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江苏省奔牛高级中学2012-2013学年第一学期高三第一次学情调研考试文科数学


2012-2013 学年度第一学期高三第一次学情调研考试文科数学
一:填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请把答案直接写在横线上) 1.设全集 S= ?? 2 , ? 1, 0 ,1, 2 ?, 集合 T ? ?? 1, 0 ,1?, 则 C s ( S ? T ) =
2



. ▲ 条

r />
2.已知命题 p : a ? A ? ?x x ? x ? 0 ?; 命题 q : a ? B ? ?x x ? 2 ? , 那么 p 是 q 的 件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要” 、 、 、 )

3. 在等比数列 { a n } 中,如果 a 3 和 a 5 是一元二次方程 x ? 5 x ? 4 ? 0 的两个根,那么
2

a 2 a 4 a 6 的值为


(x
2

. ▲ .

4.函数 y ? log

1 2

? 3 x ? 2 ) 的增区间是

5.已知数列{an}成等差数列,Sn 表示它的前 n 项和,且 a1+a3+a5=6,S4=12.则数列{an}的 通项公式 an= ▲ . 6.在△ABC 中,A= 6 0 ,b=1,其面积为 3 ,则 ? A B C 外接圆的半径为
2

?





7.定义在(-1,1)上的函数 f(x)=-5x+sinx,如果 f(1-a)+f(1-a )>0,则实数 a 的取 值范围为 ▲ .

8. 已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等式 f(x)>-2x 的解集为(1,3).若方程 f(x)+6a =0 有两个相等的根,则实数 a= ▲ . 9.设 O M = ? 1,
?
??? ???? ? ???? ?

?

???? ??? ???? ? ? 1? ? , O N =(0,1),O 为坐标原点,动点 P(x,y)满足 0≤ O P ? O M ≤1, 2?

0≤ O P ? O N ≤1,则 z=y-x 的最小值是





10.设周期函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,若 f ( x ) 的最小正周期为 3,且满足 f (1) >- 2, f ( 2 ) = m ? m ,则 m 的取值范围是
2




S 10 S5 ? 3, 则
S 15 S5

* 11. S n 表示等比数列 { a n }( n ? N ) 设 的前 n 项和, 已知

?



.

5 12.已知{an}是首项 a1=- ,公差为 d 的等差数列,它的前 n 项和为 Sn,S4=2S2+4,bn 2 1+an = . an 则当 b n 取得最大值是,n= ▲ . 13.若不等式 a+
x ?1
2

≥2

lo g 2 x

在 x∈(

1 2

,2)上恒成立,则实数 a 的取值

x

范围为 ▲ . 14. 如图放置的等腰直角三角形 ABC 薄片(∠ACB= 9 0 ? , =2)沿 x 轴滚动, AC
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设顶点 A(x,y)的轨迹方程是 y= f ( x ) ,则 f ( x ) 在其相邻两个零点间的图象与 x 轴所围区 域的面积为 ▲ . 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.在 ? ABC 中, a , b , c 分别是角 A、B、C 的对边, m ? ( 2 b ? c , cos C ), n ? ( a , cos A ) , 且 m // n . (1)求角 A 的大小; (2)求 y ? 2 sin
? ?
? ?

2

B ? cos(

?
3

? 2 B ) 的值域.

16.设命题 p: 实数 x 满足 x

2

? ?x -x-6≤0, -4ax+3a <0, 其中 a>0; 命题 q: 实数 x 满足? 2 ? ?x +2x-8>0.
2

2

(1)若 a=1,且 q∧p 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.
? ?

17.已知函数 f(x)=x|x -3|,x∈[0,m]其中 m∈R,且 m>0. (1)若 m<1,求证:函数 f(x)是增函数。 (2)如果函数 f(x)的值域是[0,2] ,试求 m 的取值范围。 (3)若 m ? 1 ,试求函数 f(x)的值域。

2

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18。 如图扇形 AOB 是一个观光区的平面示意图, 其中∠AOB 的圆心角为

2? 3

, 半径 OA 为 1Km,

为了便于游客观光休闲, 拟在观光区内铺设一条从入口 A 到出口 B 的观光道路, 道路由圆弧 AC、线段 CD 及线段 BD 组成。其中 D 在线段 OB 上,且 CD//AO,设∠AOC=θ , 一. 用θ 表示 CD 的长度,并写出θ 的取值范围。 二. 当θ 为何值时,观光道路最长?

