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上海市闸北区2014届高三5月模拟考试(三模)数学文试题


闸北区 2013-2014 学年高三年级五月考试 数 学 试 卷(文科)
考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸上将学校、姓名及准考证号等填写清楚,并在规定的区域内 贴上条形码.答题时客观题用 2B 铅笔按要求涂写,主观题用黑色水笔填写. 2.本试卷共有 23 道题,共 4 页.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 3.考试后只交答题纸,试卷由考生自己保留.

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一. 填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.
1.

函数 f ( x) ? sin 2 x 的最小正周期为 T ?

π

,

2. 函数 y ? log2 ( x ? 1) 的反函数为____ y ? 2 x ? 1, x ? R ___
2 3. 已知集合 A ? {x x ? 1 ? 1, x ? R} , B ? {x x ? 4 x ? 3 ? 0} ,则 A ? B =___ (1,2) __

4. 已知 cos x ?

sin x cosx 3 π 7 , x ? (? ,0) , 则 =____ ? ____ 5 5 2 1 1

5.

设 i 是 虚 数 单 位 , 复 数 1 ? i 为 方 程 x 2 ? 2x ? m ? 0(m ? R) 的 一 个 根 , 则

m =____2_____. 1 6 2 6. (x ? ) 的展开式中 x 的系数为________15_____. (用数字作答) x
7.

?y ? x ?1 ? 设实数 x , y 满足不等式组 ? y ? x ? 1 ,则目标函数 k ? 2 x ? y 的最大值为___2_______. ?y ? 0 ?
从 4 名男同学和 3 名女同学中随机选出 3 人参加演讲比赛,则男女同学都被抽到的概率 为______

8.

6 ___ (用数字作答) 7

9.

某圆锥体的侧面展开图是半圆,当侧面积是 2π 时,则该圆锥体的体积是

3 π 3
a, b, c
,



10. 已



ΔABC







A, B, C















π (c ? b)(sin C ? sin B) ? (c ? a) sin A , 则 B ? ____ ___ 3
11. 已知一个正三棱柱的所有棱长均等于 2,它的俯视图是一个边长为 2 的正三角形,那么 它的左视图面积的最小值是____ 2 3 ____.

12. 对于正项数列 ?a n ?,定义 H n ?

n 为 ?a n ?的“光阴”值,现知 a1 ? 2a 2 ? 3a3 ? ? ? nan 1 某 数 列 的 “ 光 阴 ” 值 为 Hn ? , 则 数 列 ?a n ? 的 通 项 公 式 为 n?2 1 * ____ an ? 2 ? , n ? N ______ n
1 x2 ,0)( n ? N * ) 且方向向量为 ? y 2 ? 1 于 An , Bn 两点, 的直线交椭圆 ( 2,1 ) n 4
n??

( 2? 13. 过点

记原点为 O , ΔOAn Bn 面积为 S n ,则 lim S n ? ____1____ 14. 将正整数 1, 2,3, 4,

, n2 ( n ? 2 )任意排成 n 行 n 列的数表.对于某一个数表,计算各
a ,称这些比值中的最小值为这个数表 b

行和各列中的任意两个数 a , b ( a ? b )的比值

的“特征值”,若 aij 表示某个 n 行 n 列数表中第 i 行第 j 列的数( 1 ? i ? n ,1 ? j ? n ) , 且满足 aij ? ?
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?i ? ( j ? i ? 1)n, i ? j, 4 ,当 n ? 3 时数表的“特征值”为___ ______ 3 ?i ? (n ? i ? j ? 1)n,i ? j,

二. 选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答题纸 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分 15. 执行如图所示的程序框图.若输入 x ? 3 ,则输出 k 的值是( C ) A. 3 C. 5 B. 4 D. 6 输入 x
开始

16. 某高中学校采用系统抽样方法,从该校全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健 康检查。现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号,求得间隔数 k =

800 =16,即每 50

k ?0
x ? x?5
k ? k ?1

16 人抽取一个人。在 1~16 中随机抽取一个数,如果抽到的是 7,则从 33 ~ 48 这 16 个数中应取的数是( B ) A. 40. B.39. C.38. D.37.

17. 已知 F1 , F2 为双曲线 C : x 2 ? y 2 ? 2 的左右焦点, 点 P 在 C 上,| PF 1 |? 2 | PF 2 |, 则 cos ?F 1PF2 ? A. ( D B. )

x ? 24
C.



