山东省潍坊一中2013届高三12月月考测试数学文试题 Word版含答案

高三过程性训练（三）

数学试题（文科）
第 I 卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A = { 1,2,3,4,5}, B = 个数为 A.3 B.6

{(x, y) x 挝A, y

A, x - y

A}，则 B 中所含元素的

C.8

D.10

2.已知两非零向量 a, b, 则“ a ?b A.充分不必要条件 C.充要条件

a b ”是“ a 与 b 共线”的

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.已知直线 l1 : (k - 3) x + (4 - k ) y + 1 = 0 与 l2 : 2(k - 3) x - 2 y + 3 = 0 平行，则 k 的 值是 A.1 或 3 B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2

4.平面直角坐标系中，已知两点 A(3,1), B(- 1,3) ，若点 C 满足 OC = l 1OA + l 2 OB （O 为原点） ，其中 l 1 , l 2 ? R ，且 l 1 + l 2 = 1，则点 C 的轨迹是 A.直线 B.椭圆 C.圆 D.双曲线

??? ?

??? ?

??? ?

2 5. 已 知 函 数 f (x) = 4 - x , y = g (x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 当 x > 0 时 ，

g ( x) = l o g x g 2 ，则函数 f (x)× (x) 的大致图象为

6.各项为正数的等比数列 {an }中， a2 ,

1 a + a5 a3 , a1 成等差数列，则 4 的值为 2 a3 + a4

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A.

5- 1 2

B.

5+ 1 2

C.

12

5

D.

5- 1 5+1 或 2 2

7. 在 D ABC 中 ， 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c, S 表 示 D ABC 的 面 积 ， 若

a cos B + b cos A = c sin C , S =
A.30° B.45°

1 2 (b + c 2 - a 2 ) ，则 ? B 4
D.90°

C.60°

8.若圆 C : x2 + y 2 + 2x - 4 y + 3 = 0 关于直线 2ax + by + 6 = 0 对称，则由点 (a, b) 向 圆所作的切线长的最小值是 A.2 B.3 C.4 D.6 9.已知直线 a 和平面 a , b , a ? b

l , a 怂a , a

b ，且 a 在 a , b 内的射影分别为直线 b
C.平行或异面 D.相交、平行或异

和 c ，则 b 和 c 的位置关系是 A.相交或平行 B.相交或异面 面 10.设 F1 , F2 分别是椭圆

x2 y 2 + = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点，与直线 y = b 相切的 a 2 b2

? F2 交椭圆于点 E，E 恰好是直线 EF1 与 ? F2 的切点，则椭圆的离心率为
A.

3 2

B.

3 3

C.

5 3

D.

5 4

11. 四 棱 锥 P - ABCD 的 三 视 图 如 右 图 所 示 ， 四 棱 锥 P - ABCD 的五个顶点都在一个球面上，E、F 分别是棱 AB、 CD 的中点，直线 EF 被球面所截得的线段长为 2 2 ，则该球表 面积为 A. 12p C. 36p B.24 p D. 48p

12.定义在 f (M ) = (m, n, p)，其中 M 是 D ABC 内一点， m 、 n 、 p 分别是 D MBC 、

D MCA

、

D MAB

的

面

积

，

已

知

D ABC

中

，

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??? ??? ? ? AB ?AC
A.8

2 3, ? BAC
B.9 C.16

骣 1 4 1 30? , f ( N ) = ? , x, y÷，则 + 的最小值是 ÷ ? ÷ ?2 桫 x y
D.18

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第 II 卷（非选择题
题号 得分 二 三 17 18 19

共 90 分）
20 21 22 总分

得分

评卷人 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。请将答案填写在试题的

横线上。

ì x2 + y 2 - 2 x - 2 y + 1 ? ? ? 13.设 O 为坐标原点， A(1, 2) ，若点 B(x, y) 满足 ? 1 ＃x 2, í ? ? 1 ＃ y 2. ? ? ?
小值时，点 B 的坐标是________. 14.若函数 f ( x) = log

0

则 OA× 取得最 OB

??? ??? ? ?

