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黑龙江省双鸭山一中2015届高三上学期期中考试数学理试题


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高三数学期中试题
(120 分钟 150 分)




/>


第Ⅰ卷(选择题:共 60 分)
一、选择题
1.全集 U ? R ,集合 A ? {x | y ? A. [0, ??) B. ( ??,0)
2014







2 x ? 1} ,则 CU A (
C. (0, ??)

) D. ( ??,0] ( )





2.已知复数 z 满足 (1 ? i ) z ? i A.

(其中 i 为虚数单位) ,则 z 的虚部为 C.



3 2

B.

?

1 2

1 2

D.

1 ? i 2
( )

3.已知等差数列 {an } ,若 a4 ? a5 ? a6 ? 9 ,则 S9 = A. 24 4.若 sin( x ? B. 27 C . 15 D. 54

?
6

)?

1 3

,则 cos( B. ?

?
3

? 2 x) ?
7 9
D. ?







A.

4 5 9

4 5 9

C.

7 9

5.若 a x ? 1 的解集为 {x | x ? 0} 且函数 y ? log a ( x ? ) 的最大值为-1,则实数 a 的值为 A. 2 ( ) B .

1 x

1 2

C.

3

D.

1 4

线

6.若某多面体的三视图(单位:cm), 如图所示, 其中正视图与俯视图均为等腰三角形,则 此多面体的表面积是( A. 5 2 C. 15 B. D. ) cm 2



32 ? 12 2
5? 2 3



7.若函数 y ? f ( x) 的图像在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 3 x ? 2 ,则函数

g ( x) ? x 2 ? f ( x) 的图像在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 (
A. 5 x ? y ? 3 ? 0 C . x ? 5y ? 3 ? 0 B . 5x ? y ? 3 ? 0 D. x ? 5 y ? 3 ? 0



8 .已知函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) 为偶函数,则 ? 的一个取值为(



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A. 0
1 2

B.

?
4

C.

?
2

D.

?
( )

9.设 x ? log 5 10, y ? e , z ? A. x ? y ? z

3 (e 是自然对数的底数) ,则 2
C.z? x? y D. x ? z ? y

B.y? x? z

10.定义在 R 上的函数 f ( x) 是增函数,且对任意的 x 恒有 f ( x) ? ? f (2 ? x) ,若实数 a, b

? f (a 2 ? 6a ? 23) ? f (b 2 ? 8b) ? 0 满足不等式组 ? ,则 a 2 ? b 2 的范围为 a ? 3 ?
A. [13,27] B.





[25,45]

C . [13,45]

D. [13,49]

11.三棱锥 P ? ABC 的四个顶点均在半径为 2 的球面上,且 AB ? BC ? CA ? 2 3 , 平 面 PAB ? 平面 ABC ,则三棱锥 P ? ABC 的体积的最大值为 A. 4 B. 3 C. 4 3 D. 3 2 ( )

12.在 ?ABC 中, AB ? 5, AC ? 6, cos A ?

1 , O 是 ?ABC 的内心,若 OP ? xOA ? yOB , 5
( D. )

其中 x, y ? [0,1] ,则动点 P 的轨迹所覆盖图形的面积为 A.

10 6 3

B.

14 6 3

C. 4 3

6 2

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题
13.已知两点 A(-1,0), B (1,3) ,向量 a ? (2k ? 1, 2) ,若 AB || a ,则实数 k 的值为 14.已知等差数列 {an } 的前 n 项和是 S n ? 比数列 {bn } 的前 n 项积 Tn ?
2 2

n(a1 ? an ) , 用由此可类比得到各项均为正的等 2
( n, b1 , bn 表示)

15.若直线 x ? y ? 1 ? 0 与圆 ( x ? a ) ? y ? 2 有公共点,则实数 a 的取值范围是 16.已知函数 f ( x) ? x sin x ? cos x ,给出如命题: ①f ( x) 是偶函数;②f ( x) 在 [0, ③ 函数 f ( x) 在 [?

3? 3? ] 上单调递减,在 ( ,2? ] 上单调递增; 2 2

3? 3? 2 当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 1 恒成立; , ] 上有 3 个零点;④ 2 2

其中正确的命题序号是

三、解答题

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17.已知集合 A ? {x | ( x -1)(x - 2a - 3) < 0}, 函数 y ? lg 集合 B. (1) 若 a=1,求集合 A ? CR B ;

x-( a ? 2) 的定义域为 2a ? x
2

(2) 已知 a>-1,且 " x ? A " 是 " x ? B " 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围。

18.数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 an ?1 ? ?4 S n ? 1, a1 ? 1. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? nan , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

19.已知 a, b, c 分别是三角形 ABC 的三个内角 A,B,C 的对边, (1)求角 A 的大小; (2)求函数 y ?

2b ? c cos C . ? a cos A

3 sin B ? sin(C ?

?
6

) 的值域.

20.已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴正半轴上,直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 与圆 C 相切. (1)求圆 C 的方程; (2) 过点 (0, ?3) 的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , 且 x1 x2 ? y1 y2 ? 3 时,求三角形 AOB 的面积.

21. 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 平 面 PAD ? 平 面 ABCD , AB || CD , 在 锐 角 ?PAD 中

PA ? PD ,并且 BD ? 2 AD ? 8 , AB ? 2 DC ? 4 5

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(1)点 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD ? 平 面 PAD ; ( 2)若 PA 与平面 PBD 成角 60? ,当面 MBD ? 面

ABCD 时,求点 M 到平面 ABCD 的距离.

22.已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? 2 x , g ( x) ? ln x . 2

(1)如果函数 y ? f ( x) 在 [1,??) 上是单调减函数,求 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a ? 0 ,使得方程

1 g ( x) ? f ' ( x ) ? (2a ? 1) 在区间 ( , e) 内有且只 x e

有两个不相等的实数根?若存在,请求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

高三期中考试理科数学答案 选择题 1.B 2.C 填空题: 13

3.B

4.C 5.B
n

6. B

7.A 8.B

9.D 10.D 11.B 12.A

7 6

14 Tn ? (b1b2 ) 2

15

?3 ? a ? 1

16.(1)(4)

解答题 : 17.(1) {x|1 ? x ? 2或3 ? x ? 5} (2) {x|

1 ? a ? 2 ? 1} 2

18.(1) an ? ( ?3) n ?1 (2) Tn ? 19. (1)A=

1 ? (4n ? 1)( ?3) n 16

?
3

1, 2] (2)值域 (
2 2

20(1) (x-2) ? y ? 4

(2)

3 7 2

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21 (1)

. MN = 3

(2) 3 22(1) (??, -2]

(2) ( 1, ,

e2 ? e ) 2e ? 1


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