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上海市2016届高考数学一轮复习 专题突破训练 函数 理


上海市 2016 届高三数学理一轮复习专题突破训练 函数
一、填空题 x﹣1 x ﹣1 1、 (2015 年上海高考)方程 log2(9 ﹣5)=log2(3 ﹣2)+2 的解为 2 . 2、 (2015 年上海高考)设 f (x)为 f(x)=2 的最大值为 4 . 3、 (2014 年上海高考) 设 f ( x) ? ?
﹣1 x﹣2

+ ,x∈[0,2]的反函数,则 y=f(x)+f (x)

﹣1

? x,
2

x ? (?? , a),

? x , x ?[a , ? ?).
2 ? 1 2

若 f (2) ? 4 , 则 a 的取值范围为

.

4、(2014 年上海高考)若 f ( x) ? x 3 ? x

,则满足 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是

.

5 、 ( 2013 年 上 海 高 考 ) 设 a 为 实 常 数 , y ? f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 当 x ? 0 时 ,

a2 f ( x) ? 9 x ? ? 7,若 f ( x) ? a ? 1对一切 x ? 0 成立,则 a 的取值范围为________ x
6、(2013 年上海高考)对区间 I 上有定义的函数 g ( x) ,记 g (I ) ? { y | y ? g (x), x ?I } ,已知定义 域为 [0,3] 的函数 y ? f ( x) 有反函数 y ? f ?1 ( x) ,且 f ?1 ([0,1)) ? [1, 2), f ?1 ((2, 4]) ? [0,1) ,若方程

f ( x) ? x ? 0 有解 x0 ,则 x0 ? _____
7、(静安、青浦、宝山区 2015 届高三二模)函数 y ? 2x ? 2x ?1 的值域为 8、 (闵行区 2015 届高三二模)函数 f ( x) ? log a x ? a( x ?1) 2 ? 8 在区间 ? 0,1? 内无零点,则实数 a 的范围是 9、(浦东新区 2015 届高三二模)若函数 f ? x ? ? x 2 ? x 3 ? 4 的零点 m ? ? a, a ? 1? , a 为整数,则所以 满足条件 a 的值为 10、(普陀区 2015 届高三二模)函数 f ? x ? ? 1 ? x ? x ? 1? ,若函数 g ? x ? ? x2 ? ax 是偶函数, 则 f ?a? ? 11、(徐汇、松江、金山区 2015 届高三二模)设 f ( x) 是定义域为 R 的奇函数, g ( x) 是定义域为 R 的偶函数,若函数 f ( x) ? g ( x) 的值域为 [1,3) ,则函数 f ( x) ? g ( x) 的值域为 12、 (长宁、嘉定区 2015 届高三二模)设定义域为 R 的函数 f ( x) ? ?
2

?| lg x | , x ? 0 ,
2 ?? x ? 2 x , x ? 0 ,

若关于 x 的

1

函数 y ? 2 f 2 ( x) ? 2bf ( x) ? 1 有 8 个不同的零点,则实数 b 的取值范围是____________

? 3 4?8 x ? ? ? 2 13、 (奉贤区 2015 届高三上期末) 定义函数 f ( x) ? ? ? 1 f ( x) ? ? 2 2
在区间 ? 1,8? 内的所有零点的和为 14、 (黄浦区 2015 届高三上期末) 若函数 f ( x) ? 2x 单调递减区间是
2

1? x ? 2
, 则函数 g ( x) ? xf ( x) ? 6

x?2

?ax?1?3a

是定义域为 R 的偶函数, 则函数 f ( x ) 的

15、(嘉定区 2015 届高三上期末)已知 4 ? 2 , lg x ? a ,则 x ? ___________
a

16、(浦东区 2015 届高三上期末)已知 y ? f ?1 ( x) 是函数 f ( x) ? x3 ? a 的反函数,且 f ?1 (2) ? 1 , 则实数 a ? 17、(普陀区 2015 届高三上期末)方程 lg x ? lg(7 ? x) ? 1 的解集为 18 、(上海市八校 2015 届高三 3 月联考)若函数 f ( x ) ?

