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3.1.1 数系的扩充与复数的概念


数系的扩充与复数的概念
自然数

数 系 的 扩 充

2?3 ? ?
正有理数和零

用图形表示数集包含关系:

3?5 ? ?

有理数

R

Q

N
Q+∪{0}

/>x ? 2, 则 x ? ?
2

实数

数系是怎样一步一步扩充的?

数系的扩充与复数的概念
回顾数系扩充
问题提出

大胆假设

例题1与练 习1

例 2 与练习 2

怎样解方程 x ? 2 x ? 3 ? ? 2 显然, △? 2 ? 4 ? 3 ? 0 ∴在实数范围内无解.
2

到底是怎么一回事? 2 x ? 2x ? 3 ? 0 2 配方得 x ? 2 x ? 1 ? ?2 2 即 ( x ? 1) ? ?2

负数能否开平方?又如 x ? ?1 呢?
2

在解方程时经常会遇到这类问题 .如果负数可以 开平方,那这个平方根不会是实数,是什么数呢 ?

问题解决: 为了解决负数开平方问题,数学家大胆引入一个新数 i ,把 i 叫做虚数单位,并且规定: (1) i 2??1; (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时, 原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配 律)仍然成立. 这样就会出现许多新数,如 2i 、3i 、2 ? i 、3 ? i 等. 形如 a ? bi (a, b ? R) 的数叫做复数.

全体复数所成的集合 C 叫做复 数集. 即 C ? ?a ? bi a , b ? R?
代数形式 虚数发展史

复数的代数形式: 通常用字母 z 表示,即
其中a —实部 , b —虚部 ,

z ? a ? bi (a ? R, b ? R)

i 称为虚数单位.

讨论:复数集 C 和实数集 R 之间有什么关系? 规定: 0i=0 ,0+bi=bi, a+0i=a

? ? 当 b ? 0 时, z ? a ? bi 叫做虚数. 复数 z ? a ? bi ? ? 当 a ? 0且b ? 0 时,z ? bi 叫做纯虚数. ?
规定:两复数 a ? bi 与 c ? di (a, b, c, d ? R) 相等的充要条件是 a ? c 且 b ? d .

当 b ? 0 时,这时 z ? a 是实数.

复数的发展史 虚数这种假设, 是需要勇气的 ,人们在当时是无法接受 的,认为她是想象的,不存在的,但这丝毫不影响数学家对虚 数单位 i 的假设研究 :第一次认真讨论这种数的是文艺复兴 时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹,他是 1545 年开始讨 论这种数的,当时复数被他称作“诡辩量”.几乎过了 100 年, 笛卡尔才给这种 “虚幻之数” 取了一个名字——虚数. 但 是又过了 140 年,欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之 中” ,并用 i (imaginary,即虚幻的缩写)来表示它的单位. 后来德国数学家高斯给出了复数的定义, 但他们仍感到这种 数有点虚无缥缈,尽管他们也感到它的作用.1830 年,高 斯 详 细 论 述 了 用 直 角 坐 标 系 的 复 平 面 上 的点 表 示 复 数 a ? bi ,使复数有了立足之地,人们才最终承认了复数.到今 天复数已经成为现代科技中普遍运用的数学工具之一.

1 实数m取什么值时,复数

z ? m ? 1 ? (m ? 1)i
m ? 1时,复数z 是实数. m ? 1 时,复数z 是虚数.
即 m ? ? 1时,复数z 是 纯虚数.
2

是(1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?
解: (1)当 m ? 1 ? 0,即
(2)当 m ? 1 ? 0 ,即 (3)当 ?m ? 1 ? 0

? ?m ? 1 ? 0
2

练习1:当m为何实数时,复数

z ? m ? m ? 2 ? (m ? 1)i

m ? 1或m ? ?1

是 (1)实数

(2)虚数

m ? 1且m ? ?1

(3)纯虚数

m ? ?2

如果两个复数的实部和虚部分别相等,那 么我们就说这两个复数相等.

若a, b, c, d ? R,

?a ? c a ? bi ? c ? di ?? ?b ? d
x, y ? R ? y ? (3 ? y ),其中 i

2 已知 (2 x ? 1) ? i 求 x与 y .

解:根据复数相等的定义,得方程组

?2 x ? 1 ? y ? ?1 ? ?( 3 ? y )
练习2

5 解得 x ? , y ? 4 2
2答案

如果两个复数的实部和虚部分别相等,那 么我们就说这两个复数相等.

若a, b, c, d ? R,

练习 2. ⑴ 已知? x ? y ? ? ? x ? 2 y ? i ? ? 2 x ? 5? ? ? 3 x ? y ? i 求实数 x , y 的值. x ? 3, y ? ⑵ 若? 3 ? 10i ? y ? ? ?2 ? i ? x ? 1 ? 9i , 求实数 x , y 的值.

?a ? c a ? bi ? c ? di ?? ?b ? d

?2

x ? 1, y ? 1

学习小结
1.虚数单位i的引入; 2.复数有关概念:
复数的代数形式: 复数的实部 、虚部 虚数、纯虚数 复数相等

3.复数的分类:

m ? ?2 2


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