kl800.com省心范文网

考点6 导数、定积分 2010


圆学子梦想 铸金字品牌

温馨提示: 此题库为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观 看比例,关闭 Word 文档返回原板块。

考点 6
1.(2010 ·海南高考理科·T3)曲线 y ? (A) y ? 2 x ? 1 (B) y ? 2 x ? 1

导数、定积分
x 在点

? ?1, ?1? 处的切线方程为( x?2
(C) y ? ?2 x ? 3 ) (D) y ? ?2 x ? 2

【命题立意】本题主要考查导数的几何意义,以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数,解出斜率,然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选 A.因为 y? ?

2 ,所以,在点 ? ?1, ?1? 处的切线斜率 k ? y? ( x ? 2) 2

x ??1

?

2 ?2, (?1 ? 2) 2

所以,切线方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 y ? 2 x ? 1 ,故选 A. 2.(2010·山东高考文科·T8)已知某生产厂家的年利润 y (单位:万元)与年产量 x (单位:万件) 的函数关系式为 y ? ? (A) 13 万件 (C) 9 万件

1 3 x ? 81x ? 234 ,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( 3
(B) 11 万件 (D) 7 万件



【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题,考查了考生的分析问题解决问题的能力和运算求 解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选 C. y ' ? ? x 2 ? 81 ,令 y? ? 0 得 x ? 9 或 x ? ?9 (舍去) ,当 x ? 9 时 y ' ? 0 ;当 x ? 9 时 y ' ? 0 , 故当 x ? 9 时函数有极大值,也是最大值,故选 C. 3.(2010·山东高考理科·T7)由曲线 y= x ,y= x 围成的封闭图形面积为( (A)
2
3



1 12

(B)

1 4

(C)

1 3

(D)

7 12

【命题立意】本题考查定积分的基础知识,由定积分求曲线围成封闭图形的面积,考查了考生的想象能力、 推理论证能力和运算求解能力. 【思路点拨】先求出曲线 y= x ,y= x 的交点坐标,再利用定积分求面积. 【规范解答】选 A.由题意得: 曲线 y= x ,y= x 的交点坐标为(0,0),(1,1),故所求封闭图形的面积为
-12
3

2

3

圆学子梦想 铸金字品牌
2 3 ?1 ( 0 x -x )dx=

1 1 1 ?1- ?1= ,故选 A. 3 4 12 4 上,? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? e ?1
x

4.(2010·辽宁高考理科·T10)已知点 P 在曲线 y= 的取值范围是( (A)[0, ) (B) [

? ) 4

? ?

, ) 4 2

(C) (

? 3?
2 4 ,

]

(D) [

3? ,? ) 4

【命题立意】本题考查了导数的几何意义,考查了基本等式,函数的值域,直线的倾斜角与斜率. 【思路点拨】先求导数的值域,即 tan ? 的范围,再根据正切函数的性质求 ? 的范围. 【规范解答】选 D.

, , , , ,

5.(2010·湖南高考理科·T4) (A) ?2ln 2 (B) 2ln 2

?

4

2

1 dx 等于( x

) , , , , (D) ln 2 ,

(C) ? ln 2

【命题立意】考查积分的概念和基本运算.

1 的原函数. x 41 dx 4 ? 2 x 【规范解答】选 D . =(lnx+c) =(ln4+c)-(ln2+c)=ln2. 2
【思路点拨】记住 【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.

, , , , ,

6.(2010·江苏高考·T8)函数 y=x (x>0)的图像在点(ak,ak )处的切线与 x 轴的交点的横坐标 为 ak+1, 其中k ? N ,若 a1=16,则 a1+a3+a5 的值是___________. 【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容. 【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数 y=x (x>0)的图像在点(ak,ak )处的切线的斜率,然后求得切线 方程,再由 y ? 0 ,即可求得切线与 x 轴交点的横坐标. 【规范解答】由 y=x (x>0)得, y? ? 2 x ,
2 2 2

2

2

?

-2-

圆学子梦想 铸金字品牌 所以函数 y=x (x>0)在点(ak,ak )处的切线方程为: y ? ak ? 2ak ( x ? ak ),
2

2

2

当 y ? 0 时,解得 x ? 所以 ak ?1 ? 【答案】21

ak , 2

ak , a1 ? a3 ? a5 ? 16 ? 4 ? 1 ? 21 . 2

7.(2010·江苏高考·T14)将边长为 1m 正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是 梯形,记 S ?
2 (梯形的周长) ,则 S 的最小值是____ ____. 梯形的面积

【命题立意】 本题考查函数中的建模在实际问题中的应用,以及等价转化思想. 【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为 x ,然后用 x 分别表示梯形的周长和面积,从而将 S 用 x 表 示出来,利用函数的观点解决. 【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为 x , 则: S ?

(3 ? x) 2 4 (3 ? x) 2 ? ? (0 ? x ? 1) 2 1 3 3 1? x ? ( x ? 1) ? ? (1 ? x) 2 2

方法一:利用导数的方法求最小值.

4 (3 ? x) 2 4 (2 x ? 6) ? (1 ? x 2 ) ? (3 ? x) 2 ? ( ?2 x) ? S ( x) ? ? ? , S ( x) ? 2 (1 ? x 2 ) 2 3 1? x 3

1 S ?( x) ? 0, 0 ? x ? 1, x ? , 3 1 1 当 x ? (0, ] 时, S ?( x) ? 0, 递减;当 x ? [ ,1) 时, S ?( x) ? 0, 递增; 3 3
故当 x ?

32 3 1 时,S 取最小值是 . 3 3

方法二:利用函数的方法求最小值 令 3 ? x ? t , t ? (2,3), ? ( , ) ,则: S ?

1 t

1 1 3 2

4 t2 4 1 ? 2 ? ? 8 3 ?t ? 6t ? 8 3 ? ? 6 ?1 t2 t

故当 ?

1 t

32 3 3 1 . , x ? 时,S 取最小值是 3 8 3

-3-

圆学子梦想 铸金字品牌 【答案】

32 3 3

【方法技巧】函数的最值是函数最重要的性质之一,高考不但在填空题中考查,还会在应用题、函数导数 的综合解答题中考查.高中阶段,常见的求函数的最值的常用方法有:换元法、有界性法、数形结合法、 导数法和基本不等式法. 8.(2010·陕西高考理科·T13)从如图所示的长方形区域内任取一个 点 M(x,y),则点 M 取自阴影部 分的概率 为 .

【命题立意】本题考查积分、几何概型概率的简单运算,属送分题. 【思路点拨】由积分求出阴影部分的面积即可求解. 【规范解答】阴影部分的面积为 S阴影 ?

? 3x dx ? x
2 0

1

31 0

? 1. 所以点 M 取自阴影部分的概率 为

P?

S阴影 1 1 ? ? . S长方形 3 ?1 3
1 3

【答案】

9. (2010 ·海南高考理科·T13)设 y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数,且恒有 0≤f(x) ≤1,可以用随机 模拟方法近似计算积分

?

1

0

f ( x)dx ,先产生两组(每组 N 个)区间[0,1]上的均匀随机数 x1 , x2 ?, xN 和

y1 , y2 ?, y N ,由此得到 N 个点 ( xi , yi ) (i=1,2,?,N),再数出其中满足 yi ? f ? x i ? (i=1,2,?,N)的点数 N1 ,那么由随机模拟方法可得积分 ? f ( x)dx 的近似值为
0 1

.

【命题立意】本题主要考查了定积分的几何意义以及几何概型的计算公式. 【思路点拨】由随机模拟想到几何概型,然后结合定积分的几何意义进行求解. 【规范解答】由题意可知, x, y 所有取值构成的区域是一个边长为 1 的正方形,而满足 yi ≤ f ( xi ) 的点

( xi , yi ) 落在 y=f(x)、 y ? 0 以及 x ? 1 、 x ? 0 围成的区域内,由几何概型的计算公式可知 ? f ( x)dx 的近
0

1

似值为

N1 . N
-4-

圆学子梦想 铸金字品牌 【答案】

N1 N
k 2 ( k ≥0). x 2 ,

10.(2010·北京高考理科·T18)已知函数 f ( x )=ln(1+ x )- x +

(1)当 k =2 时,求曲线 y = f ( x )在点(1, f (1))处的切线方程; (2)求 f ( x )的单调区间. 【命题立意】本题考查了导数的应用,考查利用导数求切线方程及单调区间.解决本题时一个易错点是忽 视定义域. 【思路点拨】 (1)求出 f '(1) ,再代入点斜式方程即可得到切线方程; (2)由 k 讨论 f '( x) 的正负,从而确 定单调区间. 【规范解答】 (1)当 k ? 2 时, f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ? x , f '( x) ?
2

1 ?1 ? 2x 1? x

由于 f (1) ? ln 2 , f '(1) ?

3 , 2

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为

3 y ? ln 2 ? ( x ? 1) , 2
即 3x ? 2 y ? 2ln 2 ? 3 ? 0 . (2) f '( x) ?

