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广州市第二中学2013学年高一下学期第一次月考试题和答案


广州市第二中学 2013 学年度下学期 高一级第一次月考《数学》试题
审题人:李志军 张和发 命题时间:2014 年 3 月 17 (说明:本卷满分 150 分,时间 120 分钟,不准使用计算器)
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.每小题给出的四个选项,只有一项 符合要求. 1.在等差数列 {an } 中, a2 ? 1, a4

? 5 ,则 {an } 的前 5 项和 S5 = A.7 B.15 C.20 D.25

命题人:包承先

2. 若 sin A. ?

?
2

?

3 ,则 cos ? ? 3
B. ?

2 3

1 3

C.

1 3

D.

2 3

3.若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则△ ABC A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 4. ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,若 B ? 2 A , a ? 1 , b ? 3 ,则 c ? A. 2 3 B.2 C. 2 D.1

5.公比为 2 等比数列 {an } 的各项都是 正数,且 a3a11 ? 16 , 则 log2 a10 ? A. 4 B. 5 C. ? D. ?
o

6.已知 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a, b, c 若 a ? c ? 6 ? 2 且 ?A ? 75 ,则

b?
A.2 B.4+ 2 3 C.4— 2 3 D. 6 ? 2

7.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 9n ,第 k 项满足 5 ? ak ? 8 ,则 k ? A.9 B.8 C.7 D.6

2013 学年下学期高一级第一次月考数学试题,第 1 页,共 8 页

8.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a2 ? a4 ? a15 ? M (常数),则下列各数中也一定为 常数的是 A. S 7 B. S8 C. S13 D. S15

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.请将答案填写在横线上. 9.若等差数列的前 6 项和为 23,前 9 项和为 57,则数列的前 n 项和 Sn = __________.

10.在 ?ABC 中。若 b ? 1 , c ? 3 , ?C ?

2? ,则 a = 3



11.已知 ?ABC 的一个内角为 120 ,并且三边长构成公差为 4 的 等差数列,则 ?ABC 的面积为_______________.
o

12.已知数列 ?a n ?中, a1 ? ?1 , an?1 ? an ? an?1 ? an ,则其通项 an ?

.

13.若 Sn ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ? L ? (?1)n (2n ?1), 则Sn 的值为



14.在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则

AC 的值等于_________, cos A

AC 的取值范围为



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三.解答题:本大题共 6 小题,满分共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本题 12 分)设等比数列 {an } 的公比 q ? 1 ,前 n 项和为 Sn .已知 a3 ? 2,S4 ? 5S2 , 求 {an } 的通项公式.

16.(本题 12 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c (1)若 sin( A ?

) ? 2 cos A, 求 A 的值; 6 1 (2)若 cos A ? , b ? 3c ,求 sin C 的值. 3

?

17.(本题 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n2 .数列 {bn } 为等比数列,且 b1 ? 1 , b4 ? 8 . (Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {cn } 满足 cn

? abn ,求数列 {cn} 的前 n 项和 Tn .

18. (本题 14 分) 设函数 f(x)=2 sin x cos (1) 求 ? 的值; (2) 在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ?
2

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取最小值.

2, f ( A) ?

3 ,求角 C. 2

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19.(本题 14 分)
2 2 n ? N ). 各项均为正数的数列 {an } ,满足 a1 ? 1 , an ?1 ? an ? 2 (
*

(1)求数列 {an } 的通项公式;

? an 2 ? (2)求数列 ? n ? 的前 n 项和 Sn . ?2 ?

20. (本题 14 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 2S n ? (n ? 2)an ? 1(n ? N * ) . (Ⅰ) 求 a1 的值,并用 an ?1 表示 an ; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 设 Tn ?

5 1 1 1 1 ,求证: Tn ? . ? ? ??? 3 a1a3 a 2 a 4 a3 a5 an an? 2

附加题:(本题满分 10 分) 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0,4an?1 ? 4an ? 2 4an ? 1 ? 1 ,令 bn ? 4an ? 1 . (1)试判断数列 ?bn ? 是否为等差数列?并说明理由; (2)是否存在 m, n(m, n ? N , m ? n) 使得 1, am , an 三数成等比数列?
*

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高一下学期第一次月考数学试题答案
一、选择题: 1. B 2. C 二、填空题: 9. 3. C 4.B 5. B 6. A 7. B 8. C 14. ( 2, 3)

5 2 7 n ? n 6 6

10. 1

11. 15 3

12. ?

1 n

13. (?1) n ? n

三、解答题: 15.解:由题设知 a1 ? 0,Sn ?

a1 (1 ? q n ) , 1? q

? a1q 2 ? 2, a (1 ? q 2 ) ? . 则 ? a1 (1 ? q 4 ) ? 5 ? 1 1? q ? 1? q ?



由② 得 1 ? q4 ? 5(1 ? q2 ) , (q2 ? 4)(q2 ?1) ? 0 , (q ? 2)(q ? 2)(q ? 1)(q ? 1) ? 0 , 因为 q ? 1 ,解得 q ? ?1 或 q ? ?2 . 当 q ? ?1 时,代入① 得 a1 ? 2 ,通项公式 an ? 2 ? (?1)n?1 ; 当 q ? ?2 时,代入① 得 a1 ?

1 1 n ?1 ,通项公式 an ? ? (?2) . 2 2

16.解:(1) 由题设知 sin A cos

?
6

? cos A sin

?
6

? 2 cos A, 从而 sin A ? 3 cos A, 所以 cos A ? 0 ,

tan A ? 3 ,因为0 ? a ? ? , 所以 A ?
(2)由 cos A ?

?
3

.