1 2 3 x ? x ? 的定义域与值域都是 2 2

[1, b](b ? 1) ,那么实数 b 的值为
19、(青浦区 2015 届高三上期末)已知函数 f ( x) 对任意的 x ? R 满足 f (? x) ? f ( x) ,且当 x ≥ 0 时,
f ( x) ? x2 ? ax ? 1 .若 f ( x) 有 4 个零点,则实数 a 的取值范围是



20 、 ( 松 江 区 2015 届 高 三 上 期 末 ) 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 对 任 意 x ? R , 都 有

f ( x ? 2) ? f ( x ? 2)







x ? ?? 2,0?





?1? f ( x) ? ? ? ? 1 ?2?

x









g ( x) ? f ( x) ? loga ( x ? 2)(a ? 1) 在区间 ?? 2,6? 恰有 3 个不同的零点,则 a 的取值范围是



二、解答题

2

1、(2014 年上海高考)设常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

2x ? a . 2x ? a

?1 (1) 若 a ? 4 ,求函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f ( x) ;

(2) 根据 a 的不同取值,讨论函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并说明理由.

2、 (静安、 青浦、 宝山区 2015 届高三二模) 已知函数 f ( x), g ( x) 满足关系 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? ? ) , 其中 ? 是常数. (1)若 f ( x) ? cos x ? sin x ,且 ? ?
x (2)设 f ( x) ? 2 ?

?
2

,求 g ( x) 的解析式,并写出 g ( x) 的递增区间;

1 ,若 g ( x) 的最小值为 6,求常数 ? 的值. 2x

3、(浦东新区 2015 届高三二模)已知函数 f ( x) ? x ?

a , ( x ? 0), a 为实数. x

(1)当 a ? ?1 时,判断函数 y ? f ( x) 在 ?1, ?? ? 上的单调性,并加以证明; (2)根据实数 a 的不同取值,讨论函数 y ? f ( x) 的最小值.

4、(普陀区 2015 届高三二模)已知函数 f ( x) ? 2 x 的反函数为 f ?1 ( x) (1)若 f ?1 ( x) ? f ?1 (1 ? x) ? 1 ,求实数 x 的值; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? f (1 ? x) ? m ? 0 在区间 ? 0, 2? 内有解,求实数 m 的取值范围;

5、(徐汇、松江、金山区 2015 届高三二模)已知函数 f ( x) ?

1? 1? 1? 1? ? x ? ? , g ( x) ? ? x ? ? . 2? x? 2? x?
3

(1)求函数 h( x) ? f ? x ? ? 2g ? x ? 的零点; (2)若直线 l : ax ? by ? c ? 0 a, b, c为常数 与 f ( x ) 的图像交于不同的两点 A、B ,与 g ( x) 的图 像交于不同的两点 C、D ,求证: AC ? BD ; (3)求函数 F ( x) ? ? ? f ? x ?? ?
2n

?

?

?? ? g ? x ?? ?

2n

? n ? N ? 的最小值.
*

6、(奉贤区 2015 届高三上期末)判断函数 f ( x) ? lg

1? x 的奇偶性. 1? x

7、(虹口区 2015 届高三上期末)已知函数 f ( x) 和 g ( x) 的图像关于原点对称,且 f ( x) ? x2 ? x (1)求函数 y ? g ( x) 的解析式; (2)若 h( x) ? g ( x) ? m ? f ( x) ? 3 在 ? ?1,1? 上是增函数,求实数 m 的取值范围.

8、(黄浦区 2015 届高三上期末)已知函数 g ( x) ? 10 x ? 1 , x ? R ,函数 y ? f ( x) 是函数 y ? g ( x) 的 10 ? 1
x

反函数. (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式,并写出定义域 D ; (2)(理科)设 h( x) ?

