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【步步高】2015届高考数学总复习 第十一章 11.3变量间的相关关系、统计案例课件 理 北师大版


数学

北(理)

§11.3 变量间的相关关系、 统计案例
第十一章 统计、统计案例

基础知识·自主学习
要点梳理
1.相关性 (1)通常将变量所对应的点描出来, 这些点就组成了变量之间的一 个图,通常称这种图为变量之间的 散点图 . (2)从散点图上,如果变量之间存在某种关系,这些点

会有一个集 中的大致趋势,这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似,这 样的近似过程称为 曲线拟合 . (3)若两个变量 x 和 y 的散点图中,所有点看上去都在一条直线附 近波动,则称变量间是线性相关 ,若所有点看上去都在某条曲 线(不是一条直线)附近波动,称此相关是非线性相关 .如果所有 的点在散点图中没有显示 任何 关系,则称变量间是 不相关 .
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基础知识·自主学习
要点梳理
2.回归方程 (1)最小二乘法 如果有 n 个点(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn),可以用[y1 -(a+bx1)]2+[y2-(a+bx2)]2+…+[yn-(a+bxn)]2 来刻画 这些点与直线 y=a+bx 的接近程度,使得上式达到最小 值的直线 y=a+bx 就是所要求的直线,这种方法称为最 小二乘法.
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基础知识·自主学习
要点梳理
(2)回归方程 方程 y=bx+a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据 (x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)的回归方程,其中 a,b 是待 定参数.
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基础知识·自主学习
要点梳理
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3.回归分析 (1)定义: 对具有 相关关系 一种常用方法. (2)样本点的中心 对于一组具有线性相关关系的数据(x1,y1),(x2,y2),?, (xn,yn)中 ( x , y ) 称为样本点的中心. 的两个变量进行统计分析的

基础知识·自主学习
要点梳理
(3)相关系数 ① r=
i=1 n

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∑ ?xi- x ??yi- y ?
n i=1

n

∑ ?xi- x ?2∑ ?yi- y ?2
i=1 n



i=1 n

∑xiyi-n x y
n



2 2 2 ?∑x2 i -n x ??∑yi -n y ? i=1 i=1

②当 r>0 时,表明两个变量 正相关 ; 当 r<0 时,表明两个变量 负相关 . r 的绝对值越接近于 1,表明两个变量的线性相关性 越强 .r 的 绝对值越接近于 0, 表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.

基础知识·自主学习
要点梳理
4.独立性检验 设 A,B 为两个变量,每一个变量都可以取两个值, 变量 A:A1,A2= A 1;变量 B:B1,B2= B 1; 2×2 列联表: B A A1 A2 总计 B1 a c a+ c B2 b d b+d 总计 a+ b c+d n=a+b+c+d
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基础知识·自主学习
要点梳理
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构造一个随机变量 n?ad-bc?2 χ2= ?a+b??c+d??a+c??b+d? . 利用随机变量 χ2 来判断“两个分类变量有关系”的方法称 为独立性检验.

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1) × (2) √ (3) √ (4) × (5) √ (6) ×

解析

C D
有关

D

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

相关关系的判断
5 个学生的数学和物理成绩如下表: 学生 学科 数学 物理 A 80 70 B 75 66 C 70 68 D 65 64 E 60 62

画出散点图,并判断它们是否具有相关关系.

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

相关关系的判断
5 个学生的数学和物理成绩如下表: 学生 学科 数学 物理 A 80 70 B 75 66 C 70 68 D 65 64 E 60 62

画出散点图,并判断它们是否具有相关关系. 思维启迪 将每个学生的数学成绩和物理成绩分别作为

点的横坐标和纵坐标,作散点图,然后根据散点图判断 两个变量是否存在相关关系.

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】


相关关系的判断
5 个学生的数学和物理成绩如下表:

学生 以 x 轴表示数学成绩, y 轴表示物理成绩,可得到相应 A B C D E 学科 的散点图如图所示. 数学 物理 80 70 75 66 70 68 65 64 60 62

画出散点图,并判断它们是否具有相关关系.

由散点图可知,各组数据对应点大致在一条直线附近,所以 两者之间具有相关关系,且为正相关.

