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【步步高】2015届高三数学人教B版【配套文档】 第九章 平面解析几何 第2课


§ 9.2

两直线的位置关系

1.两条直线的位置关系 斜截式 方程 相交 垂直 y=k1x+b1 y= k2x+b2 k1≠k2 k1k2=-1 一般式
2 A1x+B1y+C1=0 (A2 1+B1≠0) 2 A2x+B2y+C2=0 (A2 2+B2≠0)

A1 B1 A1B2-A2B1≠0(当 A2

B2≠0 时,记为 ≠ ) A2 B2 A1 A2 A1A2+B1B2=0(当 B1B2≠0 时,记为 · =-1) B1 B2
?A1B2-A2B1=0 ?A1B2-A2B1=0 ? ? ? 或? (当 ?B1C2-B2C1≠0 ? ? ?A2C1-A1C2≠0

平行

k1=k2 且 b1≠b2

A1 B1 C 1 A2B2C2≠0 时,记为 = ≠ ) A2 B2 C 2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0) (当 A2B2C2≠0 重合 2. 两个距离公式 (1)点 P(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离: d= |Ax0+By0+C| . A2+B2 |C2-C1| . A2+B2 k1=k2 且 b1=b2 A 1 B1 C 1 时,记为 = = ) A 2 B2 C 2

(2)两平行直线 l1: Ax+By+C1=0 与 l2: Ax+By+C2=0 (C1≠C2)间的距离为 d=

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线 l1 和 l2 斜率都存在时,一定有 k1=k2?l1∥l2. (2)如果两条直线 l1 与 l2 垂直,则它们的斜率之积一定等于-1. ( × ( × ) )

(3)已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1、B1、C1、A2、B2、C2 为常数), 若直线 l1⊥l2,则 A1A2+B1B2=0. ( √ )

|kx0+b| (4)点 P(x0,y0)到直线 y=kx+b 的距离为 . 1+k2

( ×

) )

(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离. ( √

1 (6)若点 A,B 关于直线 l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线 AB 的斜率等于- ,且线段 AB k 的中点在直线 l 上. ( √ )

1 2. 若经过点(3,a)、(-2,0)的直线与经过点(3,-4)且斜率为 的直线垂直,则 a 的值为 2 ( 5 A. 2 2 B. C.10 D.-10 5 )

答案 D a-0 解析 ∵ =-2,∴a=-10. 3-?-2? 3. 直线 Ax+3y+C=0 与直线 2x-3y+4=0 的交点在 y 轴上,则 C 的值为________. 答案 -4 4? 解析 因为两直线的交点在 y 轴上,所以点? ?0,3?在第一条直线上,所以 C=-4. 4. 已知直线 l1 与 l2:x+y-1=0 平行,且 l1 与 l2 的距离是 2,则直线 l1 的方程为______. 答案 x+y+1=0 或 x+y-3=0 |c+1| 解析 设 l1 的方程为 x+y+c=0,则 = 2. 2 ∴|c+1|=2,即 c=1 或 c=-3. 5. 直线 2x+2y+1=0,x+y+2=0 之间的距离是________. 答案 3 2 4

1 解析 先将 2x+2y+1=0 化为 x+y+ =0, 2 1 |2- | 2 3 则两平行线间的距离为 d= = 2. 4 2

题型一 两条直线的平行与垂直 例1 已知两条直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的 a,b 的值. (1)l1⊥l2,且 l1 过点(-3,-1); (2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.

思维启迪 本题考查两直线平行或垂直成立的充分必要条件,解题易错点在于忽略斜率 不存在的情况. 解 (1)由已知可得 l2 的斜率存在,∴k2=1-a.