1 ? f ( x) ,若函数 y ? h( x) 在区间 (0,1) 内的图像是不间断的光滑曲线,求证: x

函数 y ? h( x) 在区间 (?1, 0) 内必有唯一的零点(假设为 t ),且 ?1 ? t ? ? 1 . 2

9、(徐汇区 2015 届高三上期末)已知函数 f ( x) ? 2 ? k ? 2 (k ? R) .
x

?x

(1)若函数 f ( x ) 为奇函数,求 k 的值; (2)若函数 f ( x ) 在 ? ??,2? 上为减函数,求 k 的取值范围.

10、 (闸北区 2015 届高三模)设函数 y ? f ? x ? 的定义域为 D ,值域为 A ,如果存在函数 x ? g ? t ? , 使得函数 y ? f ? ? g ?t ?? ? 的值域仍是 A ,那么称 x ? g ? t ? 是函数 y ? f ? x ? 的一个等值域变换.
4

(1)判断下列函数 x ? g ? t ? 是不是函数 y ? f ? x ? 的一个等值域变换?说明你的理由; ① f ? x ? ? log2 x, x ? 0 , x ? g ? t ? ? t ? , t ? 0 ; ② f ? x ? ? x2 ? x ? 1, x ? R , x ? g ?t ? ? 2t , t ? R . (2)设函数 y ? f ? x ? 的定义域为 D ,值域为 A ,函数 g ? t ? 的定义域为 D1 ,值域为 A 1 ,那么 “ D ? A1 ”是否为“ x ? g ? t ? 是 y ? f ? x ? 的一个等值域变换”的一个必要条件?请说明 理由; (3) 设 f ?x ? ? l o g 2x 的定义域为 x ?? 2,8? ,已知 x ? g ? t ? ?

1 t

mt 2 ? 3t ? n 是 y ? f ? x ? 的一个 t2 ?1

等值域变换,且函数 y ? f ? ? g ?t ?? ? 的定义域为 R ,求实数 m、n 的值.

参考答案 一、填空题 x﹣1 x﹣1 x﹣1 x﹣1 1、解:∵log2(9 ﹣5)=log2(3 ﹣2)+2,∴log2(9 ﹣5)=log2[4×(3 ﹣2)], x﹣1 x﹣1 x 2 x ∴9 ﹣5=4(3 ﹣2) ,化为(3 ) ﹣12?3 +27=0, x x x x 因式分解为: (3 ﹣3) (3 ﹣9)=0,∴3 =3,3 =9, 解得 x=1 或 2.经过验证:x=1 不满足条件,舍去.∴x=2. 故答案为:2. 2、 解:由 f(x)=2 可得 y=f (x)在[
﹣1 ﹣1 x﹣2

+ 在 x∈[0,2]上为增函数,得其值域为[ ]上为增函数,因此 y=f(x)+f (x)在[
﹣1 ﹣1

], ]上为增函数,

∴y=f(x)+f (x)的最大值为 f(2)+f (2)=1+1+2=4. 故答案为:4. 3、【解析】:根据题意, 2 ?[a, ??) ,∴ a ? 2 4、【解析】: f ( x) ? 0 ? x 3 ? x
2 ? 1 2

,结合幂函数图像,如下图,可得 x 的取值范围是 (0,1)

5、【解答】 f (0) ? 0 ,故 0 ? a ? 1 ? a ? ?1 ;当 x ? 0 时, f ( x) ? 9 x ?

a2 ? 7 ? a ?1 x

5

即 6 | a |? a ? 8 ,又 a ? ?1 ,故 a ? ?

8 . 7

6、 【解答】 根据反函数定义, 当 x ? [0,1) 时, f ( x) ? (2, 4] ;x ? [1, 2) 时, f ( x) ? [0,1) , 而 y ? f ( x)

? ( 4, ?? , )故 若 的 定 义 域 为 [ 0, 3], 故 当 x ? [ 2, 3] 时 , f ( x ) 的 取 值 应 在 集 合 (??, 0) ? [1, 2]

f ( x0 ) ? x0 ,只有 x0 ? 2 .
7、 ?1, ?? ? 8、 ?1, 2? 13、 9、 1 或 ? 2 10、1 11、 ? ?3, ?1? 16、1 12、 ? ?