1 4

3 5

4 5

D.

3 4

是 输出 k

18. 函数 y ? f ( x) 的定义域为 [?2,0) ? (0,2] ,其图像上任一点 P( x, y) 都位于椭圆

结束

C:

x2 ? y 2 ? 1 上,下列判断①函数 y ? f ( x) 一定是偶函数;②函数 y ? f ( x) 可能 4

既不是偶函数,也不是奇函数;③函数 y ? f ( x) 可以是奇函数;④函数 y ? f ( x) 如果 是偶函数, 则值域是 [?1,0)或(0,1] ; ⑤函数 y ? f ( x) 值域是 (?1,1) , 则一定是奇函数。 其中正确的命题个数有( C )个 A 1 B 2 C 3

D 4

三. 解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分) 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 的 底 面 为 等 腰 直 角 三 角 形 , ?BAC ? 90 ,
?
A1

AB ? AC ? 2, AA1 ? 2 2 , E , F 分别是 BC, AA1 的中点。求异面直线 EF 和 A1 B 所成角的大小。
解:如图取 AB 中点 M ,连结 FM , EM , AE

B1 F

C1

A M

? F , M , E 分别为中点,? FM // A1 B
则 ?MFE 即异面直线 EF 和 A1 B 所成角(或补角)
B

E

C

+3 分 +7 分

EM ? 1, FM ?

1 2 2 ? (2 2 ) 2 ? 3 2

FE ? ( 2 ) 2 ? ( 2 ) 2 ? 2
+11 分

cos?MFE ?

4 ? 3 ?1 2? 2? 3

?

3 2

? ?MFE ? 30?
+12 分

? 异面直线 EF 和 A1 B 所成角大小为 30?

(说明:也可证 ME ? 平面 AA 1 B1 B ,从而得到 ?FME 为直角解直角三角形) 20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 7 分,第(2) 小题满分 7 分. 如图,某污水处理厂要在一正方形污水处理池 ABCD 内修建一个三角形隔离

D

Q

C P

区以投放净化物质,其形状为三角形 APQ ,其中 P 位于边 CB 上, Q 位于边
π

π CD 上 。 已 知 AB ? 20 米 , ?PAQ ? , 设 ?PAB ? θ , 记 6

6

f (θ ) ?

正方形ABCD面积 ,当 f (θ ) 越大,则污水净化效果越好。 ΔPAQ面积

A

θ

B

(1)求 f (θ ) 关于的函数解析式,并求定义域;

(2)求 f (θ ) 最大值,并指出等号成立条件? 解: (1) 0 ? θ ?

AP ?

20 cos θ

π π π π π ? ?θ ? ,0 ? ?θ ? 4 3 4 12 4 20 +4 分 AQ ? π cos( ? θ ) 3

+2 分

S ΔAPQ ?

1 π 100 AP ? AQ sin ? 2 6 cosθ ? cos(π ? θ ) 3
400 100

+6 分

f (θ ) ?

π π π ( , ) +7 分 ? 4 cosθ ? cos( ? θ ) , θ ? 12 4 3

π cosθ ? cos( ? θ ) 3
(2) f (θ ) ? 2 cos θ ? 2 3 sin θ cos θ ? cos 2θ ? 3 sin 2θ ? 1 ? 2 sin( 2θ ?
2

π ) ? 1 +11 分 6

π π 2 π π π ? 2θ ? ? π 当 2θ ? ? 时,即 θ ? 时 f (θ ) max ? 3 3 6 3 6 2 6 π 答 :当 θ ? 时, f (θ ) 的最大值为 3. +14 分 6

+13 分

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 数列 {an } 的首项 a1 ? ?20, an ? an?1 ? 3n ? 54, n ? N * (1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 设 {an } 的前 n 项和为 S n ,求 S n 的最小值? 解: (1) a1 ? ?20, a2 ? ?31 则 an?2 ? an ? 3 +1 分 又 an?1 ? an?2 ? 3n ? 51, an ? an?1 ? 3n ? 54

即奇数项成等差,偶数项成等差 +3 分

?3k ? 23, n ? 2k ? 1 ? an ? ? (k ? N * ) ?3k ? 34, n ? 2k

43 ?3 n ? , n为奇数 ? ?2 2 +6 分 (或: ? a n ? ? ) ? 3 n ? 34, n为偶数 ? ?2
k (k ? 1) ? 6 ? 3(k ? 9) 2 ? 243 2

(2)当 n 为偶数,即 n ? 2k 时: S n ? ?51k ?