(a2 - 3)

(ax + 4)在 [- 1,1]上是单调增函数，则实数 a 的取值范围是____.
32p ，则 A、B 两点的球面距离为 3

15 已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的高为 2 2 ，外接球的体积是 ____________. 16.给出以下五个命题： ①命题“ " x ? R, x
2

“ x + 1 > 0 ”的否定是： $ x ? R, x2

x + 1 < 0 ”. 3.

②已知函数 f (x) = k cos x 的图象经过点 P ? ,1÷，则函数图象上过点 P 的切线斜率等于 ? ÷ ③ a = 1 是直线 y = ax + 1和直线 y = (a - 2) x - 1垂直的充要条件.
1 骣 1 ④函数 f ( x) = ? ÷ - x 3 在区间 (0,1) 上存在零点. ÷ ? ÷ ?2 桫 x

骣 p ?3 ÷ 桫

⑤已知向量 a = (1, - 2) 与向量 b = (1, m) 的夹角为锐角，那么实数 m 的取值范围是 ?? 其中正确命题的序号是________. 三、解答题：本题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 得分 评卷人 17.（本题 12 分） 已 知 向 量 a = (c o w x s -

?

?

骣 ? 桫

1 , ÷. ÷ 2÷

s wnx i

, w)i ， b = (- cos wx - sin wx, 2 3 cos wx) ， 设 函 数 s xn

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骣 1 f (x) = a ?b l (x R) 的图象关于直线 x = p 对称，其中 w, l 为常数，且 w ? ? ,1÷. ? ÷ ?2 ÷ 桫
（I）求函数 f ( x) 的最小正周期； （II）若 y = f (x) 的图象经过点 ? , 0÷，求函数 f ( x) 在区间 犏 0, ÷ ?

骣 p ?4 桫

÷

轾 3p 上的取值范围. 犏 5 臌

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评卷人 18.（本题 12 分）

骣 + 1÷ a 各项均为正数的数列 {an }中，前 n 项和 Sn = ? n ? ÷. ? 2 ÷ 桫
（1）求数列 {an }的通项公式； （2）若

2

1 1 1 + +鬃 ? < k 恒成立，求 k 的取值范围； a1a2 a2 a3 an an+1

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评卷人 19.（本题 12 分）

设函数 f (x) = a x - (k - 1)a（1）求 k 值；

x

(a > 0且 1)是定义域为 R 的奇函数.

2 （2） f (1) < 0 ， 若 试判断函数单调性并求使不等式 f ( x + tx) + f (4 - x ) < 0 恒成立的取值范围..

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得分

评卷人

20.（本题 12 分） 如图， 四棱锥 P - ABCD 的底面是边长为 1 的正方形， 侧棱 PA ^ 底面 ABCD.且 PA = 2 ， 是侧棱 PA E 上的动点。 （1）求三棱锥 C-PBD 的体积； （2）如果 E 是 PA 的中点，求证 PC//平面 BDE； （3）是否不论点 E 在侧棱 PA 的任何位置，都有 BD ^ CE ？证明你的结论..

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评卷人 21.（本题 12 分）

已知函数 f ( x ) =

x3 2 10 图象上斜率为 3 的两条切线间的距离为 , f ( x) 的导数为 f ? x) ，函数 ( 2 a 5

g ( x) = f ( x) -

bf ?( x) + 3。 x

（1）若函数 g ( x)在x = 1有极值，求 g ( x) 的解析式； （2）若函数 g (x)在[ 1,1]是增函数，且 b2 - mb + 4 范围.

g (x)在 [- 1,1]上都成立，求实数 m 的取值

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评卷人 22.（本题 14 分）

已知椭圆 E :

x2 y 2 + = 1 (a > b > 0) 的 左 顶 点 为 A ， 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1 、 F2 ， 且 圆 C ： a 2 b2

x2 + y2 + 3x - 3 y - 6 = 0 过 A，F2 两点.
（1）求椭圆 E 的方程； （2） 直线 BC 过坐标原点， 与椭圆 E 相交于 B,C,点 Q 为椭圆 E 上的一点， 若直线 QB,QC 的斜率 kQB , kQC 存在且不为 0，求证： kQB × QC 为定值； k （3）设直线 PF2 的倾斜角为 a ，直线 PF1 的倾斜角为 b ，当 b - a =

2p 时，证明：点 P 在一定圆上. 3

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