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2016江门调研卷高二文数试卷及评分标准


秘密★启用前

试卷类型:A

江门市 2016 年普通高中高二调研测试



学(文科)

本试卷共 4 页,24 题,考生作答 22 题,满分 150 分,测试用时 120 分钟. 注意事项: ⒈答题前,考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。 ⒉做选择题时,

必须用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案标号。 ⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上。 ⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答,不 在指定位置 作答 的答案 无效 。 . ..... .. ... .. ⒌考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡交回。

n(ad ? bc) 2 参考公式:独立性检验观测值计算公式 k ? ,n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
独立性检验临界值表

P( K 2 ? k ) k

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.设集合 A ? ?x | ?1 ? x ? 2?, B ? ?x | 1 ? x ? 3?,则 A ? B ?

?x | 1 ? x ? 2? A.
A. ? 3i

?x | ?1 ? x ? 3? B.
B. ? 3 C. 3i

?x | ?1 ? x ? 1? C.
D. 3

?x | 2 ? x ? 3? D.

2.复数 2 ? 3i ( i 是虚数单位)的虚部是 3.设某大学的女生体重 y (单位: kg )与身高 x (单位: cm )具有线性相关关系, 根据一组样本数据 ( xi , yi ) ( i ? 1 , 2 , ? , n ) ,用最小二乘法建立的回归方程为

? y ? 0.85x ? 85.71,则下列结论中不正确 的是 ...

A.身高 x 为解释变量,体重 y 为预报变量 B. y 与 x 具有正的线性相关关系 C.回归直线过样本点的中心 ( x , y) D.若该大学某女生身高为 170 cm ,则她的体重必为 58.79 kg 4.阅读如图所示的程序框图,若输入的 k ? 4 ,则输出的 S ? A.15 A. (1 , 2) A. 3? B.16 B. (2 , 1) B. 2 3? C.31 C. (1 , ? 2) C. 4 3? D.32 D. (?2 , 1) D. 12? 5.平面直角坐标系中,与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 平行的一个向量是 6.一个棱长为 2 的正方体,它的顶点都在球面上,这个球的体积是

7.给出下面三个类比推理:
2 ①实数 m 、 n ,有 (m ? n) 2 ? m 2 ? 2mn ? n 2 ;类比向量有 (a ? b) ? a ? 2a ? b ? b 2 2

②实数 m 、 n ,若 m ? n ? 0 ,则 m ? n ? 0 ;类比复数 z 1 、 z 2 ,若 z1 ? z 2 ? 0 ,
2 2

2

2

则 z1 ? z 2 ? 0
2 ③向量 a ,有 | a | ? a ;类比复数 z ,有 | z | 2 ? z 2 类比所得到的命题中,真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 2

8.小赵,小钱,小孙,小李四位同学被问到谁去过长城时, 小赵说:我没去过; 小钱说:小李去过; 小孙说;小钱去过; 小李说:我没去过. 假定四人中只有一人说的是假话,由此可判断一定去过长城的是 A.小李 B.小孙 C.小钱
/

D.小赵

9.已知 f ( x) ? log2 x ,若 f ( x) 的导数 f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 ? A. 2 e B. e 2 C. log2 e D. loge 2

10.经过点 P(?2 , 1) 且斜率为 k 的直线 l 与抛物线 y 2 ? 4 x 只有一个公共点,则 k 的 取值范围为

1? 1? ? 1? ? ? C. ?? 1 , ? D. ?? 1 , 0 , ? ? 2? 2? ? 2? ? ? / / 11.f ( x) 是奇函数 f ( x)( x ? R ) 的导函数,f (?1) ? 0 , 当 x ? 0 时,xf ( x) ? f ( x) ,
A. ?0 , ? 1? B. ?0 , 则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是 A. (?? , ? 1) ? (0 , 1) C. (?? , ? 1) ? (?1 , 0) B. (?1 , 0) ? (1 , ? ?) D. (0 , 1) ? (1 , ? ?)