若 k2=0,则 1-a=0,a=1. ∵l1⊥l2,直线 l1 的斜率 k1 必不存在,即 b=0. 4 又∵l1 过点(-3,-1),∴-3a+4=0,即 a= (矛盾). 3 ∴此种情况不存在,∴k2≠0. a 即 k1,k2 都存在,∵k2=1-a,k1= ,l1⊥l2, b a ∴k1k2=-1,即 (1-a)=-1.① b 又∵l1 过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0.② 由①②联立,解得 a=2,b=2. (2)∵l2 的斜率存在,l1∥l2,∴直线 l1 的斜率存在, a k1=k2,即 =1-a.③ b 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,且 l1∥l2, 4 ∴l1,l2 在 y 轴上的截距互为相反数,即 =b,④ b

? ? ?a= , ?a=2, ? 联立③④,解得 或? 3 ?b=-2 ? ? ?b=2.
2 ∴a=2,b=-2 或 a= ,b=2. 3 思维升华 当直线的方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要 考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意 x、y 的系数不能同时为零这一隐含条件. 已知两直线 l1:x+ysin α-1=0 和 l2:2x· sin α+y+1=0,求 α 的值,使得: (1)l1∥l2; (2)l1⊥l2. 解 l2. 1 当 sin α≠0 时,k1=- ,k =-2sin α. sin α 2 1 要使 l1∥l2,需- =-2sin α, sin α 2 即 sin α=± . 2 (1)方法一 当 sin α=0 时,直线 l1 的斜率不存在,l2 的斜率为 0,显然 l1 不平行于

2

π 所以 α=kπ± ,k∈Z,此时两直线的斜率相等. 4 π 故当 α=kπ± ,k∈Z 时,l1∥l2. 4 方法二 由 A1B2-A2B1=0,得 2sin2α-1=0, 2 所以 sin α=± . 2 又 B1C2-B2C1≠0,所以 1+sin α≠0,即 sin α≠-1. π 所以 α=kπ± ,k∈Z. 4 π 故当 α=kπ± ,k∈Z 时,l1∥l2. 4 (2)因为 A1A2+B1B2=0 是 l1⊥l2 的充要条件, 所以 2sin α+sin α=0,即 sin α=0,所以 α=kπ,k∈Z. 故当 α=kπ,k∈Z 时,l1⊥l2. 题型二 两直线的交点 例2 过点 P(3,0)作一直线 l,使它被两直线 l1:2x-y-2=0 和 l2:x+y+3=0 所截的线段 AB 以 P 为中点,求此直线 l 的方程. 思维启迪 求直线的方程一般需要两个已知条件,本例已知直线 l 过一定点 P(3,0),还 需要寻求另一个条件.这一条件可以是斜率 k 或另一个定点,因此,有两种解法. 解 方法一 设直线 l 的方程为 y=k(x-3),

将此方程分别与 l1,l2 的方程联立,
? ? ?y=k?x-3?, ?y=k?x-3?, 得? 和? ?2x-y-2=0 ?x+y+3=0. ? ?

3k-2 3k-3 解之,得 xA= 和 xB= , k-2 k+1 ∵P(3,0)是线段 AB 的中点,由 xA+xB=6 得 3k-2 3k-3 + =6,解得 k=8. k-2 k+1 故直线 l 的方程为 y=8(x-3),即 8x-y-24=0. 方法二 设 l1 上的点 A 的坐标为(x1,y1), ∵P(3,0)是线段 AB 的中点, 则 l2 上的点 B 的坐标为(6-x1,-y1),
?2x1-y1-2=0, ? ∴? 解这个方程组,得 ??6-x1?+?-y1?+3=0. ?