19.已知函数 f ( x ) ? e ? 2 x ? 3 x .
x 2

(1)求曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)求证函数 f ( x ) 在区间[0,1]上存在唯一的极值点 (3)当 x ? 范围.
1 2 时 , 若关于 x 的不等式 f ( x ) ? 5 2 x ? ( a ? 3 ) x ? 1恒成立 , 试求实数 a 的取值
2

20 定义:若数列 ? A n ? 满足 A n ? 1 ? A n ( n ? N ) ,则称数列 ? A n ? 为“平方递推数列” 。已知
2 *

数列 ?a n ? 中, a 1 ? 2 , 点 ( a n , a n ? 1 ) 在函数 f ( x ) ? 2 x ? 2 x 的图象上,
2

(1)证明:数列 ?2 a n ? 1? 是“平方递推数列” ,且数列 ?lg( 2 a n ? 1)? 为等比数列。 (2) (1) “平方递推数列” 设 中的 的前 n 项之积为 T n , 即 T n ? ( 2 a 1 ? 1)( 2 a 2 ? 1) ? ( 2 a n ? 1) , 求数列 ?a n ? 的通项及 T n 关于 n 的表达式。
l g (3) b n ? o 记
( 2 a n ?1)

Tn , 求数列 ?b n ? 的前 n 项之和 S n , 并求使 S n ? 2012 的 n 的最小值。

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2013 届高三第一学期第一次学情调研文科数学答案
1. ?? 2 , 2 ? 2。充分不必要 8。 ?
1 5

3。 ? 8

4。 (?? ,1)

5。-2n+8 6。

39 3

7. (1, 2 ) 12.4
?

9。-2

10。-1<m<2

11。7

13。 a ? 1
?

14。2+4 ? 4′

15. (1)由 m // n 得 ( 2 b ? c ) ? cos A ? a cos C ? 0 由正弦定理得 2 sin B cos A ? sin C cos A ? sin A cos C ? 0
? 2 sin B cos A ? sin( A ? C ) ? 0 ? 2 sin B cos A ? sin B ? 0

6′
1 2 ,? A ? sin 2 B

? A , B ? ? 0 , ? ? ? sin B ? 0 , cos A ?

?
3

8′

(2) y ? sin
1 2

2

B ? cos

?
3

cos 2 B ? sin

?
3

=1 ?

cos 2 B ?

3 2

sin 2 B

10′

= sin( 2 B ?

?
6

)?1 2? 3 ??

12′
?
6
?1 ? ? y ? ? ,2 ? ?2 ?

由(1)得 0 ? B ?
?

? 2B ?

?
6

?

7? 6

? sin( 2 B ?

? 1 ? ) ? ? ? ,1 ? 6 ? 2 ?

14′

16. 解:若命题 p 为真,则 a ? x ? 3 a ; 若命题 q 为真,则 2 ? x ? 3 。
?1 ? x ? 3 ?2 ? x ? 3

3分 6分

(1)当 a=1,且 q∧p 为真,则 ?
? ?

? 2 ? x ? 3

8分

(2)因为 p 是 q 的充分不必要条件,所是 q 是 p 的充分不必要条件
?q ? p ?a ? 2 ? ? ? 1? a ? 2 ?p ? q ?3a ? 3

即?

14 分

17.(本题 15 分)

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(3)当 1 ? m ? 2 时,f(x)在[0,m]的值域为[0,2] 当 m>2 时,f(x)在[0,m]的值域为 [ 0 , m ? 3 m ] 18.解: (1)在 ? COD 中,由正弦定理得
CD sin ? COD ? OD sin ? DCO ?
3

12 分 15 分
CO sin ? CDO

?2 分

又因为 CD // AO , CO ? 1, ? AOC ? ? 所以 CD ? cos ? ?
1 3
3 2

sin ? , OD ?

2 3

sin ?

? OD ? OB ,? s i ? ? n

,? 0 ? ? ?

?
3

???????????????4 分
?
3

所以

CD ? cos ? ?

1 3

sin ? , ? ? ( 0 ,

) ?????????????7 分

(2)设道路长度为 L (? ), 则 L (? ) ? cos ? ?

1 3

sin ? ? ? ? 1, ? ? ( 0 ,

?
3

) ????9 分

L (? ) ? ? sin ? ?
'

3 3

cos ? ? 1, 令 L (? ) ? 0 , 得 ? ?
'

?
6

???????????11 分

列表如下:
'

?
L (? )
L (? )

(0,

?
6

)

?
6

(

? ?
, 6 3

)

+ 递增

0 极大

- 递减

所以当 ? ?

?
6

时, L ( ? ) 取得最大值。?????????????????14 分

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即当 ? ?