1 x(kx ? k ? 1) , x ? (?1, ??) . ? 1 ? kx ? 1? x 1? x x 当 k ? 0 时, f '( x) ? ? . 1? x
所以,在区间 (?1,0) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 (0, ??) 上, f '( x) ? 0 . 故 f ( x) 的单调递增区间是 (?1,0) ,单调递减区间是 (0, ??) .

1? k ) k ? 0 ,得 x ? 0 , x ? 1 ? k ? 0 , 当 0 ? k ? 1时,由 f '( x) ? 1 2 k 1? x 1? k 1? k 所以,在区间 (?1,0) 和 ( ) 上, f '( x) ? 0 , , ??) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 (0, k k 1? k 1? k 故 f ( x) 的单调递增区间是 (?1,0) 和 ( ). , ??) ,单调递减区间是 (0, k k kx( x ?
当 k ? 1 时, f '( x) ?

x2 1? x

故 f ( x) 的单调递增区间是 (?1, ??) .
-5-

圆学子梦想 铸金字品牌

1? k ) k ? 0 ,得 x ? 1 ? k ? (?1, 0) , x ? 0 . 当 k ? 1 时, f '( x) ? 2 1 k 1? x 1? k 1? k 所以在区间 (?1, , 0) 上, f '( x) ? 0 ) 和 (0, ??) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 ( k k 1? k 1? k 故 f ( x) 的单调递增区间是 (?1, , 0) ) 和 (0, ??) ,单调递减区间是 ( k k kx( x ?
【方法技巧】 (1) y ? f ( x) 过 ( x0 , f ( x0 )) 的切线方程为 y ? f ( x0 ) ? f '( x0 )( x ? x0 ) . (2)求单调区间时要在定义域内讨论 f '( x) 的正负. 11.(2010·安徽高考文科·T20)设函数 f ? x ? ? sin x ? cos x ? x ? 1, 0 ? x ? 2? ,求函数

f ? x ? 的单调区间与极值.
【命题立意】本题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性与极值的方法,考查考生运算 能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力. 【思路点拨】对函数 f ( x) 求导,分析导数 f ?( x) 的符号情况,从而确定 f ( x) 的单调区间和极值. 【规范解答】 解:由f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2? ,知f?( x) ? 1 ? 2sin( x ?

?

) 4 ,

x
f ?( x) f ( x)

? 0, ? ?
+

?
0
极大值

? 3? ? ?? , ? 2 ? ?
-

3? 2
0 极小值

? 3? ? ? , 2? ? ? 2 ?
+

?

?

?

因此,由上表知f(x)的单调递增区间是(0,? )与(
极小值为f( 3? 3? )= ,极大值为f(? )=? ? 2 . 2 2

3? 3? , 2? ),单调递减区间是(?, ) 2 2 ,

【方法技巧】利用导数研究函数的单调性和极值是解决函数单调性、极值问题的常用方法, 简单易行,具体操作流程如下: (1)求导数 f ( x) ;
-6'

圆学子梦想 铸金字品牌 (2)求方程 f ( x) ? 0 的全部实根;
'

(3)列表,检查 f ( x) 在方程 f ( x) ? 0 的根左、右的值的符号;
' '

(4)判断单调区间和极值. 12.(2010·北京高考文科·T18) 设函数 f ( x) ? 的两个根分别为 1,4. (1)当 a=3 且曲线 y ? f ( x) 过原点时,求 f ( x) 的解析式; (2)若 f ( x) 在 (??, ??) 无极值点,求 a 的取值范围. 【命题立意】本题考查了导数的求法,函数的极值,二次函数等知识. 【思路点拨】(1)由 f ( x) ? 9 x ? 0 的两个根及 y ? f ( x) 过原点,可解出 b, c, d ;
'

a 3 a 0) ? 0) ,且方程 f ' ( x) ? 9 x ? 0 x ? bx 2 ? cx ? d, (a(? 3

(2) f '( x) 是开口向上的二次函数, f ( x) 无极值点,则 f '( x) ? 0 恒成立. 【规范解答】由 f ( x) ?

a 3 x ? bx 2 ? cx ? d 得 f ?( x) ? ax 2 ? 2bx ? c , 3
(*)

因为 f ?( x) ? 9 x ? ax ? 2bx ? c ? 9 x ? 0 的两个根分别为 1,4,所以
2

(1)当 a ? 3 时, (*)式为 解得 b ? ?3, c ? 12 , 又因为曲线 y ? f ( x) 过原点,所以 d ? 0 , 故 f ( x) ? x ? 3x ? 12 x .
3 2

(2) 由于 a>0,所以 f ( x) ? 在(-∞,+∞)内恒成立.

a 3 2 (-∞, +∞) 内无极值点等价于 f ?( x) ? ax ? 2bx ? c ? 0 x ? bx 2 ? cx ? d 在 3

由(*)式得 2b ? 9 ? 5a, c ? 4a . 又 ? ? (2b) ? 4ac ? 9(a ? 1)(a ? 9) ,
2

解?

?a ? 0 ?? ? 9( a ? 1)( a ? 9) ? 0

得 a ? ?1,9?

即 a 的取值范围为 ?1, 9 ?

-7-

圆学子梦想 铸金字品牌 【方法技巧】 (1)当 f '( x ) 在 x0 的左侧为正,右侧为负时, x0 为极大值点;当 f '( x) 在 x0 的左侧为负, 右侧为正时, x0 为极小值点. (2) 二次函数恒成立问题可利用开口方向与判别式来解决. y ? ax ? bx ? c (ɑ≠0) 恒大于 0, 则? ; ??0
2

?a ? 0 ?

?a ? 0 ; y ? ax 2 ? bx ? c (ɑ≠0)恒小于 0,则 ? ?? ? 0
13.(2010·安徽高考理科·T17)设 a 为实数,函数 f ? x ? ? e ? 2 x ? 2a, x ? R .
x

(1)求 f ? x ? 的单调区间与极值; (2)求证:当 a ? ln 2 ? 1且 x ? 0 时, e ? x ? 2ax ? 1 .
x 2

【命题立意】本题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调区间、求函数的极值、证明不等式, 考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力. 【思路点拨】(1)先分析 f ( x) 的导数 f ?( x) 的符号情况,从而确定 f ( x) 的单调区间和极值; (2) 设 g ( x) ? e ? x ? 2ax ? 1 ,把问题转化为:求证:当 a ? ln 2 ? 1且 x ? 0 时, g ( x) ? 0 .
x 2

【规范解答】 (1)? f ( x) ? e ? 2 x ? 2a ,? f ?( x) ? e ? 2 ,
x x

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln 2 ,

x
f ?( x) f ( x)

? ??, ln 2 ?
?

ln 2
0
极小值

? ln 2, ?? ?
?
?

?

? f ( x) 在 ? ??, ln 2 ? 上单调递减,在 ? ln 2, ?? ? 上单调递增;
当 x ? ln 2 时, f ( x) 取得极小值为 2 ? 2ln 2 ? 2a . (2)设 g ( x) ? e ? x ? 2ax ? 1 ,? g ?( x) ? e ? 2 x ? 2a ? f ( x) ,
x 2 x

由(1)问可知, g ?( x) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a 恒成立, 当 a ? ln 2 ? 1时,则 g ?( x) ? 0 恒成立,所以 g ( x) 在 R 上单调递增, 所以当 x ? 0 时, g ( x) ? g (0) ? 0 ,

-8-

圆学子梦想 铸金字品牌 即当 a ? ln 2 ? 1且 x ? 0 时, e ? x ? 2ax ? 1 .
x 2

【方法技巧】1、利用导数研究函数的单调性是解决函数单调性问题的常用方法,简单易行; 2、证明不等式问题,如证 f1 ( x) ? f 2 ( x) ,通常令 g ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ,转化为证明: g ( x) ? 0 . 14.(2010·天津高考文科·T20)已知函数 f(x)= ax3 ?

3 2 x ? 1( x ? R) ,其中 a>0. 2

(1)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; (2)若在区间 ? ?

? 1 1? , 上,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围. ? 2 2? ?

【命题立意】 本小题主要考查曲线的切线方程、 利用导数研究函数的单调性与极值、 解不等式等基础知识, 考查运算能力及分类讨论的思想方法. 【思路点拨】应用导数知识求解曲线的切线方程及函数最值. 【规范解答】 (1)当 a=1 时,f(x)= x ?
3

3 2 x ? 1 ,f(2)=3;f′(x)= 3x 2 ? 3x , f′(2)=6. 2

所以曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程为 y-3=6(x-2) ,即 y=6x-9. (2)f′(x)= 3ax ? 3x ? 3x(ax ? 1) .令 f′(x)=0,解得 x=0 或 x=
2

1 . a

以下分两种情况讨论: (1) 若 0 ? a ? 2,则

1 1 ? ,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: a 2
0 0 极大值

x f′(x) f(x)

? 1 ? 0? ?? , ? 2 ?
+

? 1? ? 0, ? ? 2?
-

?

