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福建省师大附中2015届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案


福建师大附中 2014-2015 学年第一学期期中考试卷

高三数学 (理科)
本试卷共 4 页. 满分 150 分,考试时间 120 分钟.

命题人:黄晓滨 审核人:江 泽

注意事项: 试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分, 将答案填写在答卷纸上, 考试结束后只交答案卷.

第I卷

r />
共 60 分

一、选择题:本大题有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只
有一项 符合题目要求. 1.设集合 P ? ?3,log2 a? , Q ? ?a, b? ,若 P ? Q= ?0? ,则 P ? Q= ( ****** ) A. ?3, 0? 2.已知 a ? 2
? 1 3

B.

?3,0,1?

C. ?3,0,2?

D. ?3,0,1,2?

, b ? log 2

1 1 , c ? log 1 ,则( ******** ) 3 2 3
C. c ? a ? b D. c ? b ? a

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

3.已知向量 a ? (k ,3), b ? (1, 4), c ? (2,1) ,且 (2a ? 3b) ? c ,则实数 k =( *******)

?

?

?

?

?

?

A. ?

9 2
3

B.0

C. 3

D.

15 2

4.直线 y ? 4x与曲线y ? x 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( *******) A. 2 B. 4 C. 2 2 D. 4 2

5.下列有关命题的说法正确的是 ( ****** ) A.若 p 且 q 为假命题,则 p , q 均为假命题 ; B. “ x ? 0 ”是“ ln(x ? 1) ? 0 ”的充分不必要条件;
2 2 C.命题“ ?x ? R , 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ” ;

D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题.

6.函数 f ( x) ? log 1 cos x(?
2

?
2

?x?

?
2

) 的图象大致是(

*******

)

7. 设 i , j 是平面直角坐标系(坐标原点为 O)内分别与 x 轴、 y 轴正方向相同的两个单位向量, A.15 B.10 C. 7.5 D.5

? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? 且 OA =4 i +2 j , OB =3 i +4 j ,则△OAB 的面积等于( ******* )

8.要得到函数 y ? sin(2 x ? A.左移 ? 个单位

?
6

) 的图象,只需将函数 y ? sin(2 x) 的图象( *******)
C.左移 5? 个单位 D.右移 5? 个单位

B.右移 ? 个单位

12

12

12

12

9.已知函数 f ( x) ? 2 sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1 的图象关于点( ? ,0)对称,则 ? 的值可以是
( ***** ) B.

A. ?

?
6

? 6

C. ?

? 12

D.

? 12

10. 已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x ,若 f ?( x) 是 f ( x) 的导函数,且满足 f ?( x) ? 2 f ( x) ,则

1 ? sin 2 x ? ( ******* ) cos2 x ? sin 2 x
19 19 D. ? 5 5 11.定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f (2 ? x) ? f ( x) ,且在[-3,-2]上是减函数, ? , ? 是
A. ? 3 B. 3 C. 钝角三角形的两个锐角,则下列不等式关系中正确的是( ******) A. f (sin ? ) ? f (cos ? ) B. f (cos ? ) ? f (cos ? ) C. f (cos ? ) ? f (cos ? ) D. f (sin ? ) ? f (cos ? )

2 12.已知函数 f ( x) ? log 2 x ? 1 ,且关于 x 的方程 [ f ( x)] ? af ( x) ? b ? 0 有 6 个不同的实

数解,若最小实数解为 ? 3 ,则 a ? b 的值为( ******* ) A. ?3 B. ?2 C.0 D.2

第Ⅱ卷

共 90 分

二、填空题:本大题有 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答卷的相应位置. 13.设 0 ? ? ?

?
2

cos? ?, b ? ? cos? , 1? ,若 a // b ,则 ,向量 a ? ? sin 2? ,

?

?

?

?

tan ? ? _******______.

14.设 f ( x ) 是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x ?[?1,1) 时,

??4 x 2 ? 2, ?1 ? x ? 0, 3 ,则 f ( ) ? _******__. f ( x) ? ? 2 0 ? x ? 1, ? x, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 15.如图在平行四边形 ABCD 中,已知 AB ? 8, AD ? 5 , CP ? 3PD, AP ? BP ? 2 ,
则 AB ? AD 的值是_******__.

??? ? ????

16.若函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x 在区间 [1, ??) 是增函数,则实数 a 的取值范是_******__. 17.对于函数 f ( x) 与 g ( x) 和区间 D,如果存在 x0 ? D ,使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 1,则称 x 0 是函 数 f ( x) 与 g ( x) 在区间 D 上的“友好点”.现给出两个函数: ① f ( x) ? x , g ( x) ? 2 x ? 2 ;
2

② f ( x) ?

x , g ( x) ? x ? 2 ;

③ f ( x) ? e ? x , g ( x ) ? ?