? 3 ? , ? 2? ? 2 ?

21 2

14、 (- ? , 0] 19. ? 2, ?? ? ;

15、 10 20、

17、 {2,5}

18、3

?

3

4 ,2

?

二、解答题

2x ? 4 4y ? 4 4y ? 4 ? y ,∴ 2 x ? 1、【解析】:(1)∵ a ? 4 ,∴ f ( x) ? x ,∴ x ? log 2 , 2 ?4 y ?1 y ?1
∴y? f
?1

( x) ? log 2

4x ? 4 , x ? (??, ?1) ? (1, ??) x ?1

2 x ? a 2? x ? a ? (2)若 f ( x ) 为偶函数,则 f ( x) ? f (? x) ,∴ x , 2 ? a 2? x ? a
整理得 a(2x ? 2? x ) ? 0 ,∴ a ? 0 ,此时为偶函数 若 f ( x ) 为奇函数,则 f ( x) ? ? f (? x) ,∴

2x ? a 2? x ? a ? ? , 2x ? a 2? x ? a

2 整理得 a ? 1 ? 0 ,∵ a ? 0 ,∴ a ? 1 ,此时为奇函数

当 a ? (0,1) ? (1, ??) 时,此时 f ( x ) 既非奇函数也非偶函数 2.解:(1)? f ( x) ? cos x ? sin x , ? ?

?
2

? f ( x ? ? ) ? cos x ? sin x ;

? g ( x) ? cos2 x ????????????????????????4 分
递增区间为 ? ? ? k? , ? ? k? ? ,( k ? Z )(注:开区间或半开区间均正 确) ?????????????????????????????6 分

?1 ?2

? ?

6

(2)(文)? g ( x) ? x ? ( x ? ? ) ? 1 ,当 x ? ? 2 , ?? ? 时, ? ? 令 h( x ) ?

?1 ?

? ?

1 ? x ???8 分 x

?1 ? 1 ? x ,则函数 y ? h( x) 在 x ? ? , ?? ? 上递减??????10 分 ?2 ? x
1 2 3 ?????????12 分 2

所以 h( x) max ? h( ) ?

??
因而,当

?1 ? 3 x ? ? , ?? ? ?2 ? 上恒成立?????????14 分 2 时, g ( x) ? 1 在

(理)? g ( x) ? ? 2 x ?

? ?

1 ? ? x ?? 1 ? 2 ? x ?? x ? ? 2 ? ? 2
1
x 2

1 ? ? ? x 1? ? ? x ? ? ? 2 ? x ? ? ? 2 ? 2 ? ? x ? ,???8 分 2 ? ? 2 ?2 ? ? ?

g ( x) ? 2? ? ? 2 x ? ?
2

2 ??2
?

?

? 2? ?

1 1 ? 2? ? ? ? 2 ? 6 ???????10 分 ? 2 2

解得 2 ? 2 ? 3 ? ???????????????????????12 分 所以 ? ? log 2 2 ? 3 ????????????????????????14 分 3、解:(1)由条件: f ( x) ? x ?

?

?

?

任取 x1 , x2 ? ?1, ??? 且 x1 ? x2

1 在 ?1, ?? ? 上单调递增.??????????2 分 x

1 1 1 ? x2 ? ? ( x1 ? x2 )(1 ? ) ????????4 分 x1 x2 x1 x2 1 ?0 ? x2 ? x1 ? 1,? x1 ? x2 ? 0,1 ? x1 x2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 结论成立 ????????????????6 分 (2)当 a ? 0 时, y ? f ( x) 的最小值不存在; ?????????????7 分 当 a ? 0 时, y ? f ( x) 的最小值为 0;???????????????9 分 a 当 a ? 0 时, y ? f ( x) ? x ? ? 2 a ,当且仅当 x ? a 时, x y ? f ( x) 的最小值为 2 a ;??????????????????12 分 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ?
4、解:(1) x ?
9? ? (2) ? 2 2, ? . 2? ?