?

1 ?5 ? a ? ? 0, f (? ) ? 0, ? ? ? ? 8 ? 1 1? 2 即? 当 x ? ? ? , ? 时,f(x)>0 等价于 ? ? 2 2? ? f ( 1 ) ? 0, ? 5 ? a ? 0. ? 2 ? 8 ? ?
解不等式组得-5<a<5.因此 0 ? a ? 2 . (2) 若 a>2,则 0 ?

1 1 ? .当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: a 2

-9-

圆学子梦想 铸金字品牌

x f′(x) f(x)

? 1 ? 0? ?? , ? 2 ?
+

0 0 极大值

? 1? ? 0, ? ? a?
-

1 a
0 极小值

?1 1? ? ,? ?a 2?
+

?

?

?

?5 ? a ? 1 >0, f(- )>0, ? ? ? 2 ? 8 ? 1 1? 当 x ? ? ? , ? 时,f(x)>0 等价于 ? 即? ? 2 2? ?f( 1 )>0, ?1- 1 >0. ? ? ? a ? 2a 2
解不等式组得

2 2 ? a ? 5或 a ? ? .因此 2<a<5. 2 2

综合(1)和(2) ,可知 a 的取值范围为 0<a<5. 15.(2010·山东高考文科·T21)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1(a ? R) . x

(1)当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)当 a ?

1 时,讨论 f ( x) 的单调性. 2

【命题立意】本题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力.考查分类讨论 思想、数形结合思想和等价变换思想. 【思路点拨】(1)根据导数的几何意义求出曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线的斜率; (2)直接利用函 数与导数的关系讨论函数的单调性,同时应注意分类标准的选择. 【规范解答】 (1) 当 a ? ?1 时,f ( x) ? ln x ? x ?

2 ? 1, x ? (0,??), x

所以

f ?? x? ?

x2 ? x ? 2 x2 ,

, 因此, f ? ? 2 ? ? 1 ,即曲线 y ? f ( x)在点(2,f (2))处的切线斜率为 1.
又 f (2) ? ln 2 ? 2, 所以曲线 y ? f ( x)在点(2,f (2)) 处的切线方程为 y ? (ln 2 ? 2) ? x ? 2,

即 x ? y ? ln 2 ? 0.
(2)因为 f ( x) ? ln x ? ax ?

ax 2 ? x ? 1 ? a 1? a 1 a ?1 , x ? (0,??) ,令 ? 1,所以 f ' ( x) ? ? a ? 2 ? ? x x x2 x
- 10 -

圆学子梦想 铸金字品牌

g ( x) ? ax 2 ? x ? 1 ? a, x ? (0,??),
(1) 当 a ? 0 时, g ( x) ? ? x ? 1, x ? ? 0, ?? ? , 所以 当 x ? ? 0,1? 时, g ? x ? >0,此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减; 当 x ? ?1, ?? ? 时, g ? x ? <0,此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增. (2) 当 a ? 0 时,由 f ? ? x ? ? 0 , 即

ax2 ? x ? 1 ? a ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ?

1 ?1 . a

1 时, x1 ? x2 , g ? x ? ? 0 恒成立,此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 在(0,+∞)上单调递减; 2 1 1 ② 当 0 ? a ? 时, ?1 ? 1 ? 0 , a 2
① 当a ?

x ? ? 0,1? 时, g ? x ? ? 0 ,此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减,

? 1 ? x ? ?1, ? 1? 时, g ? x ? <0,此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增, ? a ? ?1 ? x ? ? ? 1, ?? ? 时, g ? x ? ? 0 ,此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减, ?a ?
③ 当 a ? 0 时,由于

1 ?1 ? 0 , a

x ? ? 0,1? 时, g ? x ? ? 0 ,此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减, x ? ?1, ?? ? 时, g ? x ? <0,此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增.
综上所述: 当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减;函数 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增, 当a ?

1 时,函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递减, 2 1 ? 1 ? 时,函数 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减;函数 f ? x ? 在 ? 1, ? 1? 上单调递增; 2 ? a ?
?1 ? ? 1, ?? ? 上单调递减. ?a ?

当0 ? a ?

函数 f ? x ? 在 ?

【方法技巧】1、分类讨论的原因 (1)某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出; (2)数的运算:如除法运算中除式不为零,在实数集内偶次方根的被开方数为非负数,对
- 11 -

圆学子梦想 铸金字品牌 数中真数与底数的要求,不等式两边同乘以一个正数还是负数等; (3)含参数的函数、方程、不等式等问题,由参数值的不同而导致结果发生改变; (4)在研究几何问题时,由于图形的变化(图形位置不确定或形状不确定),引起问题的结 果有多种可能. 2、分类讨论的原则 (1)要有明确的分类标准; (2)对讨论对象分类时要不重复、不遗漏; (3)当讨论的对象不止一种时,应分层次进行. 3、分类讨论的一般步骤 (1)明确讨论对象,确定对象的范围; (2)确定统一的分类标准,进行合理分类,做到不重不漏; (3)逐段逐类讨论,获得阶段性结果; (4)归纳总结,得出结论. 16. (2010·陕西高考文科·T21)已知函数 f ( x) ?

x , g ( x) ? a ln x, a ? R.

(1)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 相交,且在交点处有相同的切线,求 a 的值及该切线的方程; (2)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,当 h( x ) 存在最小值时,求其最小值 ? ( a ) 的解析式; (3)对(2)中的 ? ( a ) ,证明:当 a ? (0, ??) 时, ? (a) ? 1. 【命题立意】本题将导数、不等式知识有机地结合在一起,考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数 求函数的最值问题,考查了分类讨论的数学思想以及解不等式的能力;考查了学生综合运用所学知识分析 问题、解决问题的能力. 【思路点拨】曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在交点处有相同的切线 ? 交点坐标 ? a 的值及该切线的方程;

? h( x) ? 利用导数法求 h( x) 的最小值 ? (a ) 的解析式 ? 利用单调性证明(3).
【规范解答】 (1) f ?( x) ?

1 2 x

, g ?( x) ?

a ( x ? 0), x

? x ? a ln x, 1 ? 2 由已知得: ? 1 a 解得a ? e, x ? e . 2 ? . ? ?2 x x
,切线的斜率为 k ? f ?(e2 ) ? ?两条曲线交点的坐标为(e2,e)

1 , 2e

- 12 -

圆学子梦想 铸金字品牌 所以切线的方程为 y ? e ? (2)由已知条件知 h( x) ?

1 ( x ? e2 ),即x ? 2ey ? e2 ? 0. 2e

x ? a ln x, ( x ? 0).

? h?( x) ?

1 2 x

?

a ? x

x ? 2a , 2x

①当 a >0 时,令 h?( x) ? 0 ,解得 所以当 0 <

x = 4a 2 ,

x<

4a 2 时, h?( x) ? 0 ,h(x)在(0, 4a 2 )上递减;
2

当 x> 4a 2 时, h?( x) ? 0 , h( x ) 在 (4a , ??) 上递增. 所以 x= 4a 2 是 h( x ) 在(0, +∞ )上的唯一极值点,且是极小值点,从而也是 h( x ) 的最小值点.

?最小值? (a) ? h(4a 2 ) ? 2a ? a ln(4a 2 ) ? 2a(1 ? ln(2a)).
②当 a ≤ 0 时, h?( x) ?

x ? 2a ? 0, h( x) 在(0,+∞)递增,无最 小值. 2x

故 (3)由(2)知 ? ?(a) ? ?2ln 2a ( , a ? 0) . 由 ? ?(a) ? ?2ln(2a) ? 0, 得0 ? a ? 由 ? ?(a) ? ?2ln(2a) ? 0, 得a ?

1 ; 2

1 ; 2 1 2

所以 ? (a)在(0, )上是增函数,在( , ??)上是减函数,

1 2

1 2 1 1 1 又 ? ( ) ? 2 ? (1 ? ln(2 ? )) ? 1. 2 2 2
所以 ? (a)的最大值为? ( ), 所以当 a ? (0, ??) 时, ? (a) ? 1. 17.(2010·陕西高考理科·T21)已知函数 f ( x) ?

x , g ( x) ? a ln x, a ? R.

(1)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 相交,且在交点处有相同的切线,求 a 的值及该切线的方程; (2)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,当 h( x ) 存在最小值时,求其最小值 ? ( a ) 的解析式; (3)对(2)中的 ? ( a ) 和任意的 a ? 0, b ? 0 ,证明:

? ?(

a ? b ? ?(a) ? ? ?(b) 2ab )? ? ? ?( ). 2 2 a?b
- 13 -

圆学子梦想 铸金字品牌 【命题立意】本题将导数、不等式知识有机地结合在一起,考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数 求函数的最值问题,考查了分类讨论的数学思想以及解不等式的能力;考查了学生综合运用所学知识分析 问题、解决问题的能力. 【思路点拨】曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在交点处有相同的切线 ? 交点坐标 ? a 的值及该切线的方程; 由 h( x ) ? 利用导数法求 h( x ) 的最小值 ? ( a ) 的解析式 ? 利用基本不等式证明(3). 【规范解答】 (1) f ?( x) ?