1 , b ? 3c及a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, 得a 2 ? b 2 ? c 2 . 3 ? 1 故△ ABC 是直角三角形,且 B ? , 所以 sin C ? cos A ? . 2 3

17.解:(Ⅰ)∵ 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n2 , ∴ 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? (n ?1)2 ? 2n ?1. 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 亦满足上式, 故 an ? 2n ? 1( n ? N ).
*

又数列 {bn } 为等比数列,设公比为 q ,
2013 学年下学期高一级第一次月考数学试题,第 5 页,共 8 页

∵ b1 ? 1 , b4 ? b1q3 ? 8 , ∴ q ? 2 . ∴ bn ? 2n?1 ( n ? N ).
*

(Ⅱ) cn ? ab ? 2bn ?1 ? 2n ?1. n

Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ?cn
2(1 ? 2n ) ?n. ? (2 ?1) ? (2 ?1) ? ? ? (2 ?1) ? (2 ? 2 ? ?2 ) ? n ? 1? 2
1 2 n 1 2 n

所以 Tn ? 2n?1 ? 2 ? n .

18.解: (1) f ( x) ? 2sin x ?

1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x 2

? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin( x ? ? )
因为函数 f(x) 在 x ? ? 处取最小值,所以 sin(? ? ? ) ? ?1 , 由诱导公式知 sin ? ? 1 , 因为

0 ? ? ? ? ,所以 ? ?
(2)因为 f ( A) ?

?
2

.所以 f ( x) ? sin( x ?

?
2

) ? cos x

? 3 3 ,所以 cos A ? ,因为角 A 为 ? ABC 的内角,所以 A ? .又因为 6 2 2
a b b sin A 1 2 ? ? 2? ? ,也就是 sin B ? , sin A sin B a 2 2

a ? 1, b ? 2, 所以由正弦定理,得
因为 b ? a ,所以 B ?

3? . 4 4 ? ? ? 7? 3? ? 3? ? ? . 当 B ? 时, C ? ? ? ? ? ;当 B ? 时, C ? ? ? ? 4 6 4 12 4 6 4 12

?

或B ?

19.(本小题满分 14 分) 解:(1)因为 an?1 ? an ? 2 ,
2 所以数列 an 是首项为 1,公差为 2 的等差数列.

2

2

? ?

2 所以 an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1.
* 因为 an ? 0 ,所以 an ? 2n ?1 n ? N .

?

?

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an 2 2n ? 1 (2)由(1)知, an ? 2n ?1 ,所以 n ? . 2 2n 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 所以 Sn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? , ① 2 2 2 2 2n 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? n ?1 , 则 Sn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ② 2 2 2 2 2n 2 1 1 2 2 2 2 2n ? 1 ①-②得, S n ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ? 2n ? 1 ?1 1 1 ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? ? n?1 2 2 ? 2 ?2 2 2 1? 1 ? 1 ? n?1 ? ? 1 4 2 ? 2n ? 1 ? ? 2? ? ? n?1 1 2 2 1? 2 3 2n ? 3 ? ? n ?1 . 2 2 2n ? 3 所以 S n ? 3 ? . 2n

20.解:(Ⅰ)由 2S1 ? (1 ? 2)a1 ? 1 ? 2a1 ,得 a1 ? 1 ; 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ?

(n ? 2)a n ? 1 (n ? 1)a n ?1 ? 1 ? 2 2
n ?1 an ?1 ( n ? 2 ). n

? nan ? (n ? 1 a ) n?1 ( n ? 2 ),即 an ?
(Ⅱ) 由(Ⅰ),得

3 4 5 n ?1 a1 , a3 ? a2 , a4 ? a3 , ?? an ? an ?1 , 2 3 4 n n ?1 a1 . 将以上 (n ? 1) 个式子相乘,得 an ? 2 n ?1 而 a1 ? 1 ,故 an ? . 2 a2 ?
(Ⅲ)

1 1 1 4 ? 2( ? ) ? n ?1 n ? 3 an an? 2 (n ? 1)(n ? 3) 1 1 1 1 ? 2( ? ? ? ). 2 3 n?2 n?3

1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 4 3 5 4 6 n ?1 n ? 3 5 2 2 5 ? ? ? ? 3 n?2 n?3 3

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附加题:(本题满分 10 分) 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0,4an?1 ? 4an ? 2 4an ? 1 ? 1 ,令 bn ? 4an ? 1 . (1)试判断数列 ?bn ? 是否为等差数列?并说明理由; (2)是否存在 m, n(m, n ? N * , m ? n) 使得 1, am , an 三数成等比数列?

附加题:(本题满分 10 分) 解: ⑴由已知得 4an?1 ? 1 ? 4an ? 1 ? 2 4an ? 1 ? 1 , 所以 bn?12 ? bn2 ? 2bn ? 1 ,即 bn ?1 ? bn ? 1 , 所以数列 ?bn ? 为等差数列;

n2 ? 1 ⑵由⑴得: bn?1 ? bn ? 1 且 b1 ? 1 ,?bn ? n ,即 4an ? 1 ? n ? an ? , 4
设存在 m, n 满足条件,则有 1? an ? am ? 1?
2
2

n 2 ? 1 m2 ? 1 2 ?( ) , 4 4

即 4(n2 ?1) ? (m2 ?1)2 ,所以, m ? 1 必为偶数,设为 2t , 则 n2 ?1 ? t 2 ? n2 ? t 2 ? 1 ? (n ? t )(n ? t ) ? 1 ,

?n ? t ? 1 ?n ? t ? ?1 或? ,即 n ? 1, t ? 0 , ?有 ? ?n ? t ? 1 ?n ? t ? ?1
? m2 ?1 ? 2t ? 0 ? m ? 1 与已知矛盾.

? 不存在 m, n(m, n ? N * , m ? n) 使得1, am , an 三数成等比数列.

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