12.以下数表源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨

辉三角形” ? 2013 2014 2015 2016 3 5 7 9 ???? 4027 4029 4031 8 12 16 ?????? 8056 8060 20 28 ???????? 16116 ???????????????? 该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上” 两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为
A.2017? 2 2015 B.2017? 2 2014 C.2016? 2 2015 D.2016? 2 2014

1

2

3

4

5

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. x 、 y ? R , i 是虚数单位,若 ( x ? y ? 3) ? ( x ? 4)i ? 0 ,则 y ? 点的中心为 . . 14.若样本点为 (21, 2.1) 、 (23 , 2.3) 、 (25 , 2.8) 、 (27 , 3.2) 、 (29 , 4.1) ,则样本

15.若 f ( x) ? tan x ,则 f / ( ) ?

?

16. 在等差数列 ?an ? 中, 若 a5 ? 0 , 则有 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? a9?n( n ? 9 ,

3



n? N*) .类比上述性质,在等比数列 ?bn ? 中,若 b6 ? 1 ,则有
三、解答题:解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)



ABCD 是复平面内的平行四边形,A 、B 、C 三点对应的复数分别是 1 ? 3i 、? i 、
2?i.
(Ⅰ)求点 D 对应的复数; (Ⅱ)求 ?ABC 的边 BC 上的高. 18. (本小题满分 12 分) 为考察某药物预防疾病的效果,用小白鼠进行动物试验,得到如下的列联表: 患病 服用药 没服用药 总计 21 8 29 未患病 30 26 56 总计 51 34 85

(Ⅰ)根据上表数据,能否以 90%的把握认为药物有效? (Ⅱ)用分层抽样方法从“服用药”和“没服用药”两类小白鼠中随机抽取一个 容量为 5 的样本,再从该样本中任取 2 只,求其中恰有 1 只小白鼠服用药物的概率. 19. (本小题满分 12 分)

5 ? ? ,且 A 、 B ? k? ? ( k ? Z ) . 4 2 (Ⅰ)求证: (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2 ;
已知 A ? B ? (Ⅱ)求 tan

5 ? 的值. 8

20. (本小题满分 12 分)

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )与 x 轴、 y 轴的正半轴相交于 A 、 B ,过 a2 b2 椭圆上一点 P 作 x 轴的垂线,垂足恰为左焦点 F1 , OP // AB . y B (Ⅰ)求椭圆的离心率; P (Ⅱ)线段 PB 的垂直平分线与 y 轴相交于 C , A 若 OC ? ?OB ,求 ? . x O F1
如图,椭圆 21. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? ax , a ? R 是常数. (Ⅰ) a ? ?1 时,求函数 f ( x) 在区间 (0 , 1) 上的值域; (Ⅱ)若曲线 y ? f ( x) 有且仅有一条平行于直线 y ? x 的切线,求 a . 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分. 作 答题请写清题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,圆 M 与圆 N 交于 A 、 B 两点,以 A 为切点作两圆的切线分别交圆 M 、圆

N 于 C 、 D 两点,延长 DB 、CB 分别交圆 M 、圆 N 于
E 、 F .已知 DB ? 10 、 CB ? 5 .
(Ⅰ)求 AB 的长; (Ⅱ)求证: CF ? DE . 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4 cos? ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半 轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ? (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B ,且 | AB |? 14 .求直线 l 的倾斜角. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | x ? 4 | . (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)若 f ( x) ? 3 | x ? 4 |? m 对一切实数 x 均成立,求 m 的取值范围.

? x ? 1 ? t cos? ( t 是参数) . ? y ? t sin ?

高二文数参考答案

一、选择题 二、填空题

ABDA BCBC CDAB ⒔ ? 1 ; ⒕ (25 , 2.9) (每个坐标 2 分,格式 1 分); ⒖ 4 ; ⒗ b1 ? b2 ? ?? bn ? b1 ? b2 ? ?? b11?n ??3 分; n ? 11 , n ? N * ??2 分

三、解答题 17.解: (Ⅰ)复平面内 A 、 B 、 C 对应点的坐标分别为 (1, 3) , (0, ?1) , (2,1) ??1 分,设 D 的坐标为 ( x, y ) ,由于 AD ? BC ,? ( x ? 1, y ? 3) ? (2, 2) ??2 分

??? ?

??? ?