1 ; x

④ f ( x ) ? ln x , g ( x) ? x ,

则在区间 ? 0, ?? ? 上存在唯一“友好点”的是_******__. (填上所有正确的序号) 三、解答题:本大题有 5 题,共 65 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 12 分)

?2? a 2 ? 有一个属于特征值 1 的特征向量 ? ?? ? ? ? 1? ?. ?1 b? ? ? (Ⅰ) 求矩阵 A; 1 ? 1? (Ⅱ) 若矩阵 B= ? ? 0 1 ? ,求直线 x ? y ? 1 ? 0 先在矩阵 A,再在矩阵 B 的对应变换作用下的 ? ? 像的方程.
已知矩阵 A= ? ?

19. (本小题满分 14 分) 已知向量 a ? (cos

?

? ? 3x 3x ? x ? x ? ,sin ), b ? (cos( ? ), ? sin( ? )) ; 令 f ( x) ? (a ? b)2 , 4 4 4 3 4 3
] ,求函数 f ( x) 的最大值和最小值;

(1)求 f ( x ) 解析式及单调递增区间; (2)若 x ? [?

? 5?
6 , 6

(3) 若 f ( x ) =

5 ? ,求 sin( x ? ) 的值。 2 6

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ?

a2 , g ( x) ? x ? ln x ,其中 a ? 1 。 x

(1)若 x ? 1 是函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的极值点,求实数 a 的值; (2)若对任意的 x1 , x2 ? ?1, e?( e 为自然对数的底数)都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 a 的 取值范围。 21.(本小题满分 12 分) 某港湾的平面示意图如图所示, O , A , B 分别是海岸线 l1 , l2 上的三个集镇, A 位于 O 的 正南方向 6km 处, B 位于 O 的北偏东 60 方向 10km 处. (Ⅰ)求集镇 A , B 间的距离; (Ⅱ)随着经济的发展,为缓解集镇 O 的交通压力,拟在海岸线 l1 , l2 上分别修建 码头 M , N ,开辟水上航线.勘测时发现:以 O 为圆心,3km 为半径的扇形区域为 浅水区,不适宜船只航行.请确定码头 M , N 的位置,使得 M , N 之间的直线航线 最短. 22.(本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? e , x ? R 的图象与 g ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称。(Ⅰ) 若直线 y ? kx ? 1
x
0

与 g ( x) 的图像相切, 求实数 k 的值; (Ⅱ) 判断曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? 数. (Ⅲ) 设 a ? b ,比较

1 2 x ? x ? 1 公共点的个 2

f ( a ) ? f (b) f (b) ? f (a) 与 的大小, 并说明理由. b?a 2

福建师大附中 2014-2015 学年第一学期期中考试卷

高三数学 (理科)解答
一、选择题:BCCBD, CDADD, AB 1 二、填空题: 13. 14. 1 2 三、 18. (1 ) 【解析】(Ⅰ)由已知得 ? ?


15.22

16.

(??, 0]

17.①④

?2 a ? 2 ? 2 , ? a 2?? 2 ? ?2? ,所以 ????4 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ?? ? ? ? 1? ?2 ? b ? ?1, ? 1 b ? ? ? 1? ? ?

?a ? 2 , 2 2? 故 A= ? ? 1 3 ? . ?????????6 分 ? ? ?b ? 3, 1 ? 1? ? 2 2 ? ?1 ?1? (Ⅱ) BA= ? ?0 1 ? ?1 3? = ? ? ,因为矩阵 BA 所对应的线性变换将直线变成直线 ? ?? ? ?1 3 ? (或点) , 所以可取直线 x ? y ? 1 ? 0 上的两点 (0, 1) , (-1, 2) , ??
解得 ? 8分

?1 ?1?? 0 ? ? 1 ? ?1 ?1?? 0 ? ? ?1? (0,1) , (-1,2)在矩阵 A 所对应的 ? ?? ? ? ? ? , ? ?? ? ? ? ? ,由得: ?1 3 ?? 1 ? ? ?3 ? ?1 3 ?? 1 ? ? ?1?
线性变换下的像是点(1,-3) , (-1,-1) ??????10 分 从 而 直 线 x ? y ? 1 ? 0 在 矩 阵 BA 所 对 应 的 线 性 变 换 下 的 像 的 方 程 为

x ? y ? 2 ? 0 .????12 分 19.
? ? ?2 ? ? ?2 3x x ? 3x x ? f ( x ) ? ( a ? b)2 ? a ? 2a ? b ? b ? 1 ? 2[cos cos( ? ) ? sin sin( ? )] ? 1 4 4 3 4 4 3 ? 2 ? 2cos( x ?

?

3

)

4? ? 2k? ? ? ? x ? ? 2k? 2k? ? ? ? ? 2k? ? , k ? Z 3 3 3 当 ,k ? 2 ,即: 时, f ( x ) 单调递增,

?

