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浙江省杭州市塘栖中学2014届高三数学一轮复习课件(理) 第11章11.10 圆锥曲线的综合应用


1.已知λ∈R,则不论λ取何值,曲线C:

λx2-x-λy+1=0恒过定点(
A. (0,1 )

) D

B.(-1,1)

C. (1,0)

D.(1,1)

解析:由λx2-x-λy+1=0,得λ(x2-y)-(x-1)=0. 依题设

x2-y=0 x-1=0,即x=1,y=1, 可知不论λ取何值,曲线C过定点(1,1).

2.若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y2=2x的 焦点,点P在抛物线上移动,为使|PA|+|PF|取最小值, P点的坐标为( )B A.(3,3) B.(2,2) 1 C. ( ,1) D.(0,0)

2

解析:如图,根据抛物 线的定义可知|PF|等于点 P到准线l的距离|PQ|.则当 A、P′、Q′三点共线时 |PA|+|PF|最小,此时,可求得P′(2,2).

3.抛物线y2=12x与直线3x-y+5=0的最近距 离为( B) A. C.
10 5 5 5

B. D.

到直线的距离

y 解析:解法1:代数法.抛物线上的点 ( , y) 12

2 10 5 7 5 5

2

y2 | 3? ? y ?5| 1 y 4 2 10 2 12 d? ? [( ? 1) ? 4] ? ? , 10 5 10 10 2

故选B.

解法2:几何法.设与3x-y+5=0平行的抛物 线的切线方程为3x-y+t=0,代入抛物线方程得 y2-4y+4t=0,

Δ=16-16t=0,所以t=1.从而切线方程为3xy+1=0. 直线3x-y+5=0与3x-y+1=0之间的距离即为 5 ?1 2 10 所求最近距离,为 ? .
32 ? 12 5

4.双曲线x2-y2=4上一点P(x0,y0)在双曲线的 一条渐近线上的射影为Q,已知O为坐标原点, 则△POQ的面积为定值 1 .

解析:如图, 双曲线x2-y2=4的两条渐 近线为y=±x,即x±y=0, 设P在另一条渐近线上 的射影为R,则 | PQ |? | x0 ? y0 | ,
2 2 2 | x ? y 1 所以 S 0 0 | | PQ || PR |? ? 1. POQ ? 2 4 | PR |? 2 | x0 ? y0 | ,

1.基本概念

在圆锥曲线中,还有一类曲线系方程,对 其参数取不同值时,曲线本身的性质不变;或 形态发生某些变化,但其某些固有的共同性质 始终保持着,这就是我们所指的定值问题.

而当某参数取不同值时,某几何量达到 最大或最小,这就是我们指的最值问题.曲线 遵循某种条件时,参数有相应的允许取值范 围,即我们指的参变数取值范围问题.

2.基本求法
解析几何中的最值和定值问题是以圆锥 曲线与直线为载体,以函数、不等式、导数 等知识为背景,综合解决实际问题,其常用 方法有两种:

(1) 代数法:引入参变量,通过圆锥曲线 的性质,及曲线与曲线的交点理论、韦达定 理、方程思想等,用变量表示(计算)最值与定 值问题,再用函数思想、不等式方法得到最 值、定值; (2) 几何法:若问题的条件和结论能明显 的体现几何特征,利用图形性质来解决最值 与定值问题.

在圆锥曲线中经常遇到求范围问题,这类问 题在题目中往往没有给出不等关系,需要我们去 寻找.对于圆锥曲线的参数的取值范围问题,解法 通常有两种:当题目的条件和结论能明显体现几 何特征及意义时,可考虑利用数形结合法求解或 构造参数满足的不等式(如双曲线的范围,直线 与圆锥曲线相交时 Δ>0等),通过解不等式(组) 求得参数的取值范围;当题目的条件和结论能体 现一种明确的函数关系时,则可先建立目标函数, 进而转化为求解函数的值域.