?
6

时,观光道路最长。?????????????????????15 分
x

19.解: (1) f ?? x ? ? e ? 4 x ? 3 , 则 f ??1 ? ? e ? 1 ,????1 分 又 f ?1 ? ? e ? 1 ,
? 曲线 y ? f ? x ?在点 ?1, f ?1 ?? 处的切线方程为 y ? e ? 1 ? ?e ? 1 ?? x ? 1 ?, 即 ?e ? 1 ? x ? y ? 2 ? 0 ??3 分
0 (2)? f ??0 ? ? e ? 3 ? ? 2 ? 0 , f ??1 ? ? e ? 1 ? 0 ,? f ??0 ? ? f ??1 ? ? 0 , ?????5 分

x 令 h ? x ? ? f ?? x ? ? e ? 4 x ? 3 , 则 h ? ? x? ?

x

e ? 4 ? 0? ,

?f ?

x ?在 ?

0? , 上 单 调 递 1

增,????7 分
? f ? ? x ?在 ?0, 上存在唯一零点,? f ? x ?在 ?0 ,1? 上存在唯一的极值点???9 分 1?

(3)由 f ? x ? ?

5 2

x ? ? a ? 3 ? x ? 1得 e ? 2 x ? 3 x ?
2 x 2

5 2

x ? ?a ? 3 ?x ? 1 ,
2

即 ax ? e ?
x
x

1 2

x ? 1,? x ?
2

1 2

e ?
x

1 2 x

x ?1
2

,? a ?
e
x

,??????????12 分
1 2 x ?1
2

令 g ?x ? ?

e ?

1 2 x

x ?1
2

, 则 g ?? x ? ?
2

? x ? 1? ?
x
2

,

令? ?x ? ? e
? x ? 1

x

? x ? 1? ?

1 2

x ? 1, 则 ? ? ? x ? ? x e ? 1
x

?

?

?1 ? ?1? 7 1 ,? ? ? ? x ? ? 0 ,? ? ? x ?在 ? , ? ? 上单调递增,? ? ? x ? ? ? ? ? ? ? ? e ? 0, 2 ?2 ? ?2? 8 2
1

?1 ? ?1? 因此 g ? ? x ? ? 0 , 故 g ? x ?在 ? , ?? ? 上单调递增,则 g ? x ? ? g ? ? ? ?2 ? ?2?

e2 ?

1

?1 ?2 e?

8 1 2

9 4



? a 的取值范围是 a ? 2 e ?
2

9 4

????????????16 分
2 2

20 解: (1)由条件 a n ? 1 ? 2 a n ? 2 a n , 得 2 a n ? 1 ? 1 ? 4 a n ? 4 a n ? 1 ? ( 2 a n ? 1)

所以 ?b n ? 是“平方递推数列”……………………………………………2 分
? lg b n ? 1 ? 2 lg b n

? lg( 2 a 1 ? 1) ? lg 5 ? 0 ,

lg( 2 a n ? 1 ? 1) lg( 2 a n ? 1)

? 2

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? ?lg( 2 a n ? 1) ? 是等比数列。……………………………………………5 分

(2)? lg( 2 a 1 ? 1) ? lg 5 ,? lg( 2 a n ? 1) ? 2
? 2an ? 1 ? 5
2
n ?1

n ?1

lg 5

,? a n ?

1 2

(5

2

n ?1

? 1) ………………………………………7 分

? lg T n ? lg( 2 a 1 ? 1) ? lg( 2 a 2 ? 1) ? ? ? lg( 2 a n ? 1) ?
2 ?1
n

lg 5 ? (1 ? 2 ) 1? 2

n

? (2

n

? 1) lg 5

? Tn ? 5

……………………………………………10 分
lg T n ? (2
n

(3) b n ?

? 1) lg 5
n ?1

lg( 2 a n ? 1)

?

2

n

?1
n ?1

2

lg 5

2

1 n ?1 ? 2?( ) 2

? sn

1 n 1? ( ) 1 n? 1 n ? ? 2 n ?1 ? 2 ? 2 n ? ?1 ? ? ( ) ? ? ? ( ) ? 2 n ? 2 ?1 ? ( ) ? ? 2 n ? 2 ? 2 ( ) ? ? 2n ? 1 2 2 2 2 ? 2 ? ? ? 1? 2 1 1 1

………………………………………………………………………………………………13 分 由 s n ? 2012 , 得 2 n ? 2 ? 2 ( ) ? 2012 , n ? ( ) ? 1007
n n

1

1

2
1
n

2
2 1

当 n ? 1006 时, n ? ( ) ? 1007 ; 当 n ? 1007 时, n ? ( ) ? 1007 ;
n

2

? n 的最小值为 1007。……………………………………16 分

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