?x = 3 , ? 16 ?y = 3 .
1 1

11

11 16 ∴点 A 的坐标为( , ),由两点式可得 l 的方程为 8x-y-24=0. 3 3 思维升华 (1)两直线交点的求法

求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即 为交点. (2)常见的三大直线系方程 ①与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程是 Ax+By+m=0(m∈R 且 m≠C). ②与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程是 Bx-Ay+m=0(m∈R). ③过直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为 A1x+B1y +C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括 l2. 如图,设一直线过点(-1,1),它被两平行直线 l1: x+2y-1=0,l2:x+2y-3=0 所截的线段的中点在直线 l3: x-y-1=0 上,求其方程. 解 与 l1、l2 平行且距离相等的直线方程为 x+2y-2=0. 设所求直线方程为(x+2y-2)+λ(x-y-1)=0, 即(1+λ)x+(2-λ)y-2-λ=0.又直线过(-1,1), ∴(1+λ)(-1)+(2-λ)· 1-2-λ=0. 1 解得 λ=- .∴所求直线方程为 2x+7y-5=0. 3 题型三 距离公式的应用 例3 正方形的中心在 C(-1,0),一条边所在的直线方程是 x+3y-5=0,求其他三边所在

直线的方程. 思维启迪 借助平行直线系和垂直直线系设出其他三边所在直线的方程,利用正方形的 中心到各边距离相等列出方程求直线系中的参数. |-1-5| 3 10 解 点 C 到直线 x+3y-5=0 的距离 d= = . 5 1+9 设与 x+3y-5=0 平行的一边所在直线的方程是 x+3y+m=0(m≠-5), |-1+m| 3 10 则点 C 到直线 x+3y+m=0 的距离 d= = , 5 1+9 解得 m=-5(舍去)或 m=7, 所以与 x+3y-5=0 平行的边所在直线的方程是 x+3y+7=0. 设与 x+3y-5=0 垂直的边所在直线的方程是 3x-y+n=0,

|-3+n| 3 10 则点 C 到直线 3x-y+n=0 的距离 d= = , 5 1+9 解得 n=-3 或 n=9, 所以与 x+3y-5=0 垂直的两边所在直线的方程分别是 3x-y-3=0 和 3x-y+9=0. 思维升华 正方形的四条边两两平行和垂直,设平行直线系和垂直直线系可以较方便地 解决,解题时要结合图形进行有效取舍.本题的解法可以推广到求平行四边形和矩形各 边所在直线的方程. 运用点到直线的距离公式时,需把直线方程化为一般式;运用两平行线的距离公式时, 需先把两平行线方程中 x,y 的系数化为相同的形式. 已知点 P(2,-1). (1)求过 P 点且与原点距离为 2 的直线 l 的方程; (2)求过 P 点且与原点距离最大的直线 l 的方程,并求出最大距离. (3)是否存在过 P 点且与原点距离为 6 的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由. 解 (1)过 P 点的直线 l 与原点距离为 2,而 P 点坐标为(2,-1),可见,过 P(2,-1)垂

直于 x 轴的直线满足条件. 此时 l 的斜率不存在,其方程为 x=2. 若斜率存在,设 l 的方程为 y+1=k(x-2), 即 kx-y-2k-1=0. |-2k-1| 3 由已知,得 =2,解之得 k= . 2 4 k +1 此时 l 的方程为 3x-4y-10=0. 综上,可得直线 l 的方程为 x=2 或 3x-4y-10=0. (2)作图可证过 P 点与原点 O 距离最大的直线是过 P 点且与 PO 垂直的直线, 1 由 l⊥OP,得 klkOP=-1.所以 kl=- =2. kOP 由直线方程的点斜式得 y+1=2(x-2), 即 2x-y-5=0, |-5| 即直线 2x-y-5=0 是过 P 点且与原点 O 距离最大的直线,最大距离为 = 5. 5 (3)由(2)可知,过 P 点不存在到原点距离超过 5的直线,因此不存在过 P 点且与原点距 离为 6 的直线. 题型四 对称问题 例4 已知直线 l:2x-3y+1=0,点 A(-1,-2).求: (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标; (2)直线 m:3x-2y-6=0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程;

(3)直线 l 关于点 A(-1,-2)对称的直线 l′的方程. 思维启迪 解决对称问题,不管是轴对称还是中心对称,一般都要转化为点之间的对称 问题. y+2 2 =-1, ? 3 ?x+1· (1)设 A′(x,y),再由已知? x-1 y-2 ?2× 2 -3× 2 +1=0 ? 33



.