考点1:定点、定值问题 例题1:已知A(1,0),B(-1,0),P是平面上一动 点,且满足|PA|· |BA|=PB· AB. (1)求点P的轨迹C的方程;

解析:(1)设P(x,y),则PA=(1-x,-y),

PB=(-1-x,-y),AB=(-2,0),BA=(2,0).
因为|PA|· |BA|=PB· AB,

所以 (1 ? x) 2 ? y 2 ? 2 ? 2( x ? 1)
即y2=4x,

所以点P的轨迹C的方程为y2=4x

(2)已知点M(m,2)在曲线C上,过点M 作直线l1、l2与C交于D、E两点,且 l1、l2的斜 率k1、k2满足k1k2=2,求证:直线DE过定点,并 求此定点. 解析:证明:由(1)知M(1,2),
y y ( , y1 ), E ( , y2 ), 设D 4 4 y2 ? 2 所以 k k ? y1 ? 2 · ? 2, 1 2 2 2 y1 y2 ?1 ?1 4 4
2 1 2 2

整理得(y1+2)(y2+2)=8.①

y1 ? y2 4 k DE ? 2 ? ? k, 2 y1 y2 y1 ? y2 ? 8 4 4 4 所以 y1 ? y2 ? . ②由①②知 y1 y2 ? 4 ? , k k

所以直线DE的方程为
y 4 y ? y1 ? ( x ? ), y1 ? y2 4
2 1

整理得4x-(y1+y2)y+y1y2=0,

4 8 即4 x ? y ? 4 ? ? 0, 即(x+1)k-(y+2)=0, k k

所以直线DE过定点(-1,-2).

点评:与圆锥曲线有关的定点问题的探求一 般途径是恰当引入参变量,将题设转化为坐 标关系式,然后通过分析参变量取符合题设 条件的任何一个值时,坐标关系式恒成立的 条件,而获得定点坐标.

拓展训练:如图,F1(-3,0),F2(3,0)是双曲线C的两 焦点,其一条渐近线方程为 ,A1、A2是 双曲线C的两个顶点,点P是双曲线C右支上异于 A2的一动点,直线A1P,A2P交直线 分别于M、 N两点. (1)求双曲线C的方程;

b 5 解析:(1)由已知, c ? 3, ? . a 2

又c2=a2+b2,

所以 a ? 2, b ? 5.
x2 y 2 所求双曲线C的方程为 ? ? 1. 4 5

(2)求证:F1M· F2N是定值.

证明:设P的坐标为(x0,y0),M、N的纵坐 标分别为y1、y2, 因为A1(-2,0),A2(2,0),
所以A1P=(x0+2,y0),A2P=(x0-2,y0),
2 10 A1M=( ,y1),A2N=( ? , y2). 3 3

因为A1P与A1M共线,

10 y 10 0 所以 ( x0 ? 2) y1 ? y0 , y1 ? . 3( x0 ? 2) 2 y0 3 . 同理 y2 ? ? 3( x0 ? 2) 因为F M ? ( 13 , y ), F N ? (? 5 , y ), 1 1 2 2 3 3
65 所以 F M · F2 N ? ? ? y1 y2 1 9 2 20 y0 65 ?? ? 2 9 9( x0 ? 4) 2 5( x0 ? 4) 20 ? 65 4 为定值. ?? ? ? ?10, 2 9 9( x0 ? 4)

考点2:最值与范围问题 左、右焦点.
x2 例题2:设F1、F2分别是椭圆 ? y 2 ? 1的 4

(1)若P是该椭圆上的一个动点,

求PF1· PF2的取值范围;

解析: (1)由方程易知a ? 2, b ? 1, c ? 3,

所以 F1 (- 3,0), F2

?

3,0 .设P(x,y),

?

则PF1· PF2= (? 3 ? x, ? y) ? ( 3 ? x, ? y) ? x 2 ? y 2 ? 3 因为x∈[-2,2],所以0≤x2≤4,
2 x 1 2 ? x ? 1 ? ? 3 ? (3 x 2 ? 8). 4 4

故PF1· PF2∈[-2,1].

(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不 同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为坐 标原点),求直线l的斜率k的取值范围. 解析:显然直线x=0不满足题设条件,

可设直线l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).
联立方程组 y=kx+2
1 2 (k ? ) x ? 4kx ? 3 ? 0. 4
2

x2 ? y 2 ? 1, 消去y整理得, 4

所以 x1 ? x2 ? ?

4k
2

1 1 2 k ? k ? 4 4 由 ? ? (4k )2 ? 4(k 2 ? 1 ) ? 3 ? 4k 2 ? 3 ? 0, 4 3 解得k ? 或 k ? ? 3 .① 2 2

, x1 x2 ?