1 2 x

, g ?( x) ?

a ( x ? 0), x

? x ? a ln x, 1 ? 2 由已知得: ? 1 a 解得a ? e, x ? e . 2 ? . ? ?2 x x
,切线的斜率为 k ? f ?(e2 ) ? ?两条曲线交点的坐标为(e2,e) 所以切线的方程为 y ? e ? (2)由已知条件知 h( x) ?

1 , 2e

1 ( x ? e2 ),即x ? 2ey ? e2 ? 0. 2e

x ? a ln x, ( x ? 0).

? h?( x) ?

1 2 x

?

a ? x

x ? 2a , 2x

①当 a >0 时,令 h?( x) ? 0 ,解得 所以当 0 <

x = 4a 2 ,

x<

4a 2 时, h?( x) ? 0 ,h(x)在(0, 4a 2 )上递减;
2

当 x> 4a 2 时, h?( x) ? 0 , h( x ) 在 (4a , ??) 上递增. 所以 x= 4a 2 是 h( x ) 在(0, +∞ )上的唯一极值点,且是极小值点,从而也是 h( x ) 的最小值点.

?最小值? (a) ? h(4a 2 ) ? 2a ? a ln(4a 2 ) ? 2a(1 ? ln(2a)).
②当 a≤0 时, h?( x) ?

x ? 2a ? 0, h( x) 在(0,+∞)递增,无最 小值. 2x

故 (3)由(2)知 ? ?(a) ? ?2ln 2a ( , a ? 0) .

对任意的a ? 0, b ? 0,

- 14 -

圆学子梦想 铸金字品牌

?? ?(

a?b ) ? ?2 ln(a ? b) ? ?2 ln(2 ab ) ? ? ln(4ab), 2 ? ?(a ) ? ? ?(b) ?2 ln(2a) ? 2 ln(2b) ? ? ? ln(4ab), 2 2 2ab 4ab 4ab ? ?( ) ? ?2 ln( ) ? ?2 ln( ) ? ? ln(4ab), a?b a?b 2 ab a ? b ? ?(a) ? ? ?(b) 2ab 综上可得: ? ?( )? ? ? ?( ). 2 2 a?b

【方法技巧】不等式的证明方法 1.证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、 结论的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤, 技巧和语言特点. 2.在证明不等式前,要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法.通过等式 或不等式的运算,将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式,从而使原不等式得到证明;反之亦可从明 显的、熟知的不等式入手,经过一系列的运算而导出待证的不等式,前者是“执果索因” ,后者是“由因 导果” ,为沟通联系的途径,证明时往往联合使用分析法综合法,两面夹击,相辅相成,达到欲证的目的. 18. (2010· 湖南高考理科· T4) 已知函数 f ( x) ? x ? bx ? c(b, c ? R), 对任意的 x ? R , 恒有 f ( x) ? f ( x) .
2 '

(1)证明:当 x ? 0 时, f ( x) ? ( x ? c) ;
2

(2)若对满足题设条件的任意 b,c,不等式 f (c) ? f (b) ? M (c ? b ) 恒成立,求 M 的最小值.
2 2

【命题立意】以二次函数为载体,考查导数,不等式的证明,消元等知识.考查了等价转化的思想. 【思路点拨】 (1)在对任意的 x ? R ,恒有 f ( x) ? f ( x) 下可以得到 b,c 的关系,目标是证明当 x ? 0 时,
'

f ( x) ? ( x ? c) 2 ,其实是寻找条件和目标的关系,连接的纽带是 b 和 c 的关系.(2)恒成立,转化为求函
数的最值,而且是二元函数的最值的求法,没有等式的条件下常常用整体消元. 【规范解答】 (1)易知 f′(x)=2x+b.由题设,对任意的

b2 ? 1. x ? R,2 x ? b ? x ? bx ? c,即x ? (b ? 2) x ? c ? b ? 0 恒成立,所以(b-2) -4(c-b)≤0,从而 c≥ 4
2 2
2

于是 c≥1,且 c≥|b|,因此 2c-b=c+(c-b)>0. 故当 x≥0 时,有(x+c) -f(x)=(2c-b)x+c(c-1)≥0. 即当 x≥0 时, f ( x) ? ( x ? c) .
2
2

(2)由(1)知,c>|b|时,有 M≥

f (c) ? f (b) c 2 ? b 2 ? bc ? b 2 c ? 2b ? ? . b?c c2 ? b2 c2 ? b2
- 15 -

圆学子梦想 铸金字品牌

b c ? 2b 1 令t ? , 则 ? 1?t ?1, ? 2? . c b?c 1? t 1 3 而函数g (t ) ? 2 ? (?1 ? t ? 1)的值域是(-?,) . 1? t 2 3 因此,当c ?| b | 时,M 的取值集合为[ , ??) 2
当 c=|b|时,由(1)知,b=±2,c=2.此时 f(c)-f(b)=-8 或 0,c -b =0, 从而 f(c)-f(b)≤0,M 无最小值.综上所述,M 的最小值为
2 2

3 . 2

【方法技巧】求最值是高考中重点也是难点.解题的思路是,首先看变量的个数,如果是三个变量常有三 条路,一是利用柯西不等式、均值不等式和排序不等式,二是消元转化为二元再转化为一元,三是有时利 用几何背景解题.如果是两个变量常常有三条路可走,一是利用柯西不等式、均值不等式,二是消元转化 为一元函数,三是如果条件是不等式,常常也可以用数学规划.如果是一个变量,常用方法:基本函数模 型,单调性法和导数法. 19.(2010·辽宁高考文科·T21) 已知函数 f(x)=(a+1)lnx+ax +1. (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)设 a≤-2,证明:对任意 x1,x2 ? (0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|. 【命题立意】本题考查了函数的单调性与导数,求参数的取值范围,考查了分类讨论、转化等思想方法以 及运算推理能力. 【思路点拨】 (1)求导数,对参数分类,讨论导数的符号,判断单调性, (2)转化为等价命题,构造新函数 g(x)=f(x)+4x,通过 g(x)的单调性证明. 【规范解答】
2

- 16 -

圆学子梦想 铸金字品牌

【方法技巧】1.讨论函数的单调性要明确函数的定义域,一般用导数的方法,对参数分类做到不重不漏. 2、直接证明一个命题,不好证时可考虑证明它的等价命题. 20.(2010·辽宁高考理科·T21)已知函数 f ( x) ? (a ? 1) ln x ? ax ? 1 .
2

(1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)设 a ? ?1 .如果对任意 x1 , x2 ? (0,??) , ,求 a 的取值范围.

【命题立意】本题考查了函数的单调性与导数,求参数的取值范围,考查了分类讨论、转化等思想方法以 及运算能力. 【思路点拨】 (1)求导数,对参数分类,讨论导数的符号,判断单调性, (2)转化为等价命题,构造新函数 g(x)=f(x)+4x,分离参数,求 a 的范围. 【规范解答】

- 17 -

圆学子梦想 铸金字品牌

【方法技巧】 1、 讨论函数的单调性首先要明确函数的定义域,一般用导数的方法,对参数分类做到不重不漏. 2、 求参数的取值范围往往要分离变量,分离时一定要使分离后的式子有意义,如分母不为 0 等. 3、 直接证明一个命题,不好证时可考虑证明它的等价命题. 21.(2010·天津高考理科·T21)已知函数 f ( x) ? xe ( x ? R) . (1)求函数 f ( x) 的单调区间和极值; ( 2 )已知函数 y ? g ( x) 的图象与函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称,证明当 x ? 1 时,
?x

f ( x) ? g ( x).
(3)如果 x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,证明 x1 ? x2 ? 2 .

【命题立意】本小题主要考查导数的应用,利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力 及用函数思想分析解决问题的能力. 【思路点拨】利用导数及函数的性质解题. 【规范解答】 (1)f′ ( x) ? (1 ? x)e
?x

,令 f′(x)=0,解得 x=1,
- 18 -

圆学子梦想 铸金字品牌 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表 x f′(x) f(x) ( ??,1 ) + 1 0 极大值 ( 1, ?? ) -

?

?

所以 f(x)在( ??,1 )内是增函数,在( 1, ?? )内是减函数. 函数 f(x)在 x=1 处取得极大值 f(1)且 f(1)=

1 e.
x ?2

(2)由题意可知 g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x) e 令 F(x)=f(x)-g(x),即 F ( x) ? xe 于是 F '( x) ? ( x ? 1)(e
2 x ?2 ?x

,

? ( x ? 2)e x ?2 ,

? 1)e? x , ? 1 ? 0, 又e? x ? 0, 所以F ′(x)>0,从而函数 F(x)在[1,+∞)是增函数.

