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山西省朔州市应县一中2014届高三补习班上学期第五次月考数学理试题 Word版含答案


一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分) 1.已知全集 A. ,集合 B. C. ,则 D. ( )

2.复数
A. 3.若 B.-

=(
C.


i ,则 D.i 的值为 ( )

A.

B.

C.

/>
D.

4.设点 A(-2,3) ,B(3,2) ,若直线 ax+y+2=0 与线段 AB 没有交点,则 a 的 取值范围是( )
4 5 B.(-∞,- ]∪[ ,+∞) 3 2 4 5 D.(, ) 3 2 5 4 A.(-∞,- ]∪[ ,+∞) 2 3 5 4 C.[, ] 2 3

5.椭圆

的左焦点为 F,右顶点为 A,以 FA 为直径 ) D. ,则△ABC

的圆经过椭圆的上顶点,则椭圆的离心率为( A. B. C.

6.△ABC 中,点 P 满足 一定是( ) B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形

A.直角三角形

7.已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点, AB 的中点到 y 轴的距离为 A. ( B.1 ) C.

AF ? BF =3 ,则线段
7 4

3 4

5 4

D.

8. 已知圆 C1 : ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 , 圆 C2 : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 9 , M , N 分别是圆 C1 , C2
2 2 2 2

上的动点, P 为 x 轴上的动点,则 PM ? PN 的最小值为( A. 5 2 ? 4 B. 17 ? 1 C. 6 ? 2 2

) D. 17

9.函数 A.

的一段图象是( B.

) C. D.

10 . 已 知 定 义 在

R

上 的 奇 函 数 且

f ( x)

和 偶 函 数 g( x) 满 足 , 若

f ( x) ? g( x) ? a x ? a ? x ? 2(a ? 0,
f (2) ? (
) B. a
2

a ? 1)

g (2) ? a

, 则

A.2

C.

17 4

D.

15 4
的左,右焦点分别为 ,过 的直线分别交双

11. 已知双曲线

曲线的两条渐近线于点 方程为 ( A. ) B.

.若点 P 是线段

的中点,且

,则此双曲线的渐近线

C.

D.

12.已如点 M(1,0)及双曲线 最大时,它的余弦值为( A. ﹣ B. ) C. ﹣

的右支上两动点 A,B,当∠AMB

D.

二.填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. )

13.若存在实数 x 使|x-a|+|x-1|≤3 成立,实数 a 的取值范围是
14.当 a

.

? 0? a ? 1 时,函数

f(x)=log a

( x ? 1) ? 1 的图象恒过定点

A,若点 A 在直线

mx-y+n=0 上,则 4

m

? 2n 的最小值是

.

15.已知三棱锥 P - ABC 的各顶点均在一个半径为 R 的球面上,球心 O 在 AB 上,
PO ? 平面 ABC ,
AC ? 3 ,则三棱锥与球的体积之比是 BC

16.数列 三、解答题(共 6 个题, 共 70 分)
17.(本题 10 分)已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8= (I)求数列{an}的通项公式;

的前 80 项的和等于

-10

? an ? (II)求数列 ? n ?1 ? 的前 n 项和. ?2 ?

18. ( 本 题 12 分 ) 在

? ABC

中 , 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c. 已 知

cos A-2 cos C 2c-a = . cos B b
(1)求

sin C 的值; sin A
1 ,b=2, 求△ ABC 的面积 S. 4

(2)若 cosB=

19.(本题 12 分) 已知动圆过定点 F(0,2),且与定直线 l:y=-2 相切. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)若 AB 是轨迹 C 的动弦,且 AB 过点 F(0,2),分别以 A、B 为切点作轨迹 C 的 切线,设两切线交点为 Q,求证:AQ⊥BQ.

20.(本题 12 分)如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 中, 侧棱与底面垂直,AB=BC=2AA1,∠ABC=90° ,M 是 BC 中点. (Ⅰ)求证:A1B∥平面 AMC1;

(Ⅱ)求直线 CC1 与平面 AMC1 所成角的正弦值; (Ⅲ)试问:在棱 A1B1 上是否存在点 N,使 AN 与 MC1 成角 60° ?若存在,确定点 N 的位置; 若不存在,请说明理由.

x2 y 2 1 21、 (本题 12 分) 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 以原点为圆心, a b 2
椭圆的短半轴为半径的圆与直线

x ? y ? 6 ? 0 相切,过点 P(4,0)且不垂直于 x

轴直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 OA ? OB 的取值范围; (3)若 B 点在于 x 轴的对称点是 E,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点。

22. (本题 12 分)已知函数 (1)求

f ( x) ? ln( x ? a) ? x 的最大值为 0,其中 a ? 0 。

a 的值;
x ? [0, ??) ,有 f ( x) ? kx 2 成立,求实数 k 的最大值;
2
* n

(2)若对任意

? ln(2n ? 1) ? 2(n ? N (3)证明: ? 2i ? 1
i ?1

)

高三月考五理科数学答案 2013.12

13. -2≤a≤4

14.

2 2

15

3 8?

16 70

17(Ⅰ)设等差数列 ?a n ? 的公差为 d , ?

? a1 ? 1, ? a1 ? d ? 0, 由已知条件可得 ? 故数列 d ? ? 1 . 2 a ? 12 d ? ? 10 , ? ? 1
……4 分

?a n ?的通项公式为
(Ⅱ)设数列 ?

a n ? 2 ? n.

a a ? an ? , 故 S 1 =1, 的前 n 项和为 S n ,即 S n = a1 ? 2 ? ? ? nn n ?1 ? 2 2 ?1 ?2 ?

S a S n a1 a 2 a a ?a a ? a1 .所以,当 n >1 时, n = a1 ? 2 ? ? ??? n ? ? ? n n?1 n ?1 - n n 2 2n 2 2 4 2 2 2
=1 ? ( ?