3

.

又0°<∠AOB<90°,即cos∠AOB>0,
得OA· OB>0,

所以OA· OB=x1x2+y1y2>0.

又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4
?k ? 1 ? ? ?4? . 1 1 1 2 2 2 k ? k ? k ? 4 2 4 4 所以 3 ? ?k ? 1 ? 0, 1 1 2 2 k ? k ? 4 4 3k
2 2 2

?8k

即k2<4.②
? 3 ? 3 (?2, ? ) ? ? , 2 ?. 2 ? 2 ?

结合①、②知,k的取值范围是

点评:圆锥曲线中求最值与范围问题是高考 题中的常考问题,解决此类问题,一般有两 个思路:(1)构造关于所求量的不等式,通 过解不等式来获得问题的解(如本题第 (2) 问);(2)构造关于所求量的函数,通过求 函数的值域来获得问题的解(如本题第(1) 问).在解题的过程中,一定要深刻挖掘题目 中的隐含条件,如判别式大于零等.

2 y 拓展训练:已知F1、F2为椭圆x2+ =1的两个焦点, 2

AB是过焦点F1的一条动弦,求△ABF2面积的最大

值.
解析:由题意, F1 F2 ? 2,设上焦点为F1,下焦点为F2 . 设直线AB的方程为y ? kx ? 1. 代入椭圆方程2 x 2 ? y 2 ? 2, 得 ? k 2 ? 2 ? x 2 ? 2kx ? 1 ? 0, 2k 1 则x A ? xB ? ? 2 ,x A xB ? ? 2 , k ?2 k ?2

8(k 2 ? 1) 所以 x A ? xB ? , 2 k ?2 1 k2 ?1 S ABF2 ? | F1F2 | x A ? x B ? 2 2 ? 2 2 k ?2 1 ?2 2? 1 2 k ?1 ? k2 ?1 1 ? 2 2 ? ? ? 2. 2 1 2 当且仅当 k ? 1 ? , 2 k ?1 即k ? 0时,S ABF2 有最大值为.

点评:圆锥曲线中的最值问题常用代数法,即用 函数思想列出目标函数,然后转化为函数求最值 问题,常用配方法,单调性,求导数方法,体现 了数形结合,转化与化归的思想.

考点3:圆锥曲线综合问题 x+y-1=0相交于P、Q两点,且OP· OQ=0(O为坐 标原点).
1 1 (1)求证: 2 ? 2 等于定值; a b
x2 y 2 例题3:若椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)与直线 a b

解析: (1)证明:由 b2x2+a2y2=a2b2

x+y-1=0,
2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0.① ( a ?

由Δ>0

a2b2(a2+b2-1)>0, ?

因为a>b>0,所以a2+b2>1. 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1,x2是①的两根,

2a 2 所以 x1 ? x2 ? 2 2 , a ?b 2 2 a (1 ? b ) x1 x2 ? 2 . 2 a ?b



由OP· OQ=0得,x1x2+y1y2=0, 即 2x1x2-(x1+x2)+1=0,③ 将②代入③得,a2+b2=2a2b2,
1 1 所以 2 ? 2 ? 2, 为定值. a b

3 2 [ , ]时,求椭圆 (2)若椭圆离心率 e ? 3 2

长轴长的取值范围. 解析:由(1)a2+b2=2a2b2 得2-e2=2a2(1-e2),
2 2 ? e 1 1 2 所以 a ? ? ? , 2 2 2(1 ? e ) 2 2(1 ? e ) 又 3 ?e? 2, 3 2 所以 5 ? a ? 6 , 长轴 2a ? [ 5, 6]. 2 2

点评:本题综合考查直线与椭圆的位置关系及

定值问题和取值范围问题 . 考查运算能力、思
维能力及综合分析问题的能力.

备选题
抛物线有光学性质,由其焦点射出的光线经 抛物线折射后,沿平行于抛物线的对称轴的方向 41 射出.今有抛物线y2=2px(p>0),一光源在点M ( ,4) 4 处,由其发出的光线沿平行 于抛物线的对称轴的方向射 向抛物线上的点P,折射后又 射向抛物线上的点Q,再折 射后,又沿平行于抛物线的

对称轴的方向射出,途中遇
到直线l:2x-4y-17=0上的点N,再折射后又射回点M.