?x=-13, 解得? 4 ?y=13.

33 4 ∴A′(- , ). 13 13

(2)在直线 m 上取一点,如 M(2,0), 则 M(2,0)关于直线 l 的对称点必在 m′上. 设对称点为 M′(a,b),则 a+2 b+0 2×? ?-3×? ?+1=0, ? 2 ? 2 ?b-0 2 ?a-2×3=-1. ?

6 30 解得 M′( , ). 13 13

?2x-3y+1=0, ? 设 m 与 l 的交点为 N,则由? ? ?3x-2y-6=0.

得 N(4,3). 又∵m′经过点 N(4,3), ∴由两点式得直线方程为 9x-46y+102=0. (3)设 P(x,y)为 l′上任意一点, 则 P(x,y)关于点 A(-1,-2)的对称点为 P′(-2-x,-4-y), ∵P′在直线 l 上,∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即 2x-3y-9=0. 思维升华 解决成中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式,而解决轴对称问题,一 般是转化为求对称点的问题,在求对称点时,关键是抓住两点:一是两对称点的连线与 对称轴垂直;二是两对称点的中心在对称轴上,即抓住“垂直平分”,由垂直列一方程, 由平分列一方程,联立求解. 光线沿直线 l1:x-2y+5=0 射入,遇直线 l:3x-2y+7=0 后反射,求反 射光线所在的直线方程.



? ?x-2y+5=0, 方法一 由? ?3x-2y+7=0, ?

?x=-1, ? 得? ?y=2. ?

∴反射点 M 的坐标为(-1,2). 又取直线 x-2y+5=0 上一点 P(-5, 0), 设 P 关于直线 l 的对称点 P′(x0, y0), 由 PP′⊥l 2 y0 可知,kPP′=- = . 3 x0+5 而 PP′的中点 Q 的坐标为? x0-5 y0? ? 2 , 2 ?,

x0-5 y0 Q 点在 l 上,∴3· -2· +7=0. 2 2

?x +5=-3, 由? 3 ?2?x -5?-y +7=0.
0 0 0

y0

2

?x =-13, 得? 32 ?y =-13.
0 0

17

根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为 29x-2y+33=0. 方法二 设直线 x-2y+5=0 上任意一点 P(x0,y0)关于直线 l 的对称点为 P′(x,y),则 y0-y 2 =- , 3 x0-x 又 PP′的中点 Q? x+x0 y+y0? ? 2 , 2 ?在 l 上,

x+x0 y+y0 ∴3× - 2× +7=0, 2 2 y -y 2 ? ?x -x=-3, 由? x+x ? ?3× 2 -?y+y ?+7=0.
0 0 0 0

可得 P 点的横、纵坐标分别为 x0= -5x+12y-42 12x+5y+28 ,y0= , 13 13

代入方程 x-2y+5=0 中,化简得 29x-2y+33=0, ∴所求反射光线所在的直线方程为 29x-2y+33=0.

转化与化归思想在对称问题中的应用

典例:(12 分)已知直线 l:x-2y+8=0 和两点 A(2,0),B(-2,-4). (1)在直线 l 上求一点 P,使|PA|+|PB|最小; (2)在直线 l 上求一点 P,使||PB|-|PA||最大. 思维启迪 处理此类解析几何最值问题时,一般转化为一条线段的长度来计算. 规范解答 解 (1)设 A 关于直线 l 的对称点为 A′(m,n),
?m=-2 ? ,解得? ,故 A′(-2,8).[3 分] ?n=8 ?

n-0 ? ?m-2=-2 则? m+2 n+0 ? 2 -2· 2 +8=0 ? P 为直线 l 上的一点,

则|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|, 当且仅当 B,P,A′三点共线时,|PA|+|PB|取得最小值, 为|A′B|,点 P 即是直线 A′B 与直线 l 的交点,[5 分]
? ? ?x=-2 ?x=-2 解? 得? , ?x-2y+8=0 ?y=3 ? ?