当 x>1 时,2x-2>0,从而 e
-1 -1

2x-2

又 F(1)= e ? e ? 0,所以x>1时,有 F(x)>F(1)=0,即 f(x)>g(x). (3)①

(x x ?1)( 1)(x x22 ? ?1) 1) ? ? 0, 0,由( 由( ? ?)及 )及f(x f(x11) )? ? f(x f(x22), ),则 则x x ?x x22 ? ?1. 1.与 与x x11 ? ?x x22矛盾。 矛盾。 若( 1 1 1? 1 1? ( x1( ? x2 x ? ? 0, )及 f(x ? 得 x1 x ? 与 x1 x ? x11)( ? 1)( ? 1) ?由( 0,由( f(x ) f(x ? f(x ), 得 ? x ?2矛盾。 x2矛盾。 ②若 ??1 ??)及 1) 1 2 ),2 2. 21) 1x 2 .与 1x
根据①②得 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 0, 不妨设x1 ? 1, x2 ? 1.

f(x2 ) > g(x2 ) ,又 g(x2 ) = f(2-x2 ) , 由 (2) 可知, 所以 f(x2 ) > f(2-x2 ) ,从而 f(x1 ) > f(2-x2 ) .因为 x2 ? 1 ,
所以 2 ? x2 ? 1 ,又由(1)可知函数 f(x)在区间(-∞,1)内是增函数,所以 x1 > 2 ? x2 ,即 x1 ? x2 >2. 22.(2010·江苏高考·T20)设 f ( x) 是定义在区间 (1,??) 上的函数,其导函数为 f ' ( x) .如果存在实数 a 和函数 h( x ) , 其中 h( x ) 对任意的 x ? (1,??) 都有 h( x ) >0, 使得 f ' ( x) ? h( x)( x ? ax ? 1) , 则称函数 f ( x)
2

具有性质 P(a ) . (1)设函数 f ( x) ? ln x ?

b?2 ( x ? 1) ,其中 b 为实数. x ?1

(i)求证:函数 f ( x) 具有性质 P (b) ; (ii)求函数 f ( x) 的单调区间. (2)已知函数 g ( x) 具有性质 P ( 2) ,给定 x1 , x2 ? (1, ??), x1 ? x2 , 设 m 为实数,
- 19 -

圆学子梦想 铸金字品牌

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ,且 ? ? 1, ? ? 1 ,
若| g (? ) ? g (? ) |<| g ( x1 ) ? g ( x 2 ) |,求 m 的取值范围. 【命题立意】本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨 论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力. 【思路点拨】(1)求出 f ' ( x) ,并将其表示为 f ' ( x) ? h( x)( x ? ax ? 1) 的形式,注意 h( x) ? 0 .
2

(2)利用(1)的结论求解. 【规范解答】 (1)(i) f '( x) ?

1 b?2 1 ? ? ( x 2 ? bx ? 1) , 2 x ( x ? 1) x( x ? 1)2 1 ? 0 恒成立, x( x ? 1) 2

∵ x ? 1 时, h( x) ?

∴函数 f ( x) 具有性质 P (b) .

b b2 (ii)(方法一)设 ? ( x) ? x 2 ? bx ? 1 ? ( x ? )2 ? 1 ? , ? ( x) 与 f ' ( x) 的符号相同. 2 4 2 b 当1 ? ? 0, ?2 ? b ? 2 时, ? ( x) ? 0 , f ' ( x) ? 0 ,故此时 f ( x) 在区间 (1,??) 上递增; 4
当 b ? ?2 时,对于 x ? 1 ,有 f ' ( x) ? 0 ,所以此时 f ( x) 在区间 (1,??) 上递增; 当 b ? ?2 时, ? ( x) 图像开口向上,对称轴 x ?

b ? ?1 ,而 ? (0) ? 1 ,所以当 x>1 时 2

? ?? ? (0) ?0 0 , ?00 ,所以此时 f ( x) 在区间 (1,??) 上递增; ? ( x)? ? (( xx ))? (0) , ff'('( xx ))?
当 b ? 2 时,? ( x) 图像开口向上,对称轴 x ?

b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 b , , ? 1 ,方程 ? ( x) ? 0 的两根为: 2 2 2

b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 2 ? 1, ? ? (0,1) 而 2 2 b ? b2 ? 4

b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 ) 时,? ( x) ? 0 , f ' ( x) ? 0 ,故此时 f ( x) 在区间 (1, ) 上递减;同理得: 当 x ? (1, 2 2

f ( x) 在区间 [

b ? b2 ? 4 , ??) 上递增. 2

综上所述,当 b ? 2 时, f ( x) 在区间 (1,??) 上递增;
2 2 当 b ? 2 时, f ( x) 在 (1, b ? b ? 4 ) 上递减; f ( x) 在 [ b ? b ? 4 , ??) 上递增.

2

2

- 20 -

圆学子梦想 铸金字品牌 (方法二)当 b ? 2 时,对于 x ? 1 , ? ( x) ? x 2 ? bx ? 1 ? x 2 ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1)2 ? 0 所以 f ' ( x) ? 0 ,故此时 f ( x) 在区间 (1,??) 上递增; 当 b ? 2 时,? ( x) 图像开口向上,对称轴 x ?

b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 b , , ? 1 ,方程 ? ( x) ? 0 的两根为: 2 2 2



b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 2 ? 1, ? ? (0,1) , 2 2 b ? b2 ? 4

当 x ? (1,

b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 ) 时,? ( x) ? 0 , f ' ( x) ? 0 ,故此时 f ( x) 在区间 (1, ) 上递减;同理得: 2 2 b ? b2 ? 4 , ??) 上递增. 2

f ( x) 在区间 [

综上所述,当 b ? 2 时, f ( x) 在区间 (1,??) 上递增;
2 2 当 b ? 2 时, f ( x) 在 (1, b ? b ? 4 ) 上递减; f ( x) 在 [ b ? b ? 4 , ??) 上递增.

2

2

(2)(方法一)由题意,得: g '( x) ? h( x)( x ? 2 x ? 1) ? h( x)( x ? 1)
2

2

又 h( x ) 对任意的 x ? (1,??) 都有 h( x ) >0, 所以对任意的 x ? (1,??) 都有 g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (1, ??) 上递增. 又 ? ? ? ? x1 ? x2 , ? ? ? ? (2m ? 1)( x1 ? x2 ) . 当m ?

1 , m ? 1 时, ? ? ? ,且 ? ? x1 ? (m ? 1) x1 ? (1 ? m) x2 , ? ? x2 ? (1 ? m) x1 ? (m ? 1) x2 , 2

若 ? ? x1 ? x2 ? ?,则g (? ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? g ( ? ) , ∴

, (不合题意) .

- 21 -

圆学子梦想 铸金字品牌

综合以上讨论,得所求 m 的取值范围是(0,1). (方法二) 由题设知,g ( x) 的导函数 g '( x) ? h( x)( x ? 2 x ? 1) , 其中函数 h( x) ? 0 对于任意的 x ? (1,??)
2

都成立.所以,当 x ? 1 时, g '( x) ? h( x)( x ? 1) ? 0 ,从而 g ( x) 在区间 (1,??) 上单调递增.
2

①当 m ? (0,1) 时,有 ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx1 ? (1 ? m) x1 ? x1 ,

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 ,得 ? ? ( x1 , x2 ) ,同理可得 ? ? ( x1 , x2 ) ,所以由 g ( x) 的单调
性知 g (? ) 、 g ( ? ) ? ( g ( x1 ), g ( x2 )) , 从而有| g (? ) ? g (? ) |<| g ( x1 ) ? g ( x 2 ) |,符合题设. ②当 m ? 0 时, ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 ,

? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ? (1 ? m) x1 ? mx1 ? x1 , 于 是 由 ? ? 1 ? ,?