(1)设P、Q两点的坐标分别为(x1,y1)、 (x2,y2),证明:y1y2=-p2;

解析:证明:
由抛物线的光学性质及题意知, 光线PQ必过抛物线的焦点F ( p ,0),
p2 设直线PQ的方程为 y ? k ( x ? ).① 2

1 2 x ? y ? p , 由①式得 将其代入抛物线的方 k 2p 2 2 程y =2px中,整理得 y ? y ? p 2 ? 0, k

由韦达定理得y1y2=-p2. 当直线PQ的倾斜角为90°时,
p 将 x ? 代入抛物线方程得y=±p, 2

同样得到y1y2=-p2.

(2)求抛物线的方程; 解析:设光线QN经直线l反射后又射向M 点,所以直线MN与直线QN关于直线l对称.
41 ( , 4) 设点M 关于l的对称点为M′(x′,y′), 4 则 ? y ? 4 ? 1 ? ?1 ? 41 2 ?x ? ? 4 ? ? x ? 41 y?4 ? 4 2? ? 4? ? 17 ? 0 ? ? 2 2

解得 x? ? 51

4 y? ? ?1.

直线QN的方程为y=-1, Q点的纵坐标为y2=-1. 由题设P点的纵坐标为y1=4, 由(1)知y1y2=-p2,则4×(-1)=-p2,得p=2, 故所求抛物线的方程为y2=4x.

(3)试判断在抛物线上是否存在一点, 使该点与点M关于PN所在的直线对称?若存 在,请求出此点的坐标;若不存在,请说明 理由. 解析:将y=4代入y2=4x得x=4,

故P点的坐标为(4,4).
将y=-1代入直线l的方程2x-4y-17=0,
13 13 ? 得 x ? , 故N点的坐标为 ? , ?1? . ? 2 ? 2 ?

由P、N两点坐标得直线PN的方程

为2x+y-12=0.
设M点关于直线NP的对称点M1(x1,y1),

则 ? y1 ? 4 ? ??2? ? ?1 ?

41 ? x1 ? ? 4 ? 41 ? x1 ? y1 ? 4 ? 4 2? ? ? 12 ? 0 ? ? 2 2

解得

1 x1 ? 4 y1 ? ?1,

的解,

1 即M1 ( , ? 1)的坐标是抛物线方程y2=4x 4 1 ? 1) 故抛物线上存在一点( , 与点M关于 4

直线PN对称.

点评:本题是一道与物理中的光学知识相结合的 综合性题目,考查了学生理解问题、分析问题、 解决问题的能力.对称问题是直线方程的一个重要

应用.对称问题常有:点关于直线对称,直线关于
直线对称、圆锥曲线关于直线对称,圆锥曲线关 于点对称问题,但解题方法是一样的.

1.若探究直线或曲线过定点,则直线或曲 线的表示一定含有参变数,即直线系或曲线 系,可将其方程变式为 f(x,y)+λg(x,y)=0( 其中 λ 为参变数),由 f(x,y)=0 g(x,y)=0确定定点坐标.

2.在几何问题中,有些几何量与参变数无 关,即定值问题,这类问题求解策略是通过 应用赋值法找到定值,然后将问题转化为代 数式的推导、论证定值符合一般情形. 3.解析几何中的最值问题,或数形结合, 利用几何性质求得最值,或依题设条件列出 所求最值关于某个变量的目标函数,然后应 用代数方法求得最值.

易错点:忽略隐含条件
条直线L与双曲线交于A、B两点,且P为AB中 点. 错解:①过点P且与x轴垂直的直线显然 不符合要求. ②设过点P的直线方程为y-1=k(x-1),
2 y 代入 x 2 ? ? 1, 并整理得, 2 2 y 已知双曲线 x 2 ? ? 1, 过P(1,1)能否作一 2

(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0.
2k (1 ? k ) 所以 x1 ? x2 ? , 2 2 ? k 2k (1 ? k )

又因为x1+x2=2,所以
解得k=2,

2 ? k2

? 2.

故直线方程为y=2x-1,即直线是存在的.
错误分析:未考虑隐含条件“Δ>0”.

正解:接以上过程,考虑隐含条件“Δ>0”,

当k =2时代入方程可知Δ<0,故这样的直线不
存在.


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