2 3

3x 1 3 3 ,函数 h( x) 的零点为 x ? ? ????4’ ? ?0? x ?? 2 2x 3 3 (2)设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , C ?x3 , y3 ?, D ?x4 , y4 ?
5、解:(1)由题 h( x) ?

7

?ax ? by ? c ? 0 2c ? 2 ??????..8’ 1? 1 ? ? ? 2a ? b ? x ? 2cx ? b ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ? ? 2a ? b ? y ? 2?x? x? ? ? ? ?ax ? by ? c ? 0 2c ? 2 同理由 ? 1? 1 ? ? ? 2a ? b ? x ? 2cx ? b ? 0 ,则 x3 ? x4 ? ? 2a ? b ? y ? 2?x? x? ? ? ? 则 AB 中点与 CD 中点重合,即 AC ? BD ??????..10’
1 (3)由题 F ( x) ? 2 n 2
?
2n 2n ?? 1? 1? ? ? ?? x ? ? ? ? x ? ? ? x? x? ? ? ? ?? ?

1 ? 2C21n x 2n?2 ? 2C23n x 2n?6 ? ? ? 2C22nn?3 x6?2n ? 2C22nn?1 x 2?2n ? ??????..12’ 22 n 1 1 2 n?2 3 2 n ?6 2 n ?3 2 n ?1 ? 2n ? C2 ? x 2 ? 2 n ? ? C2 ? x 6 ? 2 n ? ? ? ? C2 x 6 ? 2 n ? x 2 n ? 6 ? ? C2 x 2 ?2 n ? x 2 n ?2 ? ? ? ? n ?x n ?x n n ? ? 2 1 1 3 2 n ?3 2 n ?1 ? 2 n ? 2C2 ? 2C2 n ? 2C2 n ? ? ? 2C2 n n ? ??????.14’ 2 ? 1 ,当且仅当 x ? ?1 时,等号成立
所以函数 F ( x) 的最小值为 1??????..16’ 6、?

1? x ?0, 1? x

1分 2分 3分 4分
?1

所以函数 f ( x ) 的定义域是 (?1,1) , 定义域关于原点对称,

f (? x) ? lg

1 ? ( ? x) 1 ? ( ? x)

1? x 1? x ? 1? x ? ? lg ? lg ? ? ? f ( x) , ? ? ? lg 1? x 1? x ? 1? x ?
而 f ( ) ? lg , f (? ) ? lg 3 ,? f ( ) ? f ( ? ) , 所以 f ( x ) 是奇函数不是偶函数。 7、(1)解: g ( x) ? ? x ? x ;
2

5分

1 2

1 3

1 2

1 2

1 2

6分 7分

(2)解: h( x) ? (?1 ? m) x ? (1 ? m) x ? 3 ,
2

当 ?1 ? m ? 0 ,即 m ? ?1 时,对称轴 x ?

1? m ? ?1 ,∴ ?3 ? m ? ?1 ; 2(m ? 1)

当 ?1 ? m ? 0 ,即 m ? ?1 时, h( x) ? 2 x ? 3 ,符合题意,∴ m ? ?1 ; 当 ?1 ? m ? 0 ,即 m ? ?1 时,对称轴 x ?

1? m 1 ? 1 ,∴ ?1 ? m ? ? ; 3 2(m ? 1)

8

综上, ?3 ? m ? ?

1 ; 3

8、解(1) ? g ( x) ?

10 x ? 1 2 ? 1? x , x ? R , x 10 ? 1 10 ? 1
2 2 ? 1? ? ?1 . 10 ? 1 0 ?1
x

? g ( x) ? 1 .又 10x ? 1 ? 1 ,?1 ? ??1 ? g ( x) ? 1 .
由y?