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

相关关系的判断
5 个学生的数学和物理成绩如下表: 学生 学科 数学 物理 A 80 70 B 75 66 C 70 68 D 65 64 E 60 62

画出散点图,并判断它们是否具有相关关系.
思维升华 判断变量之间有无相关关系,一种简便可行的方 法就是绘制散点图,根据散点图很容易看出两个变量之间是 否具有相关性,是不是存在线性相关关系,是正相关还是负 相关,相关关系是强还是弱.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)对变量 x,y 有观测数据(xi,yi)(i=1,2,?,10),得 ( C )

散点图①;对变量 u,v 有观测数据(ui,vi)(i=1,2,?,10),得散点 图②,由这两个散点图可以判断

A.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 B.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 C.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 D.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关

题型分类·深度剖析
(2)(2012· 课标全国)在一组样本数据(x1, y1), (x2, y2), ?, (xn, yn)(n≥2, x1, x2, ?, xn 不全相等)的散点图中, 若所有样本点(xi, yi)(i=1,2, ?, 1 n)都在直线 y= x+1 上,则这组样本数据的样本相关系数为( D ) 2 1 A.-1 B. 0 C. D.1 2

解析 样本点都在直线上时,其数据的估计值与真实值是相等的,
n



^ yi=yi,代入相关系数公式

i=1

?
n

?yi-yi?2 =1.

^

r=

1-

i=1

? ?yi- y ?2

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

线性回归分析
某车间为了制定工时定额,需要确定加工零件所花费的 零件的个数 x(个) 加工的时间 y(小时) 2 2.5 3 3 4 4 5 4.5

时间,为此做了四次试验,得到的数据如下:

(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;

(2)求出 y 关于 x 的线性回归方程 y=bx+a, 并在坐标系中画出回 归直线; (3)试预测加工 10 个零件需要多少小时?

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

线性回归分析
某车间为了制定工时定额,需要确定加工零件所花费的 零件的个数 x(个) 加工的时间 y(小时) 2 2.5 3 3 4 4 5 4.5

时间,为此做了四次试验,得到的数据如下:

(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;

(2)求出 y 关于 x 的线性回归方程 y=bx+a, 并在坐标系中画出回

思维启迪

求线性回归方程的系数b时,为防止出错,应

^

分别求出公式中的几个量,再代入公式. 归直线;
(3)试预测加工 10 个零件需要多少小时?

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

线性回归分析
某车间为了制定工时定额,需要确定加工零件所花费的 2 2.5 3 3 4 4 5 4.5

时间,为此做了四次试验,得到的数据如下:



零件的个数 x(个) (1)散点图如图. 加工的时间 y(小时)

(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;

(2)由表中数据得: ?xiyi=52.5,
(2)求出 y 关于 x 的线性回归方程 y=bx+a, 并在坐标系中画出回 4
i=1

4

x =3.5, y =3.5, ?xi =54, 归直线;
2 i=1

(3)试预测加工 10 个零件需要多少小时?

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

线性回归分析
某车间为了制定工时定额,需要确定加工零件所花费的 2 2.5 3 3 4 4 5 4.5

时间,为此做了四次试验,得到的数据如下: 零件的个数 (个) ∴b=0.7, ∴a=1.05x , 加工的时间 y(小时)

(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;

∴y=0.7x+1.05,回归直线如图所示.

(2)求出 y 关于 x 的线性回归方程 y=bx+a, 并在坐标系中画出回 归直线; (3)试预测加工 10 个零件需要多少小时?

(3)将 x=10 代入回归直线方程,得 y=0.7×10+1.05=8.05,

故预测加工 10 个零件约需要 8.05 小时.

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

线性回归分析
某车间为了制定工时定额,需要确定加工零件所花费的 零件的个数 x(个) 加工的时间 y(小时) 2 2.5 3 3 4 4 5 4.5

时间,为此做了四次试验,得到的数据如下:

(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;

思维升华 ( x , y ).

(1)线性回归方程 y=bx+a 必过样本点的中心

(2)在分析两个变量的相关关系时, 可根据样本数据作出散
(2) 求出 y 关于 x 的线性回归方程 y=bx+a, 并在坐标系中画出回 点图来确定两个变量之间是否具有相关关系,若具有线性 归直线;

相关关系,则可通过线性回归方程估计和预测变量的值.

(3)试预测加工 10 个零件需要多少小时?