故所求的点 P 的坐标为(-2,3).[7 分] (2)A,B 两点在直线 l 的同侧,P 是直线 l 上的一点, 则||PB|-|PA||≤|AB|,当且仅当 A,B,P 三点共线时, ||PB|-|PA||取得最大值,为|AB|,点 P 即是直线 AB 与直线 l 的交点,[9 分] 又直线 AB 的方程为 y=x-2,
?y=x-2 ?x=12 ? ? 解? 得? , ?x-2y+8=0 ?y=10 ? ?

故所求的点 P 的坐标为(12,10).[12 分] 温馨提醒 在直线 l 上找一点 P 到两定点 A,B 的距离之和最小,则点 P 必在线段 AB′上, 故将 l 同侧的点利用对称转化为异侧的点;若点 P 到两定点 A,B 的距离之差最大,则 点 P 必在 AB′的延长线、或 BA′的延长线上,故将 l 异侧的点利用对称性转化为同侧 的点(A′,B′为点 A,B 关于 l 的对称点).

方法与技巧 1. 两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线 l1、 l2,l1∥l2?k1=k2;l1⊥l2?k1· k2=-1.若有一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜 率一定要特别注意. 2. 对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法. 失误与防范 1.在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率, 可根据判定定理判断,若直线无斜率,要单独考虑. 2.在运用两平行直线间的距离公式 d= 相同的形式. |C1-C2| 时,一定要注意将两方程中 x,y 的系数化为 A2+B2

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 1. (2012· 浙江)设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4 =0 平行”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 A 解析 若直线 l1 与 l2 平行,则 a(a+1)-2×1=0, 即 a=-2 或 a=1, 所以“a=1”是“直线 l1 与直线 l2 平行”的充分不必要条件. 2. 从点(2,3)射出的光线沿与向量 a=(8,4)平行的直线射到 y 轴上,则反射光线所在的直线 方程为 A.x+2y-4=0 C.x+6y-16=0 答案 A 1 解析 由直线与向量 a=(8,4)平行知:过点(2,3)的直线的斜率 k= ,所以直线的方程为 2 1 y-3= (x-2),其与 y 轴的交点坐标为(0,2),又点(2,3)关于 y 轴的对称点为(-2,3),所 2 以反射光线过点(-2,3)与(0,2),由两点式知 A 正确. B.2x+y-1=0 D.6x+y-8=0 ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

3. 已知直线 l 过点 P(3,4)且与点 A(-2,2),B(4,-2)等距离,则直线 l 的方程为( A.2x+3y-18=0 B.2x-y-2=0 C.3x-2y+18=0 或 x+2y+2=0 D.2x+3y-18=0 或 2x-y-2=0 答案 D 解析 设所求直线方程为 y-4=k(x-3), 即 kx-y+4-3k=0, |-2k-2+4-3k| |4k+2+4-3k| 由已知,得 = , 1+k2 1+k2 2 ∴k=2 或 k=- . 3 ∴所求直线 l 的方程为 2x-y-2=0 或 2x+3y-18=0.

)

4. 设 a、b、c 分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长,则直线 xsin A+ay+c=0 与 bx-ysin B+sin C=0 的位置关系是 A.平行 C.垂直 答案 C a b 解析 由 = ,得 bsin A-asin B=0. sin A sin B ∴两直线垂直. 5. 如图,已知 A(4,0)、B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反 射后再射到直线 OB 上,最后经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光 线所经过的路程是 A.2 10 C.3 3 答案 A 解析 由题意知点 P 关于直线 AB 的对称点为 D(4,2), 关于 y 轴的 对 称点为 C(-2,0),则光线所经过的路程 PMN 的长为|CD|=2 10. 二、填空题 6. 已知直线 l1:ax+3y-1=0 与直线 l2:2x+(a-1)y+1=0 垂直, 则实数 a=________. 答案 3 5 B.6 D.2 5 ( ) B.重合 D.相交但不垂直 ( )