及 1 g ( x) 的 单 调 性 知

g (? ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? g (? ) ,所以| g (? ) ? g (? ) |≥| g ( x1 ) ? g ( x2 ) |,与题设不符.
③当 m ? 1 时,同理可得 ? ? x1 , ? ? x2 ,进而得| g (? ) ? g (? ) |≥| g ( x1 ) ? g ( x 2 ) |,与题设不符. 因此综合①、②、③得所求的 m 的取值范围是(0,1) 23.(2010·浙江高考文科·T21)已知函数 f ( x) ? ( x ? a) ( x -b) (a, b ? R, a <b).
2

(1)当 a=1,b=2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点(2, f ? 2 ? )处的切线方程. (2)设 x1 , x2 是 f ( x) 的两个极值点, x3 是 f ( x) 的一个零点,且 x3 ? x1 , x3 ? x2 , 证明:存在实数 x4 ,使得 x1 , x2 , x3 , x4 按某种顺序排列后得等差数列,并求 x4 【命题立意】本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导数应用、等差数列等基础知识, 同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识. 【思路点拨】 (1)先求出 f ? ? 2 ? 再代入点斜式方程; (2)先找到 x1 , x2 , x3 ,观察它们之间的关系,从而确 定 x4 在等差数列中的位置. 【规范解答】(1)当 a=1,b=2 时, f ( x) ? ( x ?1) ( x ? 2) ,
2

因为 f ? (x)=(x-1)(3x-5),故 f ? (2)=1,f(2)=0, 所以 f(x)在点(2,0)处的切线方程为 y=x-2.
- 22 -

圆学子梦想 铸金字品牌 (2)因为 f ? (x)=3(x-a) (x-

a ? 2b a ? 2b ) ,由于 a<b.故 a< . 3 3 a ? 2b 所以 f(x)的两个极值点为 x=a,x= . 3 a ? 2b 不妨设 x1=a,x2= , 3
因为 x3≠x1,x3≠x2,且 x3 是 f(x)的零点, 故 x3=b.

a ? 2b a ? 2b -a=2(b- ) ,所以 x1 , x4 , x2 , x3 成等差数列. 3 3 1 a ? 2b 2a ? b 所以 x 4= (a+ )= , 3 3 2 2a ? b 所以存在实数 x4 满足题意,且 x4= . 3
又因为 【方法技巧】 (1)函数 y ? f ( x) 在 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为 y ? f ( x0 ) ? f '( x0 )( x ? x0 ) ; (2)在函数的极值点处 f '( x) ? 0 . 24.(2010·广东高考文科·T21)已知曲线 Cn:y ? nx ,点 Pn ( xn , yn )( xn ? 0, yn ?0) 是曲线 Cn 上的点
2

(n ? 1, 2…).
(1)试写出曲线 Cn 在点 Pn 处的切线 ln 的方程,并求出 ln 与 y 轴的交点 Qn 的坐标; (2)若原点 O(0,0) 到 ln 的距离与线段 Pn Qn 的长度之比取得最大值,试求点 Pn 的坐标 ( xn , yn ); (3)设 m 与 k 为两个给定的不同的正整数, xn 与 yn 是满足(2)中条件的点 Pn 的坐标, 证明:

?
n ?1

s

( m ? 1) xn ? ( k ? 1) yn ? 2

ms ? ks ( s ? 1, 2,…) .

【命题立意】本题为一道综合题,主要考查解析几何、导数、不等式等的综合应用. 【思路点拨】(1)利用导数求解; (2)利用不等式的性质求解; (3)用数学归纳法证明. 【规范解答】 (1) y ? 2nx ,?
'

f ' ( xn ) ? 2nxn
2

, ,

切线 ln 的方程为: y ? n ? xn ? 2nx n ( x ? xn ) 即: 2nxn ? x ? y ? n ? xn ? 0 ,
2



x ? 0 ,得 y ? ?nxn 2 ,?

Qn (0 , ? nxn 2 )

.

(2)设原点到 ln 的距离为 d ,则

- 23 -

圆学子梦想 铸金字品牌

d?

?nxn 2 (2nxn ) ? 1
2

?

nxn 2 1 ? 4n xn
2 2



P n Qn ? xn 2 ? (2nxn 2 ) 2

,

所以 ,

n xn n xn d 1 1 2 2 ? ? ,当且仅当 1 ? 4n xn 即 xn 2 ? ( xn ? 0) 时,等号 2 ? PnQn 1 ? 4n 2 xn 2 ?1? 2n ? xn 4 4n 2

成立,此时, xn ? 所以, Pn (

1 2n
1 1 , ) 2n 4n .
( m ? 1) k ?1 ? ? 4n 4n
ms ? ks 成立,

(3)
s

( m ? 1) x n ? ( k ? 1) yn ? 2
( m ? 1) xn ? ( k ? 1) yn ? 2

m ?1 ? k ?1 2

?

1 n

要证

?
n ?1

下面用数学归纳法证明 1 ?

1 1 1 ? ?? ? ? 2 s 成立. 2 3 s

当 s ? 1 时,左边=1,右边 ? 2 1 ? 2 ,不等式成立. 假设 s ? k 时,不等式成立,即 1 ?

1 1 1 ? ?? ? ? 2 k 成立, 2 3 k

1 2( k 2 ? k ? ) 1 1 1 1 1 2 ? ??? ? ?2 k ? 当 s ? k ? 1 时, 1 ? ? 2 3 k k ?1 k ?1 k ?1

?

k2 ? k ? k2 ? k ?

1 1 ? (k ? ) 2 , ? 4 2

k2 ? k ? k ?

1 2

?

1 1 1 2( k 2 ? k ? ) 2[(k ? ) ? ] 2 ? 2 2 ? 2 k ?1 k ?1 k ?1 ,
- 24 -

圆学子梦想 铸金字品牌

?当 s ? k ? 1 时,有 1 ?

1 1 1 1 ? ?? ? ? 2 ?s2 k ? 1 成立, 2 3 sk ? 1

综上, 1 ?

1 1 1 ? ?? ? ? 2 s 成立, 2 3 s
m ?1 ? k ?1 ?1 m? k

又?

m 、 k ? N ? ,且 m ? k ?

? 1?

m ?1 ? k ?1 1 1 1 2 sS ? ? ?? ? ?2 s< 2 m? k 2 3 s ,

所以,原不等式成立. 25. (2010· 浙江高考理科· T22) 已知 a 是给定的实常数, 设函数 f ( x) ? ( x ? a) ( x ? b)e ,b ? R ,x ? a
2 x

是 f ( x) 的一个极大值点. (1)求 b 的取值范围; (2)设 x1 , x2 , x3 是 f ( x) 的 3 个极值点,问是否存在实数 b ,可找到 x4 ? R ,使得 x1 , x2 , x3 , x4 的某种排列

xi1 , xi2 , xi3 , xi4 (其中 ?i1 , i2 , i3 , i4 ? = ?1, 2,3, 4? )依次成等差数列?若存在,求所有的 b 及相应的 x4 ;若不存在,
说明理由. 【命题立意】本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识,同时考查 推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识. 【思路点拨】 (1)利用函数取得极大值的条件,求 b 的范围; (2)可先求出 x1 , x2 , x3 ,利用等差 数列的相关知识来求 x4 .由于 x1 , x2 , x3 , x4 的排列有多种情况,因此要注意讨论.
x 2 【规范解答】 (1)f′(x)=e (x-a) ? ? x ? (3 ? a ? b) x ? 2b ? ab ? a ? ?,

令 g ( x) ? x ? (3 ? a ? b) x ? 2b ? ab ? a,
2

则?=(3-a+b)2 ? 4(2b ? ab ? a) ? (a ? b ? 1) 2 ? 8 ? 0,
于是,假设 x1 , x2是g ( x) ? 0的两个实根,且x1 ? x2 . ①当 x1=a 或 x2=a 时,则 x=a 不是 f(x)的极值点,此时不合题意. ②当 x1 ? a 且 x2 ? a 时,由于 x=a 是 f(x)的极大值点,故 x1<a<x2. 即 g (a) ? 0 ,即 a ? (3 ? a ? b)a ? 2b ? ab ? a ? 0 所以 b ? ?a ,所以 b 的取值范围是 (??, ?a) .
- 25 2

圆学子梦想 铸金字品牌 (2)由(1)可知,假设存在 b 及 x4 满足题意,解方程 g ( x) ? 0 得

x1 ?

(a ? b ? 3) ? (a ? b ? 1) 2 ? 8 (a ? b ? 3) ? (a ? b ? 1) 2 ? 8 , x2 ? . 2 2

①当 x2 ? a ? a ? x1 时,则 x4 ? 2 x2 ? a 或 x4 ? 2 x1 ? a ,于是 2a ? x1 ? x2 ? a ? b ? 3 , 即 b ? ?a ? 3 .此时 x4 ? 2 x2 ? a ? a ? b ? 3 ?

(a ? b ? 1) 2 ? 8 ? a ? a ? 2 6

2 或 x4 ? 2 x2 ? a ? a ? b ? 3 - (a ? b ? 1) ? 8 ? a ? a ? 2 6 .

②当 x2 ? a ? 2(a ? x1 ) 或 (a ? x1 ) ? 2( x2 ? a) 时, (i)若 x2 ? a ? 2(a ? x1 ) ,则 x4 ? 于是 3a ? 2 x1 ? x2 ?

a ? x2 , 2

3(a ? b ? 3) ? (a ? b ? 1) 2 ? 8 2 ,即 (a ? b ? 1) ? 8 ? ?3( a ? b ? 3) ,于是 2

a ? b ?1 ?

?9 ? 13 ?9 ? 13 或 (舍). 2 2

此时 x4 ?

a ? x2 2a ? (a ? b ? 3) ? 3(a ? b ? 3) 1 ? 13 ? ? ?b ? 3 ? a ? . 2 4 2

②若 a ? x1 ? 2( x2 ? a) ,则 x4 ?

a ? x1 , 2

于是 a ? b ?1 ?

?9 ? 13 ?9 ? 13 (舍)或 . 2 2

此时 x4 ?

a ? x1 2a ? (a ? b ? 3) ? 3(a ? b ? 3) 1 ? 13 ? ? ?b ? 3 ? a ? 2 4 2 ,

综上所述,存在 b 满足题意, 当 b=-a-3 时, x4 ? a ? 2 6 ; 当 b ? ?a ?