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打

篮球时间之间的关系, 下表记录了小李某月 1 号到 5 号每 天打篮球时间 x(单位:小时)与当天投篮命中率 y 之间的 关系: 时间 x 命中率 y 1 0.4 2 0.5 3 0.6 4 0.6 5 0.4

小李这 5 天的平均投篮命中率为________; 用线性回归分 析的方法, 预测小李该月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率 为________.

题型分类·深度剖析
解析 小李这 5 天的平均投篮命中率
0.4+0.5+0.6+0.6+0.4 y= =0.5,可求得小李这 5 天的平均打篮球 5 时间 x =3.

根据表中数据可求得 b=0.01,a=0.47,
故线性回归方程为 y=0.47+0.01x,
将 x=6 代入得 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率约为 0.53.

答案

0.5

0.53

题型分类·深度剖析
题型三 独立性检验
【例 3】 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助, 用简单随 机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人,结果如下: 性别 是否需要志愿者 需要 不需要 男 40 160 女 30 270

(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例. (2)能否有 99.5%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供 帮助与性别有关? (3)根据(2)的结论,能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年 人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例?说明理由.

题型分类·深度剖析
题型三 独立性检验
【例 3】 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助, 用简单随 机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人,结果如下: 性别 是否需要志愿者 需要 不需要 男 40 160 女 30 270

(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例. (2)能否有 99.5%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供 帮助与性别有关?

思维启迪 直接计算 χ 的值,然后利用表格下结论. (3) 根据(2)的结论,能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年
人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例?说明理由.

2

题型分类·深度剖析
题型三 独立性检验
【例 3】 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助, 用简单随 机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人,结果如下:



(1)调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助,
性别

男 女 是否需要志愿者 因此该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例 70 需要 40 30 的估计值为500×100% =14%. 不需要 160 270 2 500 × ? 40 × 270 - 30 × 160 ? (1) 估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例. (2) χ2= ≈9.967. 200×300×70×430 (2)能否有 99.5%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供 帮助与性别有关? 由于 9.967>6.635,所以有 99%的把握认为该地区的老年人是 (3)根据(2)的结论,能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年 否需要帮助与性别有关. 人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例?说明理由.

题型分类·深度剖析
题型三 独立性检验
【例 3】 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助, 用简单随 机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人,结果如下: 性别 是否需要志愿者 男 女

需要 40 30 (3)由(2)的结论知,该地区老年人是否需要帮助与性别有关, 不需要 160 270 并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需 (1) 估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例. 要帮助的比例有明显差异, (2)能否有 99.5%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供 因此在调查时,先确定该地区老年人中男、女的比例,再把 帮助与性别有关? 老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法,比采用简单随 (3)根据(2)的结论,能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年 机抽样方法更好. 人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例?说明理由.

题型分类·深度剖析
题型三 独立性检验
【例 3】 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助, 用简单随 机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人,结果如下: 性别 是否需要志愿者 男 女

需要 40 30 (1) 根据样本估计总体是抽样分析的一个重要内 不需要 160 270 容.要使估计的结论更加准确,抽样取得的样本很关键.

思维升华

(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例. (2) 能否有 99.5%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供 (2) 根据独立性检验知,需要提供服务的老人与性别有关,因 帮助与性别有关? 此在调查时,采取男、女分层抽样的方法更好,从而看出独 (3) 根据(2)的结论,能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年 立性检验的作用. 人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例?说明理由.

题型分类·深度剖析

跟踪训练 3

某中学对“学生性别和是否喜欢看 NBA 比赛”

作了一次调查,其中男生人数是女生人数的 2 倍,男生喜欢看 5 NBA 的人数占男生人数的 ,女生喜欢看 NBA 的人数占女生 6 1 人数的 . 3 (1)若被调查的男生人数为 n, 根据题意建立一个 2×2 列联表; (2)若有 95%的把握认为是否喜欢看 NBA 和性别有关, 求男生 至少有多少人?

题型分类·深度剖析
解 (1)由已知得: 喜欢看 NBA 5n 6 n 6 n 不喜欢看 NBA n 6 n 3 n 2 总计 n n 2 3n 2

男生 女生 总计

3n 5n n n n 2 ?6· -6· ? 2 3 6 3 2 (2)χ = =8n. nn n· n 2· 2·

题型分类·深度剖析

若有 95%的把握认为是否喜欢看 NBA 和性别有关,
3 则 χ >3.841,即8n>3.841,n>10.24.
2

n n ∵2,6为整数,∴n 最小值为 12.