解析 由两直线垂直的条件得 2a+3(a-1)=0, 3 解得 a= . 5 7. 若直线 m 被两平行线 l1:x-y+1=0 与 l2:x-y+3=0 所截得的线段的长为 2 2,则 m 的倾斜角可以是 ①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75° 其中正确答案的序号是________. 答案 ①⑤ |3-1| 解析 两直线 x-y+1=0 与 x-y+3=0 之间的距离为 = 2, 又动直线 l1 与 l2 所截 2 得的线段长为 2 2,故动直线与两直线的夹角应为 30° ,因此只有① ⑤ 适合. 8. 将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则 m+n= ________. 答案 34 5

解析 由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线 y=2x-3,它也 3+n 7+m ? ? 2 =2× 2 -3 是点(7,3)与点(m,n)连线的中垂线,于是? n-3 1 ? ?m-7=-2



?m=5 解得? 31 ?n= 5
三、解答题

3

34 ,故 m+n= . 5

9. 若直线 l 过点 A(1,-1)与已知直线 l1:2x+y-6=0 相交于 B 点,且|AB|=5,求直线 l 的方程. 解 过点 A(1,-1)与 y 轴平行的直线为 x=1.

?x=1 ? 解方程组? , ?2x+y-6=0 ?

求得 B 点坐标为(1,4),此时|AB|=5,即 x=1 为所求. 设过 A(1,-1)且与 y 轴不平行的直线为 y+1=k(x-1),
? ?2x+y-6=0 解方程组? , ?y+1=k?x-1? ?

k+7 ? ?x=k+2 得两直线交点为? 4k-2 ?y= k+2 ?

.

(k≠-2,否则与已知直线平行). k+7 4k-2 则 B 点坐标为( , ). k+2 k+2 k+7 4k-2 由已知( -1)2+( +1)2=52, k+2 k+2 3 3 解得 k=- ,∴y+1=- (x-1), 4 4 即 3x+4y+1=0. 综上可知,所求直线的方程为 x=1 或 3x+4y+1=0. 10.已知△ABC 的顶点 A(5,1),AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x-y-5=0,AC 边上 的高 BH 所在直线方程为 x-2y-5=0,求直线 BC 的方程. 解 依题意知:kAC=-2,A(5,1),

∴lAC 为 2x+y-11=0,
? ?2x+y-11=0, 联立 lAC、lCM 得? ∴C(4,3). ?2x-y-5=0, ?

x0+5 y0+1 设 B(x0,y0),AB 的中点 M 为( , ), 2 2 代入 2x-y-5=0,得 2x0-y0-1=0,
?2x0-y0-1=0, ? ∴? ∴B(-1,-3), ? ?x0-2y0-5=0,

6 6 ∴kBC= ,∴直线 BC 的方程为 y-3= (x-4), 5 5 即 6x-5y-9=0. B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 1. (2013· 天津)已知过点 P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5 相切,且与直线 ax-y+1=0 垂 直,则 a 等于 1 A.- 2 答案 C 解析 圆心为 O(1,0), 由于 P(2,2)在圆(x-1)2+y2=5 上, ∴P 为切点,OP 与 P 点处的切线垂直. 1 B.1 C.2 D. 2 ( )

∴kOP=

2-0 =2, 2-1

又点 P 处的切线与直线 ax-y+1=0 垂直. ∴a=kOP=2,选 C. 2. 已知直线 l1:y=xsin α 和直线 l2:y=2x+c,则直线 l1 与 l2 A.通过平移可以重合 B.可能垂直 C.可能与 x 轴围成等腰直角三角形 D.通过绕 l1 上某一点旋转可以重合 答案 D 解析 l1 的斜率 sin α∈[-1,1],l2 的斜率为 2,积可能为-1,即两直线可能垂直,斜率 ( )

