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解析几何中的面积最值问题


面积问题与最值问题
1.统一的思路:主要以斜率 k 为变量 2.关键是面积是如何表示?三角形或四边形
1 1 2 2 1 2) 四边形面积: S? ? l1 ? l2 sin ? 2

1) 三角形面积: S? ? a底 ? ha ? lx y1 ? y2 ? l y x1 ? x2

1 2

3)椭圆压缩成圆求解
x2 y 2 引入: P ? ?2013浙江理?如图,点(0, 1)是椭圆C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的一个顶点, ? ? a b 2 2 C1的长轴是圆C2 : x ? y ? 4的直径,l1 , l2是过点P互相垂直的两条直线,其中l1圆 交C2于A, B两点,交椭圆C1于另一点D. (1)求椭圆C1的方程 (2)求?ABD的面积取最大值时l1的方程.

D F1 A
例 1(2007 安徽)设 F 是抛物线 G : x ? 4 y 的焦点.
2

B l 1 O P l2 F2

(I)过点 P(0, 4) 作抛物线 G 的切线,求切线方程; ? (II)设 A,B 为抛物线 G 上异于原点的两点,且满足 FA?FB ? 0 ,延长 AF , BF 分别交 抛物线 G 于点 C,D ,求四边形 ABCD 面积的最小值.

??? ??? ? ?

例 2 [2011 湖南理]如图 7,椭圆 C1 :

x2 y 2 3 ,x 轴被曲线 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

C2 : y ? x 2 ? b

截得的线段长等于 C1 的长半轴长。

(Ⅰ)求 C1,C2 的方程; (Ⅱ)设 C2 与 y 轴的焦点为 M,过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相交于点 A,B,直线 MA,MB 分 别与 C1 相交与 D,E. (i)证明:MD⊥ME; (ii) 记△MAB,△MDE 的面积分别是 S1 , S 2 . 问: 是否存在直线 l,使得

S1 17 ? ?请说明理由。 S 2 32

例 3[2012 年高考(浙江理)]如图,椭圆 C:

1 x2 y 2 + 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,其左焦点到点 2 a b 2

P(2,1)的距离为 10 .不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求 ? ABP 的面积取最大时直线 l 的方程.

例 4 (2012 年高考(广东理) (解析几何)在平面直角坐 ) 标系 xOy 中,已知椭圆 C : 的离心率 e ?

x2 y 2 ? ?1 ( a ? b ? 0 ) a 2 b2

2 且椭圆 C 上的点到点 Q ? 0, 2 ? 的距 3

离的最大值为 3. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)在椭圆 C 上,是否存在点 M ? m, n ? ,使得直线 l : mx ? ny ? 1 与圆 O : x2 ? y 2 ? 1 相 交于不同的两点 A 、 B ,且 ?OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及对应的

?OAB 的面积;若不存在,请说明理由.

例5已知以原点O为中心,F

?

5, 0 为右焦点的双曲线C的离心率e ?

?

?1? 求双曲线C的标准方程及其渐近线方程; ? 2 ? 如题 ? 20图?,已知过点M ? x1 , y1 ?的直线l1 : x1 x ? y1 y ? 4与过点 N ? x2 , y2 ? (其中x1 ? x2 )的直线l2 : x2 x ? y2 y ? 4的交点E
在双曲线C上,直线MN与双曲线的两天渐近线分别交于G , H 两点,求△OGH的面积

5 2

例 6 [2009 湖北理]过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的对称轴上一点 A ? a, 0 ?? a ? 0 ? 的直线与抛
2

物线相交于 M、N 两点,自 M、N 向直线 l : x ? ?a 作垂线,垂足分别为 M 1 、 N1 。 (Ⅰ)当 a ? (Ⅱ)记

p 时,求证: AM 1 ⊥ AN1 ; 2

?AMM 1 、 ?AM 1 N1 、 ?ANN1 的面积分别为 S1 、 S 2 、 S 3 ,是否存在 ? ,

2 使得对任意的 a ? 0 ,都有 S 2 ? ? S1S 2 成立。若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由。

例 7 已知双曲线 C 的方程为

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0), a 2 b2

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离心率 e ?