……4 分

? f ( x ) 增区间为: [2k? ? 4? , 2k? ? ? ] , k ? Z

3

? 3 ? 5? ? x ?[? , ], x ? ?[ , ] ?1 ? cos( x ? ) ? 3 2 6 6 得 3 6 6 , (Ⅱ)由 ? 2? x?? x? 6 时 f ( x)max ? 2 ? 3, 当 3 时, f ( x ) min ? 0 ……10 分 ?当 ? 5 ? 1 (3) f ( x) ? 2 ? 2 cos( x ? ) ? ? cos( x ? ) ? , 3 2 3 4
所以 sin( x ?

3 ? 7?

……6 分

?

? ? 1 ) ? ? sin( ? x) ? ? cos( x ? ) ? ? 。……14 分 6 6 3 4

20. (本小题满分 12 分)
(1)解法 1:∵ h ? x ? ? 2 x ? ∴ h? ? x ? ? 2 ?

a2 ? ln x ,其定义域为 ? 0, ? ?? , x

a2 1 ? . ………………1分 x2 x 2 ∵ x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点,∴ h? ?1? ? 0 ,即 3 ? a ? 0 . ………………2分

∵ a ? 1 ,∴ a ? 3 . ……4分 ∴a ? 3.

经检验当 a ? 3 时, x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点,……4分 (2)解:对任意的 x1, x2 ??1 ,e? 都有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成立等价于对任意的 x1, x2 ??1 ,e? 都 有? ? f ? x ?? ? min ≥ ? ? g ? x ?? ? max . ……5分 当 x ? [1, e ]时, g ? ? x ? ? 1 ?

∴函数 g ? x ? ? x ? ln x 在 ?1 ,e? 上是增函数. ∴? ? g ? x ?? ? max ? g ? e ? ? e ? 1 . …7分

1 ?0. x

a 2 ? x ? a ?? x ? a ? ∵ f ?? x? ? 1? 2 ? ,且 x ??1, e? , a ? 0 . x x2
1.当1≤ a ≤ e 时, 若1≤ x < a ,则 f ? ? x ? ?

x2 ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 . 若 a < x ≤ e ,则 f ? ? x ? ? x2 a2 ∴函数 f ? x ? ? x ? 在 ?1, a ? 上是减函数,在 ? a,e? 上是增函数. x ∴? ? f ? x ?? ? min ? f ? a ? ? 2a .
由 2 a ≥ e ? 1 ,得 a ≥ 又1≤ a ≤ e ,∴

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,

e ?1 , 2
……………9分

e ?1 ≤a≤e. 2

2.当 a ? e 且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? ∴函数 f ? x ? ? x ?

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,
x2

a2 在 ?1 ,e? 上是减函数. x a2 a2 f x ? f e ? e ? e ? ? ∴? . 由 ≥ e ? 1 ,得 a ≥ e , ? ? ? ? ? ? min e e ? e ?1 ? 又 a ? e ,∴ a ? e . ……11分 综上所述, a 的取值范围为 ? , ?? ? . ? 2 ?


…12

21.(本小题满分 12 分) ? 解法一: (Ⅰ)在△ ABO 中, OA ? 6 , OB ? 10 , ?AOB ? 120 ,……………………1 分 2 2 2 ? 根据余弦定理得, AB ? OA ? OB ? 2 ? OA ? OB ? cos120 ………………3 分 ? 1? ? 62 ? 102 ? 2 ? 6 ?10 ? ? ? ? ? 196 , ? 2? 所以 AB ? 14 . 故 A ,B 两集镇间的距离为 14km. ………………………5
分 (Ⅱ)依题意得,直线 MN 必与圆 O 相切.设切点为 C ,连接 OC ,则 OC ? MN .………………6 分

设 OM ? x , ON ? y , MN ? c , 在△ OMN 中,由 得

1 1 MN ? OC ? OM ? ON ? sin120? , 2 2

1 1 ? 3c ? xy sin120? ,即 xy ? 2 3c , …………………………… …8 分 2 2 ? 由余弦定理得, c2 ? x2 ? y 2 ?2 xycos120 , ? x2 ? y2 ? xy ? 3 xy
分 所以 c ? 6 3c ,解得 c ? 6 3 ,
2

……………………………10

………………………………………11 分

当且仅当 x ? y ? 6 时, c 取得最小值 6 3 . 所以码头 M , N 与集镇 O 的距离均为 6 km 时, M , N 之间的直线航线最短,最短距离为

6 3 km.…12 分 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)依题意得,直线 MN 必与圆 O 相切.设切点为 C ,连接 OC ,则 OC ? MN .
3 3 OC OC 3cos ? ? 在 Rt?OCM 中, tan ? ? ,所以 CM ? , CM tan ? sin ?
在 Rt?OCN 中,tan(

? ? 设 ?OMN ? ? ,则 ? ? (0, ) , ?ONM ? ? ? ,………………………………………6 分
………………………7 分

?
3

??) ?