7 ? 13 1 ? 13 时, x4 ? a ? ; 2 2 7 ? 13 1 ? 13 时, x4 ? a ? . 2 2
- 26 -

当 b ? ?a ?

圆学子梦想 铸金字品牌 【方法技巧】1、函数在 x0 处取得极大值的条件是,在 x0 的左侧 f '( x) ? 0 ,在 x0 的右侧 f '( x) ? 0 ; 2、由于本题的 f ( x) 的 3 个极值点间存在关系 x1<a<x2, ,所以可能有四种情况: x4 , x1 , a, x2 或 x1 , a, x2 , x4 或

x1 , x4 , a, x2 或 x1 , a, x4 , x2 .讨论时要做到不重不漏.
26.(2010·福建高考文科·T22)已知函数 f(x)= 方程为 y=3x-2. (1)求实数 a,b 的值; (2)设 g(x)=f(x)+

1 3 x ? x 2 ? ax ? b 的图像在点 P(0,f(0))处的切线 3

m 是[ 2, ?? ]上的增函数. x ?1

①求实数 m 的最大值; ②当 m 取最大值时,是否存在点 Q,使得过点 Q 的直线若能与曲线 y=g(x)围成两个封闭图形,则这两个封 闭图形的面积总相等?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由. 【命题立意】本小题主要考查函数、导数等基础知识,考查抽象概括、推理论证、运算求解能力,考查函 数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想、分类与整合的思想. 【思路点拨】第一步利用切线方程列出两个方程求解 a,b 的值;第二步(1)利用导数的符号与单调性的 关系, 把单调性问题转化为恒成立问题进而转化为求最值的问题进行解决; (2) 利用函数图像的中心对称, 得两个封闭图形的面积总是相等的. 【规范解答】(1)由 f '( x) ? x ? 2 x ? a ,及题设得 ?
2

? f ? ? 0? ? 3 ? a ? 3 , ? ,? ? ? f ? 0 ? ? ?2 ?b ? ?2 . ?

(2)①由 g ? x ? ?

m 1 3 m 2 得 g? ? x ? ? x ? 2x ? 3 ? ,? g ? x ? 是 ? 2, ?? ? 上的增 x ? x 2 ? 3x ? 2 ? 2 3 x ?1 ? x ? 1?
2

函数,? g ? ? x ? ? 0 在 ? 2, ?? ? 上恒成立,设 ? x ? 1? ? t ,? x ? ? 2, ?? ? ,? t ? ?1, ?? ? ,即不等式

m ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立. t m 当 m ? 0 时,不等式 t ? 2 ? ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立; t m m m 当 m ? 0 时, 不等式 y ? t ? 2 ? ,t ? ?1, ?? ? , 因为 y? ? 1 ? 2 ? 0 , 所以函数 y ? t ? 2 ? 在 ?1, ?? ? 上 t t t t ?2?
单调递增;因此 ymin ? 3 ? m ,? ymin ? 0,? 3 ? m ? 0,? m ? 3 ,又 m ? 0 ,故 0 ? m ? 3 , 综上所述,m 的最大值为 3; ②由①得 g ? x ? ?

1 3 3 ? 1? ,其图像关于点 Q ? 1, ? 成中心对称. x ? x 2 ? 3x ? 2 ? 3 x ?1 ? 3?
- 27 -

圆学子梦想 铸金字品牌 证明如下:? g ? x ? ?

1 3 3 , x ? x 2 ? 3x ? 2 ? 3 x ?1

? g ?2 ? x? ?

1 3 1 8 3 3 2 ? ? x3 ? x 2 ? 3x ? ? ? 2 ? x? ? ? 2 ? x? ? 3? 2 ? x? ? 2 ? 3 3 1? x ? 2 ? x ? ?1 3

因此 g ? x ? ? g ? 2 ? x ? ?

2 ,上式表明,若点 A ? x, y ? 为函数 g ? x ? 的图像上的任意一点,则点 3

2 ? ? ? 1? B ? 2 ? x, ? y ? 也一定在函数 g ? x ? 的图像上,而线段 AB 的中点恒为 Q ? 1, ? ,由此即知函数 g ? x ? 的 3 ? ? ? 3?
图像关于点 Q ? 1, ? 成中心对称. 这也表明,存在点 Q ? 1, ? ,使得过点 Q 的直线若能与函数 g ? x ? 的图像围成两个封闭的图形,则这两个 封闭的图形的面积总相等. 【方法技巧】 函数导数的内容在历年高考中主要集中在切线方程、 导数的计算, 利用函数判断函数单调性、 极值、最值等问题,以及与不等式、三角函数、数列、立体几何、解析几何等知识相联系的综合题目,类 型有交点个数、恒成立问题等,其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要 的思想方法,主要考查导数的工具性作用. 27.(2010·山东高考理科·T22)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (1)当 a ?

? 1? ? 3?

? 1? ? 3?

1? a ? 1 (a ? R) . x

1 时,讨论 f ( x) 的单调性; 2 1 2 (2)设 g ( x) ? x ? 2bx ? 4. 当 a ? 时,若对任意 x1 ? (0, 2) ,存在 x2 ? ?1, 2? , 4
使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 的取值范围. 【命题立意】本题将导数、二次函数、不等式知识有机地结合在一起,考查了利用导数研究函数的单调性、 利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题,考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能 力;考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力. 【思路点拨】 (1)直接利用函数单调性与导数的关系讨论函数的单调性,同时应注意分类标准的选择; (2) 利用导数求出 f ( x) 的最小值、 利用二次函数知识或分离常数法求出 g ( x) 在闭区间[1,2]上的最大值, 然后解不等式求参数. 【规范解答】 (1)因为 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ?1 x ,

所以 f ?( x) ?

1 a ?1 ax 2 ? x ? 1 ? a ?a? 2 ? ? , x ? (0, ??) , x x x2
- 28 -

圆学子梦想 铸金字品牌 令 h( x) ? ax ? x ? 1 ? a , x ? (0, ??) .
2

①当 a ? 0 时, h( x) ? ? x ? 1 , x ? (0, ??) , 所以当 x ? (0,1)时,h( x) ? 0, 此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减; 当 x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增. ②当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 , 即 ax ? x ? 1 ? a ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ?
2

1 ?1 a ,

x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减;

1 x ? (1, ? 1) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增; a 1 x ? ( ? 1, ??) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减. a
(iii)当 a ? 0 时,由于

1 ?1 ? 0 a ,

x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减;

x ? (0, 1 ??) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增
综上所述: 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在(0,1)上单调递减; 函数 f ( x) 在 (1, ??) 上单调递增;

1 时,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减; 2 1 当 0 ? a ? 时,函数 f ( x) 在(0,1)上单调递减; 2 1 函数 f ( x) 在 (1, ? 1) 上单调递增; a
当a ?

- 29 -

圆学子梦想 铸金字品牌 函数 f ( x) 在 ( ? 1, ??) 上单调递减. (2)因为 a ?

1 a

1 1 ? (0, ) ,由(1)知, x1 ? 1, x2 ? 3 ? (0, 2) ,当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 , 4 2

函数 f ( x) 单调递减;当 x ? (1, 2) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增,所以 f ( x) 在 (0 , 2)上的最小值为 f (1) ? ?

1 2,

由于“对任意 x1 ? (0, 2) ,存在 x2 ? [1, 2] ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ”等价于 “ g ( x) 在 [1, 2] 上的最小值不大于 f ( x) 在(0 ,2)上的最小值 ?

1 ” 2

又g ( x) ? ( x ? b) 2 ? 4 ? b 2 , x ? [1, 2], 所以 ① 当 b<1 时,因为 [g(x)]min ? g (1) ? 5 ? 2b ? 0, 此时与题设矛盾 ② 当 b ?[1,2]时,因为[g(x)]min ? 4 ? b 2 ? 0,同样与题设矛盾 ③ 当 b? (2, ? ?)时,因为[g(x)]min ? g (2) ? 8 ? 4b, 解不等式8-4b ? ? 可得b ? 17 8 17 , ??) 8 1 2

综上,b的取值范围是[

【方法技巧】1、分类讨论的原因 (1)某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出; (2)数的运算:如除法运算中除式不为零,在实数集内偶次方根的被开方数为非负数,对 数中真数与底数的要求,不等式两边同乘以一个正数还是负数等; (3)含参数的函数、方程、不等式等问题,由参数值的不同而导致结果发生改变; (4)在研究几何问题时,由于图形的变化(图形位置不确定或形状不确定),引起问题的结 果有多种可能. 2、分类讨论的原则 (1)要有明确的分类标准; (2)对讨论对象分类时要不重复、不遗漏; (3)当讨论的对象不止一种时,应分层次进行. 3、分类讨论的一般步骤 (1)明确讨论对象,确定对象的范围; (2)确定统一的分类标准,进行合理分类,做到不重不漏; (3)逐段逐类讨论,获得阶段性结果;
- 30 -

圆学子梦想 铸金字品牌 (4)归纳总结,得出结论. 28.(2010 ·海南高考理科·T21)设函数 f ( x) = e ? 1 ? x ? ax .
x 2

(1)若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; (2)若当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围. 【命题立意】本题考查利用导数研究函数的单调性,最值问题, 【思路点拨】利用导数求出函数的单调区间,然后再利用单调性求参数的取值. 【规范解答】 (1) a ? 0 时, f ( x) ? e ? 1 ? x, f ?( x) ? e ? 1 .
x x

当 x ? (??, 0) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, f ?( x) ? 0 , 故 f ( x) 的单增区间为 (0, ??) ,单减区间为 (??,0) . (2) f ?( x) ? e ? 1 ? 2ax .
x

由(1)知 e ? 1 ? x ,当且仅当 x ? 0 时等号成立,
x

故 f ?( x) ? e ? 1 ? 2ax ? 1 ? x ? 1 ? 2ax ? (1 ? 2a) x ,
x

从而当 1 ? 2a ? 0 ,即 a ?