即:男生至少 12 人.

题型分类·深度剖析
思想与方法系列18
如表所示: 年收入 x(万元) 年饮食支 出 y(万元) 2 0.9 4 4 6 6 2.1 6 1.9 7 7 8 10

统计中的数形结合思想

典例:(12 分)某地 10 户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料

1.4 1.6 2.0

1.8 2.1 2.2 2.3

(1)根据表中数据,确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系; (2)如果某家庭年收入为 9 万元,预测其年饮食支出.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
思想与方法系列18
思 维 启 迪

统计中的数形结合思想
规 范 解 答 温 馨 提 醒

可以画出散点图, 根据图中点的分布判断家庭年收入和年饮 食支出的线性相关性.

题型分类·深度剖析
思想与方法系列18
思 维 启 迪

统计中的数形结合思想
规 范 解 答 温 馨 提 醒



(1)由题意,知年收入 x 为解释变量,年饮食支出 y 为预报

变量,作散点图如图所示.

3分

从图中可以看出,样本点呈条状分布,年收入和年饮食支 出有比较好的线性相关关系,因此可以用线性回归方程刻 画它们之间的关系.
4分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列18
思 维 启 迪

统计中的数形结合思想
规 范 解 答 温 馨 提 醒
10

10 2 因为 x =6, y =1.83, xi =406, yi2=35.13, i=1 i=1 10

?

?

i=1

?xiyi=117.7,
10 i=1

?xiyi-10 x y
2 - 10 x ?x2 i 10

所以 b=

≈0.172,

i=1

a= y -b x ≈1.83-0.172×6=0.798.
从而得到线性回归方程为 y=0.172x+0.798.
8分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列18
思 维 启 迪

统计中的数形结合思想
规 范 解 答 温 馨 提 醒

(2)y=0.172×9+0.798=2.346(万元). 所以家庭年收入为 9 万元时, 可以预测年饮食支出为 2.346 万元.
12分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列18
思 维 启 迪

统计中的数形结合思想
规 范 解 答 温 馨 提 醒

(1)在统计中,用样本的频率分布表、频率分布直方图、统计图表中的茎 叶图、折线图、条形图,去估计总体的相关问题,以及用散点图判断相 关变量的相关性等都体现了数与形的完美结合.借助于形的直观,去统 计数据,分析数据,无不体现了数形结合的思想.
(2)本题利用散点图分析两变量间的相关关系,充分体现了数形结合思想的 应用.
(3)本题易错点为散点图画的不准确,导致判断错误.

思想方法·感悟提高

方 法 与 技 巧

1.求回归方程,关键在于正确求出系数 a,b,由 于 a,b 的计算量大,计算时应仔细谨慎,分层 进行,避免因计算而产生错误.(注意线性回归 方程中一次项系数为 b,常数项为 a,这与一次 函数的习惯表示不同.)

思想方法·感悟提高

2.回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法.主要

方 法 与 技 巧

解决:(1)确定特定量之间是否有相关关系,如果有就 找出它们之间贴近的数学表达式; (2)根据一组观察值,预测变量的取值及判断变量取值 的变化趋势; (3)求出线性回归方程.
3.根据 χ2 的值可以判断两个分类变量有关的可信程度.

思想方法·感悟提高

失 误 与 防 范

1.相关关系与函数关系的区别:相关关系与函数关系 不同.函数关系中的两个变量间是一种确定性关 系.例如正方形面积 S 与边长 x 之间的关系 S=x2 就是函数关系.相关关系是一种非确定性关系,即 相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.例 如商品的销售额与广告费是相关关系.两个变量具 有相关关系是回归分析的前提.

思想方法·感悟提高

失 误 与 防 范

2.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统 计分析的方法,只有在散点图大致呈线性时, 求出的线性回归方程才有实际意义,否则,求 出的线性回归方程毫无意义.根据回归方程进 行预报,仅是一个预报值,而不是真实发生的 值.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1.某地区调查了 2~9 岁的儿童的身高,由此建立的身高 y(cm)与年龄 x(岁)的回归模型为 y=8.25x+60.13, 下列 叙述正确的是 A.该地区一个 10 岁儿童的身高为 142.63 cm B.该地区 2~9 岁的儿童每年身高约增加 8.25 cm C.该地区 9 岁儿童的平均身高是 134.38 cm D.利用这个模型可以准确地预算该地区每个 2~9 岁 儿童的身高 ( B )

