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1.2 充分条件与必要条件-王后雄学案


张喜林制 1 1.2 充分条件与必要条件 教材知识检索 考点知识清单 1.“若 p,则 q”为真命题,它是指当 p 成立时,q 一定成立,换句话说,p 成立可以 ① ,即 p ? q ,此时我们称 p 是 q 的充分条件. 2.“若 p,则 q”为真命题是指:当 p 成立时, ② ,即 q ? p ,q 必须成立,我们称 q 是 p . 的必要条件. 3.若 p ? q

,且 q ? p ,则 p ? q ,就说 p 是 q 的 ③ ,简称充要条件,那么 q 也是 p 的 ④ 要点核心解读 一、概念 “若 p,则 q”为真命题指当 p 成立时,q 一定也成立,换句话说,p 成立可以推出 q 成立,在这种情 况下,记作 p ? q ,并把 p 叫做命题 q 的充分条件,q 叫做 p 的必要条件. p ? q 可以理解为一旦 p 成 立,q 一定也成立,即 P 对于 q 的成立是充分的;换个角度思考,一旦 q 不成立,p 一定也不成立,即 q 对于 p 的成立是必要的. 当命题“若 p,则 q”为假命题时,记 p不能推出 q .在这种情况下,p 是 q 的不充分条件,q 是 p 的不必要条件. 例如: “若 a=b, 则 a 2 ? b 2 , , 是真命题, 可写成 a ? b ? a ? b .a ? b 叫做 a ? b 的一个充分条件, 2 2 2 2 a 2 ? b 2 是 a=b 的一个必要条件.而“若 a 2 ? b 2 , 则 a=b”是假命题,可写成 a 2 ? b 2 ? a ? b, a 2 ? b 2 是 a=b 的一个不充分条件,a=b 是 a ? b 的一个不必要条件. 2 2 如果对两个命题 p 和 q,既有 p ? q ,又有 q ? p ,就记作 p ? q .这时,p 既是 q 的充分条件, 又是 q 的必要条件,就叫做 p 是 q 的充分必要条件,简称充要条件.p 是 q 的充分必要条件指 p 成立 当且仅当 q 成立.在这种情况下,命题 p 和命题 q 称为两个互相等价的命题.两个互相等价的命题通常是 对同一事物从不同角度所作的描述. 例如,p:两个三角形的两角夹边对应相等,q:两个三角形的三边分别对应相等,pQq.事实上,p 和 q 分别描述了两个三角形全等的条件. [联想] 充分条件、必要条件、充要条件在日常生活中就有很多这样的事件,借助它们,可以帮助我 们理解这些概念.如:在下面电路图中,闭合开关 A 是灯泡 B 亮的什么条件? 1 / 10 张喜林制 2 [解析] 若 p ? q ,则称 p 是 q 的充分条件,同时 q 是 p 的必要条件,当我们把闭合开关 A 称为条 件 p,而把灯泡 B 亮称为结论 q 时,结合简单的电路学知识,就可以得到答案, 图 1-2 -1 甲,闭合开关 A 或闭合开关 C,都可以使灯泡 B 亮.反之,若要灯泡 B 亮,不一定非要闭合 开关 A,因此,闭合开关 A 是灯泡 B 亮的充分而不必要条件. 图 1-2 -1 乙,闭合开关 A 而不闭合开关 C,灯泡 B 不亮,反之,若要灯泡 B 亮,开关 A 必须闭合,说 明闭合开关 A 是灯泡 B 亮的必要而不充分条件. 图 1-2 -1 丙,闭合开关 A 可使灯泡 B 亮,而灯泡 B 亮,开关 A-定是闭合的,因此,闭合开关 A 是灯 泡 B 亮的充要条件.图 1-2 -1 丁,灯泡 B 亮否与开关 A 的闭合无关,闭合开关 A 是灯泡 B 亮的既不充分 也不必要条件, 二、充分条件、必要条件、充要条件