? Sn ? S18 ? ?243

+9 分

当 n 为奇数,即 n ? 2k ? 1 时: S n ? S 2 k ? a 2 k ? 3(k ?

19 2 3 ) ? 236 2 4

? S n ? S17 ? S19 ? ?236 ? (S n ) min ? S18 ? ?243

+12 分 +14 分

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题 5 分,第(3)小 题满分 7 分. 定 义 函 数 y ? f ( x), x ? D ( D 为 定 义 域 ) 图 像 上 的 点 到 坐 标 原 点 的 距 离 为 函 数 的

y ? f ( x), x ? D 的模。若模存在最大值,则称之为函数 y ? f ( x), x ? D 的长距;若模存在
最小值,则称之为函数 y ? f ( x), x ? D 的短距。 (1)判断函数 f 1 ( x) ? (2)判断函数 f 2 ( x) ?

1 是否存在长距与短距,若存在,请求出; x

? x 2 ? 4 x ? 5 是否存在长距与短距,若存在,请求出;
2 x x ? a 的短距不小于 2,求实数 a

(3)对于任意 x ? [1,2] 都存在实数 a 使得函数 f ( x) ? 的取值范围? (1)设 u ( x) ?

x2 ?

1 ? 2 (当且仅当 x ? ?1 取得等号)+2 分 x2
+4 分 +6 分

f1 ( x) 短距为 2 ,长距不存在。
(2)设 v( x) ?

x 2 ? (? x 2 ? 4 x ? 5) ? 5 ? 4 x , x ? [?5,1]

v( x)min ? v(1) ? 1

v( x)m a x? v(?5) ? 5
+9 分

+8 分

f 2 ( x) 短距为 1 ,长距为 5。
(3)设 h( x) ?
2

x 2 ? 2 x x ? a , x ? [1,2]

? 函数 f ( x) ? 2 x x ? a 的短距不小于 2

即 x ? 2x x ? a ? 4 对于 x ? [1,2] 始终成立:+10 分 当 a ? 2 时: a ?

1 4 5 ( x ? ) 对于 x ?[1,2] 始终成立 ? a ? 2 x 2
+13 分

+12 分

当 1 ? a ? 2 时:取 x ? a 即可知显然不成立 当 a ? 1 时: a ? 综上

1 4 1 (3 x ? ) 对于 x ?[1,2] 始终成立 ? a ? ? 2 x 2 1 5 a? (? ?,? ] ? [ ,?? ) +16 分 2 2

+15 分

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3) 小题满分 8 分 在平面直角坐标系 xOy 中, 原点为 O ,抛物线 C 的方程为 x 2 ? 4 y ,线段 AB 是抛物线 C 的一 条动弦。 (1)求抛物线准线方程和焦点坐标 F ; (2)若 OA ? OB ? ?4 ,求证:直线 AB 恒过定点; (3)当 AB ? 8 时,设圆 D : x 2 ? ( y ? 1) 2 ? r 2 (r ? 0) ,若存在且仅存在两条动弦 AB ,满足直 线 AB 与圆 D 相切,求半径 r 的取值范围?

解(1)准线方程: y ? ?1

+2 分

焦点坐标: F (0,1)

+4 分

(2)设直线 AB 方程为 y ? kx ? b , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

? y ? kx ? b 2 得 x ? 4kx ? 4b ? 0 ? 2 ?x ? 4 y
2

? x1 ? x2 ? 4k ?? ? x1 x2 ? ?4b
2

+6 分

OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ?
b?2

x1 x2 ? ?4 16

? x1 x2 ? ?8
+10 分

? ?4b ? ?8

+8 分

直线 y ? kx ? 2 过定点(0,2)
2

(3) AB ? 1 ? k

16 k 2 ? 16b ? 8

1 ? k 2 k 2 ? b ? 2 +12 分

d?

b ?1 1? k
4 ?t t3
2

?r

+14 分

r?

4 ? k 2 ?1 k ?1
2

k ?1
2

令 t ? k 2 ?1 ? 1

r?

当 1 ? t ? 2 时, r ?

4 ? t 单调递减, 0 ? r ? 3 t3
+16 分 +18 分

+15 分

当t ?

4 单调递增, r ? 0 t3 ?r ? 3 k 存在两解即 t 一解

2 时, r ? t ?


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