+4?. ? ? π π π 5π ∵x∈?0,2?,∴2x+ ∈?4, 4 ?, ? ? ? 4 ? π 2 ∴sin?2x+4?∈?- ,1?. ? ? ? 2 ? ∴函数 F(x)的值域为[0,1+ 2 ]. α 1 11.解:(1)∵tan = , 2 2 1 2× 2 4 ∴ tan α= = = , α 1?2 3 ? 1-tan2 2 1-?2? α 2tan 2

? sin α =4, ? 由?cos α 3 ?sin2α+cos2α=1, ?
4 4 解得 sin α= ?sin α=-5舍去?. ? 5? (2)由(1)知 cos α= 1-sin2α = 4 3 1-?5?2= , ? ? 5

π 又 0<α< <β<π,∴β-α∈(0,π), 2 而 cos(β-α)= 2 , 10 1-? 2?2 7 2 = , ? 10 ? 10

∴sin(β-α)= 1-cos2?β-α?= 于是 sin β=sin[α+(β-α)] =sin αcos(β-α)+cos αsin(β-α)

4 2 3 7 2 2 = × + × = . 5 10 5 10 2 π 3π 又 β∈?2,π?,∴β= . ? ? 4 12.解:(1)证明:由 sin(2α+β)=3sin β, 得 sin [(α+β)+α]=3sin [(α+β)-α], 即 sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α, ∴sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α. ∴tan(α+β)=2tan α. tan α+tan β x+y (2)由(1)得 =2tan α,即 =2x, 1-tan αtan β 1-xy x x ∴y= ,即 f(x)= . 1+2x2 1+2x2 B级 1. B 选 π π π π 注意到 y=2sin?x+4?cos?4-x?=2sin2?x+4?=1-cos 2?x+4?=1+sin 2x, 又 ? ? ? ? ? ? ? ?

2π 函数 y=1+sin 2x 的最小正周期是 =π,结合函数 y=1+sin 2x 的图象(如图所示)可知, 2 |P1P5― →|=2π.

2.选 C =

3-sin 70° 3-cos 20° = 2-cos2 10° 2-cos210°

3-?2cos210° -1? 2?2-cos210° ? = =2. 2 2-cos 10° 2-cos210°

π π 3.解:(1)f(x)=2sin 2x· + 3cos 2x-m=sin 2x+ 3cos 2x-m=2sin?2x+3?-m. cos ? ? 3 又 f(x)max=2-m,所以 2-m=1,得 m=1. π π π 由- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ(k∈Z) 2 3 2 5π π 得到 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈ Z), 12 12 5π π 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ-12,kπ+12?(k∈Z). ? ? π (2)由 f(B)= 3-1,得 2sin?2B+3?-1= 3-1, ? ? π 所以 B= . 6

又 3a=b+c,则 3sin A=sin B+sin C, 5π π 1 1 3sin A= +sin? 6 -A?,即 sin?A-6?= , ? ? ? ? 2 2 π π 所以 A= ,C= ,故△ABC 为直角三角形. 3 2


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