不可能相等,所以必相交,l1 绕交点旋转可与 l2 重合. 3. 设 m,n∈R,若直线 l:mx+ny-1=0 与 x 轴相交于点 A,与 y 轴相交于点 B,且坐标 原点 O 到直线 l 的距离为 3,则△AOB 的面积 S 的最小值为 ( 1 A. 2 B.2 C.3 D.4 )

答案 C |m×0+n×0-1| 1 2 2 1 解析 原点 O 到直线 l 的距离 d= = 2 2 2 2= 3,∴m +n =3, m +n m +n 1 在直线 l 的方程中,令 y=0 可得 x= , m 1 1 即直线 l 与 x 轴交于点 A( ,0),令 x=0 可得 y= , m n 1 即直线 l 与 y 轴交于点 B(0, ), n 1 1 1 1 1 1 ∴S△AOB= |OA|· |OB|= · · = ≥ =3, 2 2 |m| |n| 2|m|· |n| m2+n2 1 当且仅当|m|=|n|时上式取等号,由于 m2+n2= , 3 1 故当 m2=n2= 时,△AOB 面积取最小值 3. 6 4. 点 P(2,1)到直线 l:mx-y-3=0(m∈R)的最大距离是________. 答案 2 5 解析 直线 l 经过定点 Q(0,-3),如图所示. 由图知,当 PQ⊥l 时,点 P(2,1)到直线 l 的距离取得最大值 |PQ|= ?2-0?2+?1+3?2=2 5,

所以点 P(2,1)到直线 l 的最大距离为 2 5. 5. (2013· 四川)在平面直角坐标系内,到点 A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最 小的点的坐标是________. 答案 (2,4)

解析 设平面上任一点 M,因为|MA|+|MC|≥|AC|,当且仅当 A,M,C 共线时取等号, 同理|MB|+|MD|≥|BD|,当且仅当 B,M,D 共线时取等号,连接 AC,BD 交于一点 M, 若|MA|+|MC|+|MB|+|MD|最小,则点 M 为所求. 6-2 又 kAC= =2, 3-1 ∴直线 AC 的方程为 y-2=2(x-1), 即 2x-y=0.① 5-?-1? 又 kBD= =-1, 1-7 ∴直线 BD 的方程为 y-5=-(x-1), 即 x+y-6=0.②
? ? ?2x-y=0, ?x=2, 由①②得? ∴? ∴M(2,4). ?x+y-6=0, ? ? ?y=4,

6. 如图,函数 f(x)=x+

2 的定义域为(0,+∞).设点 P 是函数 x

图象上任一点, 过点 P 分别作直线 y=x 和 y 轴的垂线, 垂足分 别为 M,N. (1)证明:|PM|· |PN|为定值; (2)O 为坐标原点,求四边形 OMPN 面积的最小值. (1)证明 设 P?x0,x0+

?

x0 ?

2?

(x0>0).

则|PN|=x0,|PM|= (2)解

? 2? ? x0 ?

1 = ,因此|PM|· |PN|=1. x 0 2 2 =-(x-x0), x0

直线 PM 的方程为 y-x0- 2 . x0

即 y=-x+2x0+

y=x, ? ? 2 解方程组? 得 x=y=x0+ , 2 2 x 0 ?y=-x+2x0+ x0 , ? S 四边形 OMPN=S△NPO+S△OPM

1 1 = |PN||ON|+ |PM||OM| 2 2 1 ? 1 2 2 = x0?x0+ ?+ ?x0+ 2 ? 2 x x0 ? 2x0? 0? 1 2 1? x + 2 ≥1+ 2, = 2+ ? 2? 0 x0? 1 当且仅当 x0= ,即 x0=1 时等号成立, x0 因此四边形 OMPN 面积的最小值为 1+ 2.


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