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

2.设(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)是变量 x 和 y 的 n 个样本点, 直线 l 是由这些样本点 通过最小二乘法得到的线性回归直线(如 图),以下结论中正确的是 A.直线 l 过点( x , y ) B.x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 C.x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 D.当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 ( )

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

解析

因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关

系的一个值,它的绝对值越接近 1,两个变量的线性相关程 度越强,所以 B、C 错误.
D 中 n 为偶数时, 分布在 l 两侧的样本点的个数可以不相同, 所以 D 错误.
根据线性回归直线一定经过样本点中心可知 A 正确.
答案 A

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

3.(2012· 湖南)设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位: cm)具有线性相关关系, 根据一组样本数据(xi, yi)(i=1,2, ?, n),用最小二乘法建立的回归方程为 y=0.85x-85.71,则下 列结论中不正确 的是 ( ) ... A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( x , y ) C. 若该大学某女生身高增加 1 cm, 则其体重约增加 0.85 kg D.若该大学某女生身高为 170 cm,则可断定其体重必为 58.79 kg

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

解析 由于线性回归方程中 x 的系数为 0.85, 因此 y 与 x 具有正的线性相关关系,故 A 正确.
又线性回归方程必过样本点中心( x , y ),因此 B 正确.
由线性回归方程中系数的意义知,x 每增加 1 cm,其体重约 增加 0.85 kg,故 C 正确.
当某女生的身高为 170 cm 时,其体重估计值是 58.79 kg,而 不是具体值,因此 D 不正确.

答案 D

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

4.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动, 得到如下的列联表: 男 爱好 不爱好 40 20 女 20 30 总计 60 50 110

总计 60 50 2 110 × ? 40 × 30 - 20 × 20 ? χ2= ≈7.8. 60×50×60×50

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

下面结论正确的是

(

)

A.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运 动与性别有关” D.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运 动与性别无关”

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

解析

根据独立性检验的定义, 由 χ2≈7.8>6.635 可知

我们有 99%以上的把握认为 “爱好该项运动与性别 有关”,故选 A.
答案 A

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

5.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54

根据上表可得线性回归方程 y=bx+a 中的 b 为 9.4, 据此模 型预报广告费用为 6 万元时销售额为 A.63.6 万元 C.67.7 万元 B.65.5 万元 D.72.0 万元 ( )

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

4+2+3+5 7 49+26+39+54 解析 ∵ x = = ,y= =42, 4 2 4

又 y=bx+a 必过( x , y ), 7 ∴42=2×9.4+a,∴a=9.1. ∴线性回归方程为 y=9.4x+9.1. ∴当 x=6 时,y=9.4×6+9.1=65.5(万元).
答案 B

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

6.以下四个命题,其中正确的序号是________. ①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 20 分钟从中抽 取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样; ②两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于 1 ; ③在线性回归方程 y=0.2x+12 中,当解释变量 x 每增加一个 单位时,预报变量 y 平均增加 0.2 个单位; ④对分类变量 X 与 Y,它们的随机变量 χ2 来说,χ2 越小,“X 与 Y 有关系”的把握程度越大.

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1 2 3

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4

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解析

①是系统抽样;

对于④,随机变量 χ2 越小,说明两个相关变量有关系的把握 程度越小.
答案 ②③

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7. 已知回归方程 y=4.4x+838.19,则可估计 x 与 y 的增长速度
5∶22 . 之比约为________

解析

x 每增长 1 个单位,y 增长 4.4 个单位,故增长的速度

之比约为 1∶4.4=5∶22.
事实上所求的比值为回归直线方程斜率的倒数.

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8.某数学老师身高 176 cm,他爷爷、父亲和儿子的身高 分别是 173 cm、 170 cm 和 182 cm.因儿子的身高与父亲 的身高有关, 该老师用线性回归分析的方法预测他孙子 的身高为________ cm.

