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1.3.1柱、锥、台的表面积与体积(一)


1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积 与体积

面积:平面图形所占平面的大小
a b

S=ab
a
A

b

h

S ?

1 2

(a ? b)h

c

h

S ?

1 2

ah

?

1 2

ac sin B
r

S ? ? ?r

2

B

a

C

b A a

S ? a ? h a ? b ? hb

l
r

? ab sin A

S ?

1 2

l ?r ?

n 360

? ?r

2

圆心角为n0

一、棱柱、棱锥、棱台的展开图及表面积的求法:

在初中学过正方体和长方体的表面积以及展开图,正方体和长方体 的展开图与其表面积的关系吗?

几何体表面积

展开图 空间问题

平面图形面积 平面问题

探究:棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成
的多面体,它们的展开图是什么?如何计算它们的 表面积?

棱柱的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

h
正棱柱的侧面展开图

S 直棱柱侧 = ch

S表=S底+S侧

棱锥的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

侧面展开

正棱锥的侧面展开图

S 正棱锥侧 =

1 2

ch '

S表=S底+S侧

棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

侧面展开
h'

正棱台的侧面展开图
h'

1 S 正棱台侧 = ( c ? c ' )h' 2

S表=S底+S侧

h'

h'

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体,它们 的侧面展开图还是平面图形,计算它们的表面积就是计算它 的各个侧面面积和底面面积之和.

S表=S底+S侧

直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间有什么关系?

上底扩大

上底缩小

h'

c/=c
S 直 棱 柱 = ch ' ? ch

1 S 正棱台 = ( c+ c' )h' 2

c/=0
S 三棱锥 = 1 2 ch '

练习:已知棱长为 a , 各面均为等边三角形
的三棱锥 S ? A B C ,则它的
3

S
a
2

①底面积为_______, 4
3 3

②侧面积为_______, 4
3a ③表面积为_______.
2

a

2

A

B

C
8

二、圆柱、圆锥、圆台的展开图及表面积的求法:

r O?
l
O
2? r

圆柱的侧面展开图是矩形
S 圆柱侧 ? S 长 方 形 = 2? r l
2

S ? 2? r ? 2? rl ? 2? r ( r ? l )

圆锥的侧面展开图是扇形
2?r

S 圆锥侧
l

? ? rl

r

O

S ??r

2

? ? rl ? ? r ( r ? l )

2?r '

圆台的侧面展开图是扇环
2?r

r 'O’
l

r

O

S 圆台侧 = S 扇环 = ? ( r ? r ) l
/

S ? ? (r

'

2

? r ? r l ? rl )
2 '

r
x

'

?

x x? l

2?r '

r
2?r

r 'O’
l

rx ? r x ? r l
' '

r
S侧

O

? ? r ( l ? x ) ? ? r x ? ? ( rl ? rx ? r x )
' '

? ? ( r l ? rl )
'

圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系?
O?
上底扩大

r

r 'O’
l

l

上底缩小

l

O

r

O
2 '

r

O

r/=r
2

S ? ? (r

'

2

? r ? r l ? rl )
2

r/=0

S ? 2? r ? 2? rl ? 2? r ( r ? l )

S ? ? r ? ? rl ? ? r ( r ? l )

练习:看图回答问题
r ? 1
r
'

? 1

h ? 2

l ? 2

l ? 2

r ? 1

r?2
圆台侧

4? S 圆 柱 侧 ? _ _ ?? S 圆 锥 侧 ? _ _ ??????? 2? S 6? ?? S S 圆 柱 表 ? _ _ ?????????
圆锥表

6 ? __?
11 ? ? __

? _ 3? _

S圆 台 表

典型例题
例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径20 cm,盆底直径为15cm, 底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆壁长15cm.那么花盆的表面积约是多 少平方厘米(? 取3.14,结果精确到1 cm 2 )?
解:由圆台的表面积公式得 花盆的表 面积:
? ? 15 ? S ? ? ?? ? ?? 2 ? ?
2

20 cm

?

15 2

? 15 ?

20

? ? 1 .5 ? ? 15 ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? ?

2

15 cm
15 cm

? 1000 ( cm

2

)
cm
2

答:花盆的表面积约是999



练习
1、圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正

4? S 方形,那么这个圆柱的侧面积是_______。

r

O

2? r

l ? 2?r
S ? ?r
2

l
O

l

S 侧 ? 2? r l ? 4? r
2

2

三、柱体、椎体、台体的体积的求法: 以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的体积公 式,它们的体积公式可以统一为:

V ? Sh (S为底面面积,h为高)

一般棱柱体积也是:

V ? Sh
其中S为底面面积,h为棱柱的高.

将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥,那么这三个三 棱锥的体积有什么关系?它们与三棱柱的体积有什么关系?

3 2 1 1 2

3

1 经过探究得知,棱锥是同底等高的棱柱体积的 . 3 即棱锥的体积:
V ? 1 3 Sh(其中S为底面面积,h为高)

由此可知,棱柱与圆柱的体积公式类似,都是底面面积乘高; 1. 棱锥与圆锥的体积公式类似,都是等于底面面积乘高的 3

圆锥的体积公式: 1 V ? Sh (其中S为底面面积,h为高) 3

根据台体的特征,如何求台体的体积?
由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的, 因此可以利用两个锥体的体积差.得到 圆台(棱台)的体积公式(过程略).
P

A?

S?

D?

C?

B?

h

D

V ? V P ? ABCD ? V P ? A ? B ?C ?D ?

A

S

C
B

?

1 3

(S ? ?

S ?S ? S ) h

棱台(圆台)的体积公式:
V ? 1 3
其中 S , S ? 分别为上、下底面面积,h为圆台(棱台)的高.

(S ? ?

S ?S ? S )h

?

x x?h

?

s

'
'

s

S

x
h

?x ?
V台 ? 1 3

h s ?

s

'

S
s
'

S( h ? x) ?

1 3

S x ?
? 1 3

'

1 3

Sh ?
1 3

1 3

Sx ?
'

1 3

S x
h s ? s
'

'

Sh ?

(S ? S )

s

'

?

1 3

Sh ?

1 3

(

s ?

s )h

'

s ?
'

1 3

h(s ?

ss

'

? s )
'

柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?

上底扩大

上底缩小

V ? Sh

S? ? S

V ?

1 3

(S ? ?

S ?S ? S )h

S? ? 0

V ?

1 3

Sh

S为底面面积,h为 锥体高

S分别为上、下底面面积, h 为台体高

S为底面面积,h为柱 体高

练习:有一堆规格相同的铁制六角螺帽,已知底面是 正六边形,边长为12mm,内孔直径为10mm,高为 10mm,问六角螺帽的体积是多少?
解:六角螺帽的体积是六棱柱的体积与 圆柱体积之差,即:
V ? 3 4 ? 12 ? 6 ? 10 ? 3 . 14 ? (
2

10 2

) ? 10
2

? 2956 ( mm )
3

? 2 . 956 ( cm )
3

小结
1.柱体、椎体、台体的表面积公式;

2.柱体、椎体、台体的体积公式;
3.台体与柱体和椎体之间的转换关系.


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