? x ? 1 ? 2, y ? 3 ? 2 ??3 分,解得 x ? 3, y ? 5 ??4 分
故 D(3,5) ??5 分,则点 D 对应的复数为: 3 ? 5i ??6 分 (Ⅱ)? B(0, ?1), C (2,1) ,则 BC 直线的方程为: x ? y ? 1 ? 0 ??8 分

A 到 BC 直线的距离 d ?
故 BC 边上的高为 18.解: (Ⅰ) k ?

| 1 ? 3 ? 1| 2

?

3 2 ??11 分(列式 2 分,化简 1 分) 2

3 2 ??12 分 2

2 85 (21? 26 - 8 ? 30) n(ad ? bc) 2 ? 2.826 ? 2.706 = 51? 34 ? 29 ? 56 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

能以 90%的把握认为药物有效??5 分(上式每个“等号”各 1 分;判断 1 分) (Ⅱ)用分层抽样的方法在总体中抽取一个容量为 5 的样本,则应抽取服用药的 小白鼠数为

5 ? 51 ? 3 (只) ,设为 a,b,c;应抽取没服用药的小白鼠数为 5 ? 3 ? 2 85

(只) ,设为 m,n??7 分 从该样本中任取 2 只,基本事件为 ab,ac,am,an,bc,bm,bn,cm,cn,mn, 总数有 10 个??9 分 设其中恰有 1 只小白鼠服用药物为事件 A,则 A 包含的基本事件为 am,an,bm, bn,cm,cn,共有 6 个??10 分

P(A)?

6 3 ? ??11 分 10 5 3 5

答:其中恰有 1 只小白鼠服用药物的概率为 ??12 分 19.证明与求解: (Ⅰ)依题意, tan( A ? B) ? tan

5 ? ? 1 ??1 分, 4

tan A ? tan B ? 1 ??3 分, tan A ? tan B ? 1 ? tan A tan B ??4 分, 1 ? tan A tan B (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 1 ? tan A ? tan B ? tan A tan B ? 2 ??6 分

(Ⅱ)取 A ? B ? 所以 1 ? tan 因为

5 5 ? ,由(Ⅰ)得 (1 ? tan ? ) 2 ? 2 ??8 分 8 8

5 ? ? ? 2 ??10 分 8

?

5 5 ? ? ? ? ,所以 tan ? ? ? 2 ? 1 ??12 分 2 8 8
2

20.解: (Ⅰ)依题意,设 P(?c , y0 ) ( c 是椭圆的半焦距)??1 分,

b2 c 2 y0 y ? 得, (负值舍去)??2 分 ? ? 1 0 a a2 b2 y b 由 OP // AB 得, 0 ? ??3 分,化简得 b ? c ??4 分 c a
解 所以 a ? b 2 ? c 2 ? 2c , e ?

c 2 ??5 分 ? a 2

(Ⅱ)由 OC ? ?OB 得 C (0 , ?b) ??6 分 由 | PC |?| BC | 得 c 2 ? ( y0 ? ?b) 2 ? (? ? 1) 2 b 2 ??8 分

b2 2 2 ? b ,从而 b 2 ? ( ? ? ) 2 b 2 ? (? ? 1) 2 b 2 ??10 分 由(Ⅰ)得 y 0 ? a 2 2
即1 ? (

2 2? 2 ??12 分 ? ? ) 2 ? (? ? 1) 2 ??11 分,解得, ? ? ? 2 4
1 或x ? ?1 ??2 分 3

21.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x 2 ? 2x ? 1 ??1 分 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ?

x
f ?( x) f ( x)
??3 分

(0 ,

1 ) 3

1 3
0 极小值

1 ( , 1) 3
+ ↗

- ↘

1 5 5 f (0) ? 0 , f (1) ? 1 , f ( ) ? ? ,所求值域为 [? , 1) ??4 分 3 27 27 (Ⅱ) “曲线 y ? f ( x) 有且仅有一条平行于直线 y ? x 的切线” ,有两种情况:其
一,曲线 y ? f ( x) 有且仅有一条斜率为 1 的切线,且这条切线不是直线 y ? x ;其二, 曲线 y ? f ( x) 有两条斜率为 1 的切线,且其中一条为直线 y ? x 。 ①若 f / ( x) ? 3x 2 ? 2 x ? a ? 1仅有一个实根,则 2 2 ? 3 ? 4 ? (a ? 1) ? 0 ??5 分,

解得 a ?