1 时, f ?( x) ? 0( x ? 0) ,而 f (0) ? 0 , 2

于是,当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 . 由 e ? 1 ? x( x ? 0) 可得 e
x
?x

? 1 ? x( x ? 0) ,从而,当 a ?

1 时, 2

f ?( x) ? e x ? 1 ? 2a(e? x ? 1) ? e? x (e x ? 1)(e x ? 2a),
故当 x ? (0,ln 2a) 时, f ?( x) ? 0 ,而 f (0) ? 0 ,所以当 x ? (0,ln 2a) 时, f ( x) ? 0 , 综上可知,实数 a 的取值范围为 a ?

1 . 2

【方法技巧】利用导数求出函数的单调区间,再利用函数的单调性,列出参数需满足的不等式(组)进行 相关的计算. 29.(2010·福建高考理科·T20)(1)已知函数 f(x)=x -x,其图像记为曲线 C. ①求函数 f(x)的单调区间; ②证明:若对于任意非零实数 x1,曲线 C 与其在点 P1(x1,f(x1))处的切线交于另一点 P2(x2,f(x2)). 曲线 C 与其在点 P2 处的切线交于另一点 P3(x3,f(x3)) , 线段 P1P2,P2P3 与曲线 C 所围成封闭图形的面积分别 记为 S1,S2,则
3

S1 为定值. S2
- 31 -

圆学子梦想 铸金字品牌 (2)对于一般的三次函数 g(x)=ax +bx +cx+d(a ? 0),请给出类似于(1) ②的正确命题,并予以证明.
3 2

【命题立意】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识,考查抽象概括、推理论证、运算求解能力, 考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想、特殊与一般的思想. 【思路点拨】第一步(1)利用导数求解函数的单调区间, (2)利用导数求解切线的斜率,写出切线方程, 并利用定积分求解 S1 ,S2 及其比值;第二步利用合情推理的方法对问题进行推广得到相关命题,并利用平 移的方法进行证明. 【规范解答】 (1) ① f ' ( x) ? 3x 2 ? 1 ? ( 3x ? 1)( 3x ? 1) ,令 f ' ( x) ? 0 得到 x>

3 3 或x<,令 3 3

f ' ( x) ? 0 得 -

3 3 3 3 1 1 <x< ,因此原函数的单调递增区间为 ( ??,? )和(( ) ,??) ;单调递减区间为 3 3 33 33

(-

3 3 , ) 3 3 ;
2 3 2

② f ' ( x) ? 3 x ? 1 , P 1 ( x1 , x1 ? x1 ) , f ' ( x1 ) ? 3x1 ? 1 ,因此 过点 P1 的切线方程为: y ? 3 x1 ? 1 ? x ? x1 ? ? x1 ? x1 ,即
2 3

?

?

2 3 ? ? y ? 3x1 ? 1 x ? 2 x1 y ? ? 3 x12 ? 1? x ? 2 x13 ,由 ? 得 y ? x3 ? x ? ?

?

?

x 3 ? x ? ? 3 x12 ? 1? x ? 2 x13 ,所以 x ? x1 或 x ? ?2 x1 ,故 x2 ? ?2 x1 ,进而有

S1 ?

? ?x
?2 x1 x1

3

3 ?1 ? ?2 x1 27 4 ? x1 ,用 x2 代替 x1 ,重复上面的计 ? 3x12 x ? 2 x13 ? dx ? ? x 4 ? x12 x 2 ? 2 x13 x ? 2 4 ?4 ? x1

4 算,可得 x3 ? ?2 x2 和 S 2 ? 4 x2 ,又 x2 ? ?2 x1 ? 0 ,? S2 ?

27

S 1 27 ?16 4 x1 ? 0 ,因此有 1 ? S 2 16 . 4

(2)命题:若对于任意函数 g ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 的图像为曲线 C ' ,其类似于(1) ②的命题为:若对
3 2

任意不等于 ?

b 的实数 x1 ,曲线与其在点 P 1 ( x1 , g ( x1 )) 处的切线交于另一点 P 2 ( x2 , g ( x2 )) ,曲线 C ' 与其 3a

在点 P2 ( x2 , g ( x2 )) 处的切线交于另外一点 P3 ( x3 , g ( x3 )) ,线段 P 2P 3 与曲线 C ' 所围成图形的面积为 1P 2、P

S1、S2 ,则

S1 1 ? . S 2 16
3 2

证明:对于曲线 y ? ax ? bx ? cx ? d ,无论如何平移,其要求面积值是恒定的,所以这里仅考虑
3 2 2 y ? ax3 ? bx2 ? cx 的情形, y' ? 3ax2 ? 2bx ? c , P 1 ( x1 , ax 1 ? bx 1 ? cx1 ) , f ' ( x1 ) ? 3ax 1 ? 2bx 1 ?c,

- 32 -

圆学子梦想 铸金字品牌 因此过点 P1 的切线方程为:

化简:得到

( x ? x1 ) 2 (ax ? b ? 2ax1 ) ? 0 所以 P2 (?
以得到 x3 ?

b ? 2ax1 2b 2 ? 4a 2 x12 ? 6abx1 ? ac , ) 同样运用(1)中的方法便可 a a

2b ? 4 x1 ? ?2 x2 a ,

所以

S1 1 ? . S 2 16

【方法技巧】函数、导数的内容在历届高考中主要考查切线方程、导数的计算,利用导数判断函数单调性、 极值、最值等问题,试题还与不等式、三角函数、数列、立体几何、解不等式等知识联系,类型有交点个 数、恒成立问题等,其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要的思想方法, 主要考查导数的工具性作用.

关闭 Word 文档返回原板块。

- 33 -


考点6 导数、定积分

考点 6 1.(2010 ·海南高考理科·T3)曲线 y ? (A) y ? 2 x ? 1 (B) y ? 2 x ? 1 导数定积分 x 在点 ? ?1, ?1? 处的切线方程为( x...

高中积分微分知识点及习题及答案

微分与积分.微分实际上是求一函数的导数,而积分是...一个函数的不定积分(亦称原函数)指另一族函数,这...6=0,则 l 的方程为___. 3 2 15.(2010·福建...

导数、定积分

导数定积分_数学_高中教育_教育专区。哈师大附中 ...y= 3x 2 -x+5- 9 x 【典型例题】 考点 1:...; 6 6 9 D E B F x 图 哈师大附中 2010 ...

导数、定积分

导数定积分_数学_高中教育_教育专区。导数、定...考点 3:应用导数研究函数的单调性 例 1.(2011 ...' 6.(2010 年全国高考宁夏)设函数 f ( x) ? ...

高中数学导数知识点与习题(内附答案)

? sin x 6、常见的导数定积分运算公式有哪些? 答:若 f ? x ? , g ...A ★★★4、(2010 年山东 21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?...

高中积分微分知识点及习题

高中积分微分知识点及习题_数学_高中教育_教育专区。...微分与积分.微分实际上是求一函数的导数,积分是...6=0,则 l 的方程为___. 3 2 15.(2010·福建...

导数复习知识点总结

法则:y'| X = y' |U · X u'| 2010 高考...4.定积分 (1)概念:设函数 f(x)在区间[a,b]...高中数学知识点总结_导数... 6页 免费 导数知识点...

2010年考研数学大纲分析

2010 年与 2009 年考研数学大纲变化对比--数二 ...中值定理. 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的...导数 牛顿-莱布 中值定理 积分上限的函数及其导数 ...

2010高考数学复习详细资料——导数概念与运算

6页 1财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心...2010高考数学复习详细资料——导数概念与运算2010高考...4.定积分 (1)概念:设函数 f(x)在区间[a,b]...

定积分的导数 | 不定积分的导数 | 定积分的导数公式 | 定积分导数 | 求定积分的导数 | 定积分求导数 | 变上限定积分的导数 | 定积分的导数怎么求 |