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解析

儿子和父亲的身高可列表如下: 父亲身高 儿子身高 173 170 170 176 176 182

设线性回归方程为 y=a+bx,由表中的三组数据可求得 b= 1,故 a= y -b x =176-173=3,
故线性回归方程为 y=3+x,将 x=182 代入得孙子的身高为 185 cm.
答案
185

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9.某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:mm) 的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品. 从两个分厂生产的零件 中各抽出了 500 件,量其内径尺寸,得结果如下表: 甲厂:
分组 频数 [29.86, [29.90, 29.90) 12 29.94) 63 [29.94, 29.98) 86 [29.98, 30.02) 182 [30.02, 30.06) 92 [30.06, 30.10) 61 [30.10, 30.14) 4

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乙厂:
分组 频数 [29.86, [29.90, [29.94, [29.98, [30.02, [30.06, [30.10, 29.90) 29 29.94) 71 29.98) 85 30.02) 159 30.06) 76 30.10) 62 30.14) 18

(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率; (2)由以上统计数据填下面 2×2 列联表,问是否有 99%的把握 认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”?

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甲厂 优质品 非优质品 合计 2 n ? ad - bc ? 附 χ2= , ?a+b??c+d??a+c??b+d?

乙厂

合计

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(1)甲厂抽查的 500 件产品中有 360 件优质品,从而估计 360 甲厂生产的零件的优质品率为 =72%; 500

乙厂抽查的 500 件产品中有 320 件优质品,从而估计乙厂生 320 产的零件的优质品率为500=64%.

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(2)完成的 2×2 列联表如下: 甲厂 优质品 非优质品 合计 360 140 500 乙厂 320 180 500 合计 680 320 1 000

由表中数据计算得 2 1 000 × ? 360 × 180 - 320 × 140 ? χ2= ≈7.35>6.635, 500×500×680×320
所以有 99% 的把握认为 “ 两个分厂生产的零件的质量有差 异”.

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10.(2013· 重庆)从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭 的月收入 xi(单位:千元)与月储蓄 yi(单位:千元)的数据资料, 算得 ?xi=80, ?yi=20, ?xiyi=184, ?x2 i =720.
i=1 i=1 i=1 i=1 10 10 10 10

(1)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y=bx+a; (2)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (3)若该居民区某家庭月收入为 7 千元, 预测该家庭的月储蓄.

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1 2 3

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1n 80 (1)由题意知 n=10, x =n ?xi= =8, 10 i=1

1n 20 y =n ?yi=10=2, i=1
2 2 又 lxx= ?x2 i -n x =720-10×8 =80, i=1 n

lxy= ?xiyi-n x y =184-10×8×2=24,
i=1

n

lxy 24 由此得 b= = =0.3, lxx 80

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5 6 7 8 9 10

a= y -b x =2-0.3×8=-0.4, 故所求线性回归方程为 y=0.3x-0.4.
(2)由于变量 y 的值随 x 值的增加而增加(b=0.3>0),故 x 与 y 之间是正相关.
(3)将 x=7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 y=0.3×7-0.4=1.7(千元).

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B组

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3 4 5 6

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1 2

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3 4 5 6

1.下列说法: ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后, 方 差恒不变; ②设有一个回归方程 y=3-5x,变量 x 增加一个单位时,y 平均增加 5 个单位; ③回归方程 y=bx+a 必过( x , y ); ④有一个 2×2 列联表中,由计算得 χ2=13.079,则有 99% 的把握确认这两个变量间有关系. 其中错误的个数是 A.0 B. 1 C.2 D.3 ( )

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1 2

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解析

一组数据都加上或减去同一个常数,数据的平均数有

变化,方差不变(方差是反映数据的波动程度的量),①正确;
回归方程中 x 的系数具备直线斜率的功能,对于回归方程 y= 3-5x,当 x 增加一个单位时,y 平均减少 5 个单位,②错误;
由线性回归方程的定义知, 线性回归方程 y=bx+a 必过点( x , y ),③正确;

因为 χ2=13.079>6.635,故有 99%的把握确认这两个变量有关 系,④正确.故选 B.
答案
B

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1 2

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2.(2013· 福建)已知 x 与 y 之间的几组数据如下表: x y 1 0 2 2 3 1 4 3 5 3 6 4

假设根据上表数据所得线性回归方程 y=bx+a,若某 同学根据上表中的前两组数据 (1,0) 和 (2,2) 求得的直线 方程为 y=b′x+a′,则以下结论正确的是 A.b>b′,a>a′ C.b<b′,a>a′ B.b>b′,a<a′ D.b<b′,a<a′ ( )