5 2 5 . , 顶点到渐近线的距离为 5 2

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)如图,P 是双曲线 C 上一点,A,B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上,且分别位于第 一,二象限.若 AP ? ? PB, ? ? [ , 2], 求△AOB 面积的取值范围.

??? ?

??? ?

1 3

巩固与练习:

1. 如图,已知抛物线 E : y ? x
2

与圆 M : ( x ? 4) ? y ? r (r ? 0) 相交于 A、B、C、D
2 2 2

四个点。 (I)求 r 的取值范围;

(

15 , 4) 2

(II)当四边形 ABCD 的面积最大时,求对角线 AC、BD 的交点 P 的坐标。

7 ( , 0) 6

x2 y 2 1 2. 已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长轴长为 4,离心率为 , F1 、 F2 分别为其 a b 2
左、右焦点,一动圆过点 F2 ,且与直线 x ? ?1 相切。

(I)求椭圆 C1 的方程及动圆圆心轨迹 C 的方程;

x2 y2 ? ?1 4 3

y2 ? 4x

(II) 在曲线 C 上有两点 M 、N , 椭圆 C1 上有两点 P、Q , 满足 MF2 与 NF2 共线,PF2 与 QF2 共线,且 PF2 ?MF2 ,求四边形 PMQN 面积的最小值。 8

?????

???? ?

???? ?

???? ?

???? ????? ?

3. 椭圆中心在坐标原点, A(2,,B(0, 是它的两个顶点,直线 y ? kx(k ? 0) 与 AB 相 0) 1) 交于点 D,与椭圆相交于 E、F 两点. y B

??? ? ???? (I)若 ED ? 6 DF ,求 k 的值;

2 3 k ? 或k ? 3 8

F O D A x

(II)求四边形 AEBF 面积的最大值.

2 2

E

【拓展】椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,直线 y ? kx(k ? 0) 与椭圆相交于 E、F ,直线 AB: 4

x ? 2 y ? 1 ? 0 与椭圆相交于点 A、B ,求四边形 ABEF 面积最大值,并求此时 k 的值.
4. (2007 全国 I 卷)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 .过 F1 的直线交 3 2

椭圆于 B,D 两点,过 F2 的直线交椭圆于 A,C 两点,且 AC ? BD ,垂足为 P . (I)设 P 点的坐标为 ( x0,y0 ) ,证明:
2 2 x0 y0 ? ? 1; 3 2

(II)求四边形 ABCD 的面积的最小值.

5.已知 P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点, PA, PB 是圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的两条切
2 2

线, A, B 是切点, C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值为 6.(2009 全国Ⅱ,16)已知 AC , BD 为圆 O : x ? y ? 4 的两条相互垂直的弦,垂足为
2 2

M (1, 2) ,则四边形 ABCD 的面积的最大值为
7. 已 知 直线 l : y ? k ( x ? 2 2) 与 圆 O : x ? y ? 4 相 交 于 A, B 两 点 , O 为 坐 标 原 点,
2 2

? ABO 的面积为 S 。
(1)试将 S 表示成 k 的函数 S (k ) ,并指出它的定义域; (2)求 S 的最大值,并求取得最大值时 k 的值。 8. 2013 年新课标Ⅱ卷数学 ( (理) 平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M : )

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2

右焦点 F 作直 x ? y ? 3 ? 0 交 M 于 A, B 两点, P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 (Ⅰ)求 M 的方程;

1 . 2

(Ⅱ) C , D 为 M 上的两点,若四边形 ABCD 的对角线 CD ? AB ,求四边形 ABCD 面积 的最大值. 9.[2012 杭州高考数学二模]已知抛物线 C : x ? 2 py ( P ? 0), 其焦点 F 到直线 x ? y ? 1 ? 0
2

的距离

5 2 . 8

(1)求抛物线 C 的方程 (2)若 ? ABC 的三个顶点在抛物线 C 上,顶点 B 的横坐标为 1,且直线 BA, BC 的倾斜角 互为补角,过点 A, C 分别作抛物线 C 的切线,两切线相交与点 D ,当 ?ADC 面积为 4 时, 求直线 BC 的斜率。


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