4 4 1 ??6 分,此时由 f / ( x) ? 3 x 2 ? 2 x ? ? 1 得 x ? ? ,斜率为 1 的切线为 3 3 3

y ? x?

1 ,符合题意??7 分 27

② 若 y ? x 是 曲 线 y ? f ( x ) 的 一 条 切 线 , 设 切 点 为 ( x0 , x0 ) , 则

1 ? x0 ? ? 3 2 ? ? x ? 0 x ? x ? ax ? x ? ? ? 0 0 0 0 0 2 ??8 分,解得 ? 或? ??9 分 ? 2 a ? 1 5 ? 3 x ? 2 x ? a ? 1 ? ?a ? 0 ? 0 ? 4 ?
当 a ? 1 时, f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x ,曲线 y ? f ( x) 的斜率为 1 的切线是 y ? x 与

y ? x?

4 ,符合题意??11 分 27

当a ?

5 5 时, f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x ,曲线 y ? f ( x) 的斜率为 1 的切线是 y ? x 与 4 4

y ? x?

1 ,符合题意。 54 5 4 ? 5 4? , 或 a 的取值范围为 ? 1 , , ? ??12 分 4 3 ? 4 3? AB BC ? ??3 分, DB BA

综上所述, a ? 1 ,

22、求解与证明: (Ⅰ)根据弦切角定理,∠BAC=∠BDA,∠ACB=∠DAB??1 分
∴△ABC∽△DBA??2 分,则

故 AB2 ? BC ? BD ? 50 ??4 分, AB ? 5 2 ??5 分

(Ⅱ)根据切割线定理,知 CA2=CB?CF,DA2=DB?DE??6 分
两式相除,得

CA 2 CB CF (*)??7 分 ? ? DA2 DB DE

AC AB 5 2 2 CA 2 1 ? ? ? , ? ??9 分 DA DB 10 2 DA2 2 CB 5 1 CF ? ? ,由(*)得 ? 1 , CF ? DE ??10 分 又 DB 10 2 DE
由△ABC∽△DBA,得

23、解: (Ⅰ)由 ? ? 4cos? 得 ? 2 ? 4? cos? ??2 分 曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 4x ? 0 ??4 分 (Ⅱ)将 ?

? x ? 1 ? t cos? 2 代入圆的方程得 t ? 2t cos? ? 3 ? 0 ??5 分 y ? t sin ? ?

设 A 、 B 两点对应的参数分别为 t1 、 t 2 ,则 ?

?t1 ? t 2 ? 2 cos? ??6 分 ? t1t 2 ? ?3
? 4 cos2 ? ? 12 ? 14 ??8 分

? AB ? t1 ? t 2 ?

?t1 ? t 2 ?2 ? 4t1t 2

4cos2? ? 2 , cos? ? ?
24、解:(Ⅰ)由 ?

? 3? 2 ??9 分,又 0 ? ? ? ? ,? ? ? 或 ??10 分 4 4 2

?x ? 4 得 x ? 4 ??2 分 ?(2 x ? 1) ? ( x ? 4) ? 0

? 1 ?? ? x ? 4 由? 2 得 1 ? x ? 4 ??4 分 ? ?(2 x ? 1) ? ( x ? 4) ? 0

1 ? ?x ? ? 由? 得 x ? ?5 ??5 分(上述三步,对任何两个 2 ? ?? (2 x ? 1) ? ( x ? 4) ? 0
每个 2 分) 综上所述,原不等式的解集为 (?? , ? 5) ? (1 , ? ?) ??6 分 (Ⅱ)令 f ( x) ? 3 | x ? 4 |?| 2 x ? 1 | ?2 | x ? 4 |?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 8 |

?| (2 x ? 1) ? (2 x ? 8) |? 9 ??8 分
等号当且仅当 (2 x ? 1)(2 x ? 8) ? 0 ,即 x ? ?

1 或 x ? 4 时成立??9 分 2

m 的取值范围为 (?? , 9] ??10 分.


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