10 x ? 1 1? y 1? y x ,可解得 10 ? . , x ? lg x 10 ? 1 1? y 1? y

1? x , D ? (?1,1) . 1? x 1 1 1? x 1 1? x ? ? lg (理)证明 (2)由(1)可知, h( x) ? ? f ( x) ? ? lg . x x 1? x x 1? x ? f ( x) ? lg
可求得函数 h( x) 的定义域为 D1 ? (?1,0) ? (0,1) . 对任意 x ? D1 ,有 h( x) ? h( ? x) ? 所以,函数 y ? h( x) 是奇函数. 当 x ? (0,1) 时, 于是, lg

1 1? x 1 1? x ? lg ? ? lg ? 0, x 1? x ?x 1? x

1 1? x 2 = ?1 ? 在 (0,1) 上单调递减, 在 (0,1) 上单调递减, x 1? x 1? x

1? x 在 (0,1) 上单调递减. 1? x

因此,函数 y ? h( x) 在 (0,1) 上单调递减. 依据奇函数的性质,可知, 函数 y ? h( x) 在 (?1, 0) 上单调递减,且在 (?1, 0) 上的图像也是不间断的光滑曲线. 又 h(? ) ? ?2 ? lg 3 ? 0, h( ?

1 2

99 100 100 )?? ? lg199 ? 2 ? ? 0, 100 99 99 1 . 2

所以,函数 y ? h( x) 在区间 (?1, 0) 上有且仅有唯一零点 t ,且 ?1 ? t ? ?
x ?x

9、解:(1) f ( x) ? f (? x) ? (k ? 1)(2 ? 2 ) ? 0 对一切的 x ? R 成立,????????..4’ (2)若 k ? 0 ,则函数 f ( x ) 在 ? ??,2? 单调递增(舍)????????..8’
x 当 k ? 0 时,令 t ? 2 ? ? 0,4? ,????????..9’

所以 k ? ?1 ????????..6’

则函数 g (t ) ? t ?

k 在 ? 0, 4? 上单调递减????????..10’ t

所以 k ? 4 ,????????..13’ 即 k ? 16 ????????..14’
9

10、(1)①不是??????????????????????????2 分
1? 3 3 3 ? ? ② f ? x ? ? x 2 ? x ? 1 ? ? x ? ? ? ? ,即 f ? x ? 的值域为 ? , ?? ? , ? 2? 4 4 ? ?4 ?
2

3 ? t 1? 3 3 ? 当 t ?R 时, f ? 的值域仍为 ? g ?t ?? , ?? ? ,所以 x ? g ? t ? 是 ? g ?t ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 4 ? 4 ,即 y ? f ? ? ? ? ? ? ?4 ?
f ? x ? 的一个等值域变换.??????????????????2 分

2

(2)不必要性的反例:
f ? x ? ? x2 , D ? R, B ? ?0, ?? ? g ?t ? ? 2t ?1, D1 ? R, B1 ? ? ?1, ???
t 此时 B1 ? D ,但 f ? ? g ? t ?? ? ? ? 2 ? 1? 的值域仍为 B ? ?0, ?? ? , 2

即 g ? t ? ? 2t ? 1? x ? R ? 是 f ? x ? ? x2 ? x ? R ? 的一个等值域变换.(反例不唯一)??????3 分 (3) f ? x ? ? log2 x 定义域为 ? 2,8? ,因为 x ? g ? t ? 是 f ? x ? 的一个等值域变换,且函数 f ? ? g ? t ?? ? 的定义 域为 R ,所以 x ? g ? t ? ?
2? mt 2 ? 3t ? n , t ? R 的值域为 ? 2,8? ,????????2 分 t 2 ?1

mt 2 ? 3t ? n ? 8 ? 2 ? t 2 ? 1? ? mt 2 ? 3t ? n ? 8?t 2 ? 1? ,??????????????1 分 t 2 ?1

?2 ? m ? 8 ? 所以,恒有 ??1 ? 9 ? 4 ? m ? 2 ?? n ? 2 ? ? 0 ,??????????????????3 分 ? ?? 2 ? 9 ? 4 ? m ? 8 ?? n ? 8 ? ? 0

? 3 3 ?m ? 5 ? ? 2 解得 ? .??????????????????????????3 分 ?n ? 5 ? 3 3 ? ? 2

10


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