OC , 所以 CN ? CN

OC ?? ? tan ? ? ? ? ?3 ?

?? ? 3cos ? ? ? ? ?3 ?, ? ……………8 ?? ? sin ? ? ? ? ?3 ?



3cos( ? ? ) 3cos ? 3 所以 MN ? CM ? CN ? ? ? sin ? sin( ? ? ) 3 ? ? ? ? 3 ?cos ? sin( ? ? ) ? sin ? cos( ? ? ) ? 3 3 ? ? ?

?

sin ? sin( ? ? ) 3

?

3 1 cos ? ? sin ? ) 2 2 3 3 ? . ………………………10 分 ? 1 sin(2? ? ) ? 6 2 ? 5? ? ? ? ? ? ) ,因此当 2? ? ? ,即 ? ? 时, 因为 ? ? (0, ) ,所以 2? ? ? ( , 6 6 3 6 6 2 6 1 ? 1 sin(2? ? ) ? 有最大值 ,故 MN 有最小值 6 3 ,此时 OM ? ON ? 6 . 2 6 2 所以码头 M , N 与集镇 O 的距离均为 6 km 时, M , N 之间的直线航线最短,最短距离为 sin ? (

?

3sin

?

3

6 3 km. …12 22. (本小题满分 15 分)

解: (Ⅰ) 由题意知 g ( x) ? ln x . ?????1 分, 设直线 y ? kx ? 1

?kx0 ? 1 ? lnx0 ? 2 ?2 与 g ( x) ? ln x 相 切 与 点 P(x0, y 0 ), 则? 1 ? x0 ? e , k ? e k ? g' (x ) ? 0 ? x0 ? ?2 k ? e ??4 分 1 2 (Ⅱ) 证明曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? x ? x ? 1 有唯一公共点,过程如下。 2 1 2 1 令h( x) ? f ( x) ? x ? x ? 1 ? e x ? x 2 ? x ? 1, x ? R, 则 2 2

。 ∴

h' ( x) ? e x ? x ? 1, h' ( x)的导数h' ' ( x) ? e x ? 1, 且h(0) ? 0,h' (0) ? 0, , h' ' (0) ? 0 , 当x ? 0时h' ' ( x) ? 0 ? y ? h' ( x)单调递减 ;当x ? 0时h' ' ( x) ? 0 ? y ? h' ( x)单调递增 ? y ? h '( x) ? h '(0) ? 0, 所以y ? h( x)在R上单调递增,最多有一个零点x ? 0
∴曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ?

1 2 x ? x ? 1 只有唯一公共点 (0,1) .?????8 分 2 f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) (b ? a ? 2) ? f (a) ? (b ? a ? 2) ? f (b) ? ? (Ⅲ) 解法一:∵ 2 b?a 2 ? (b ? a)

(b ? a ? 2) ? e a ? (b ? a ? 2) ? e b (b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? e b?a a ? ? e ?????9 分 2 ? (b ? a) 2 ? (b ? a) 令 g ( x) ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? e x , x ? 0, 则g ' ( x) ? 1 ? (1 ? x ? 2) ? e x ? 1 ? ( x ? 1) ? e x 。 g ' ( x)的导函数g ' ' ( x) ? (1 ? x ? 1) ? e x ? x ? e x ? 0, 所以g ' ( x)在( 0, ? ?)上单调递增, 且 g ' (0) ? 0.因此g ' ( x) ? 0,g ( x)在(0,??)上单调递增 , 而g (0) ? 0, (b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? eb?a a ∴ 在(0, ??)上g ( x) ? 0 ,∴ ?e ? 0 2 ? (b ? a) f (a ) ? f (b) f (b) ? f (a) ? ∴ 当a < b时, ?????15 分 2 b?a f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) (b ? a) ? (ea ? eb ) ? 2 ? (eb ? ea ) 解法二: ?????9 分 ? ? 2 b?a 2 ? (b ? a) 以 b 为主元,并将其视为 x ,构造函数 h( x) ? ( x ? a) ? (ex ? ea ) ? 2 ? (ex ? ea )( x ? a) ,则 ?????10 分 h?( x) ? ( x ? a ?1) ? ex ? ea ,且 h?(a) ? 0 ∵ h??( x) ? ( x ? a) ? e x 且 x ? a ? 0 ,∴ h?( x) 在 (a, ??) 上单调递增, ∴当 x ? a 时 h?( x) ? h?(a) ? 0 ,∴ h( x) 在 (a, ??) 上单调递增, ∴当 x ? a 时, h( x) ? h(a) ? 0 ?????14 分 f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) ? ∴ 当a < b时, ?????15 分 2 b?a ?


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