1 2

n 1 2?n n 1 1 2?n ? ? n?1 ) ? n = 1 ? (1 ? n ?1 ) ? n = n ,所以 S n = n ?1 2 2 4 2 2 2 2
n ? an ? 的前 n 项和 S n = n ?1 . n ?1 ? 2 ?2 ?
……10 分

综上,数列 ?

. 由

cos A ? 2cos C 2c ? a 可得 b cos A ? 2b cos C ? 2c cos B ? a cos B ? cos B b

即 b cos A ? a cos B ? 2c cos B ? 2b cos C ,则 c ? 2a ,

sin C c ? ? 2. sin A a 1 (Ⅱ)由 c ? 2a 及 cos B ? , b ? 2 可得 4
由正弦定理可得

4 ? c 2 ? a 2 ? 2ac cos B ? 4a 2 ? a 2 ? a 2 ? 4a 2 , 则 a ? 1 , c ? 2 ,
S?

15 1 1 15 ,即 S ? ac sin B ? ?1? 2 ? 1 ? cos 2 B ? 4 2 2 4

20.【答案】证明:(Ⅰ)连接 A1C,交 AC1 于点 O,连接 OM. ∵ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱, 又∵M 为 BC 中点, ∴四边形 ACC1A1 为矩形,O 为 A1C 的中点. ∴A1B∥OM,

∴OM 为△ A1BC 中位线,

∵OM?平面 AMC1,A1B?平面 AMC1,

所以 A1B∥平面 AMC1.

解:(Ⅱ)由 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱,且∠ABC=90° , 故 BA,BC,BB1 两两垂直.可建立如图空间直角坐标系 B﹣xyz. 设 BA=2,则 B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),M(1,0,0). 则 =(1,﹣2,0), =(2,﹣2,1),

设平面 AMC1 的法向量为 =(x,y,z),则有 ,即

所以取 y=1,得 =(2,1,﹣2). 又∵ =(0,0,1)

∴直线 CC1 与平面 AMC1 所成角 θ 满足 sinθ= 故直线 CC1 与平面 AMC1 所成角的正弦值为 解:(Ⅲ)假设存在满足条件的点 N. ∵N 在线段 A1B1 上,A1(0,2,1),B1(0,0,1), 故可设 N(0,λ,1),其中 0≤λ≤2. ∴ =(0,λ﹣2,1), =(1,0,1).

=

∵AN 与 MC1 成 60° 角, ∴ = = .

即,解得 λ=1,或 λ=3(舍去). 所以当点 N 为线段 A1B1 中点时,AN 与 MC1 成 60° 角.

21.(1)解:由题意知 e ? 又b ?
6 1?1

c 2 a 2 ? b2 1 c 1 4 ? ,即 a 2 ? b2 ? ,∴ e2 ? 2 ? 4 a 2 3 a a2
故椭圆的方程为
y2 x2 ? ?1 4 3

? 3 ,∴ a 2 ? 4, b2 ? 3

3分

(2)解:由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4)
? y ? k ( x ? 4) ? 由 ? x2 得: (4k 2 ? 3) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 4 分 y2 ? ?1 ? 3 ? 4

由 ? ? (?32k 2 )2 ? 4(4k 2 ? 3)(64k 2 ? 12) ? 0 得: k 2 ? 设 A(x1,y1),B (x2,y2),则 x1 ? x2 ?

1 4

32k 2 64k 2 ? 12 ,x1 x2 ? 2 4k ? 3 4k 2 ? 3



6分

∴ y1 y2 ? k ( x1 ? 4)k ( x2 ? 4) ? k 2 x1 x2 ? 4k 2 ( x1 ? x2 ) ? 16k 2

22.解: (1)f(x)定义域为(-a,+∞)

f , ( x) ?

1 1? x ? a , ,由 f ( x) =0,得 x=1-a>-a. …………………1 分 ?1 ? x?a x?a
,

当 x 变化时, f ( x) ,f(x)变化情况如下 x (-a,1-a) 1-a (1-a, +∞)

f , ( x)
f(x)

+ 增

0 极大值



因此,f(x)在 x=1-a 处取得最大值,故 f(1-a)=a-1=0,所以 a=1. ………………4 分 (2) 当k ? 0时,取x ? 1有f (1) ? ln 2 ? 1 ? 0, 故k ? 0不合题意 . …………5 分 当 k<0 时, 令g ( x) ? ln( x ?1) ? x ? kx , x ? ( ?1, ??)
2

1 ? x ? 2kx( x ? 1) x(?2kx ? 2k ? 1) ? 1 ? 2kx ? ? , 令g , ( x) ? 0 x ?1 x ?1 x ?1 ?2k ? 1 1 得x1 ? 0, x2 ? ? ?1 ? ? ?1,?????????5分 2k 2k g , ( x) ?
1 ①k ? ? 时,x2 ? 0, g , ( x) ? 0在 ? 0, ? ? ? 恒成立 ,因此 g(x)在(0,+∞)单调递增 2
从而对任意的 x ? [0,+∞ ) ,总有 g(x)≥g(0)=0,即 f ( x) ≥ k x 在[0,+∞ ) 恒成立。
2

故k ? ?

1 符合题意。………………………………………………7 分 2

1 ②当- ? k ? 0时,x2 ? 0, 对于x ? (0, x2 ),g , ( x) ? 0, 故g ? x ? 在(0, x2 )内单调递减。因此取 2 1 x0 ? (0, x2 ), g ( x0 ) ? g (0), 即f ( x0 ) ? kx0不成立。故- ? k ? 0不合题意 2
综上,k 的最大值为-

1 .……………………………………………9 分 2


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