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1 2

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3 4
6

5

6

i=1

? ?xi- x ??yi- y ?
求得.
i=1

解析

b′=2,a′=-2,由公式 b=

? ?xi- x ?2

6

5 13 5 7 1 b= ,a= y -b x = - × =- , 7 6 7 2 3
∴b<b′,a>a′.选 C.
答案
C

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3.有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于 85 分为优 秀,85 分以下非优秀统计成绩,得到如下所示的列联表: 优秀 非优秀 总计 甲班 乙班 合计 2 已知在全部 105 人中随机抽取 1 人,成绩优秀的概率为 , 7 则下列说法正确的是 ( ) 10 c b 30

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A.列联表中 c 的值为 30,b 的值为 35 B.列联表中 c 的值为 15,b 的值为 50 C.根据列联表中的数据,若按 95%的可靠性要求,能认 为“成绩与班级有关系” D.根据列联表中的数据,若按 95%的可靠性要求,不能 认为“成绩与班级有关系”

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解析 由题意知,成绩优秀的学生数是 30,成绩非优秀的学 生数是 75,
所以 c=20,b=45,选项 A、B 错误.
2 105 × ? 10 × 30 - 20 × 45 ? 根 据 列 联 表 中 的 数 据 , 得 到 χ2 = 55×50×30×75

≈6.6>3.841,

因此有 95%的把握认为“成绩与班级有关系”.
答案
C

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4. 某车间为了规定工时定额, 需要确定加工零件所花费的时间, 为此进行了 5 次试验.根据收集到的数据(如下表),由最小 二乘法求得回归方程 y=0.67x+54.9. 零件数 x(个) 加工时 间 y(min) ________. 10 62 20 30 75 40 81 50 89

现发现表中有一个数据看不清,请你推断出该数据的值为

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解析

由已知可计算求出 x =30,而必过点( x , y ),

则 y =0.67×30+54.9=75,设模糊数字为 a,
a+62+75+81+89 则 =75,计算得 a=68. 5

答案

68

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5.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对该班 50 名 学生进行了问卷调查,得到了如下的 2×2 列联表: 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 总计 男生 女生 总计 数表示). 20 10 30 5 15 20 25 25 50

则有________的把握认为喜爱打篮球与性别有关(请用百分

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解析

2 n ? ad - bc ? χ2= ?a+b??c+d??a+c??b+d?

50×?20×15-5×10?2 = ≈8.333>6.635, 25×25×30×20

所以有 99%的把握认为喜爱打篮球与性别有关.

答案 0.5%

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6.(2013· 福建)某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名, 25 周岁以下工人 200 名.为研究工人的日平均生产量是否 与年龄有关, 现采用分层抽样的方法, 从中抽取了 100 名工 人, 先统计了他们某月的日平均生产件数, 然后按工人年龄 在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁以下”分为两 组,再将两组工人的日平均生产件数分成 5 组:[50,60), [60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分别加以统计,得到如 图所示的频率分布直方图.

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(1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人, 求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的概率; (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”,请你 根据已知条件完成 2×2 列联表,并判断是否有 90%的把握认 为“生产能手与工人所在的年龄组有关”? P(χ2≥k) k 0.100 2.706 0.050 3.841 0.010 6.635

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(1)由已知得,样本中有 25 周岁以上组工人 60 名,25 周岁

以下组工人 40 名.
所以, 样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中, 25 周岁以上 组工人有 60×0.05=3(人),记为 A1,A2,A3;

25 周岁以下组工人有 40×0.05=2(人),记为 B1,B2.
从中随机抽取 2 名工人, 所有的可能结果共有 10 种, 它们是(A1, A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2, B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).

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B组

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其中, 至少有 1 名“25 周岁以下组”工人的可能结果共有 7 种, 它们是(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3, B2),(B1,B2).

7 故所求的概率 P=10.
(2)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 名工人中,“25 周岁 以上组”中的生产能手 60×0.25=15(人),“25 周岁以下组” 中的生产能手 40×0.375=15(人),据此可得 2×2 列联表如下:

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1 2

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生产能手 25 周岁以上组 25 周岁以下组 合计 15 15 30

非生产能手 45 25 70

合计 60 40 100

2 n ? ad - bc ? 所以得 χ2= ?a+b??c+d??a+c??b+d?

100×?15×25-15×45?2 25 = =14≈1.79. 60×40×30×70

因为 1.79<2.706.
所以没有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.


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