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高二数学假期作业(4)


高二数学假期作业(4)
一、 选择题 1.函数 y=x2cosx 的导数为( ) 2 (A) y′ =2xcosx-x sinx (B) y′ =2xcosx+x2sinx (C) y′ =x2cosx-2xsinx (D) y′ =xcosx-x2sinx 2.某单位有 15 名成员,其中男性 10 人,女性 5 人,现需要从中选出 6 名成员组 成考察团外出参观学习

,如果按性别分层,并在各层按比例随机抽样,则此考察 团的组成方法种数是()
3 3 A. C10 C5 4 2 B. C10 C5

5 C. C15

4 2 D. A10 A5

3.下列结 论中正确的 是( ) (A)导数为零的点一定是极值点 (B)如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值 (C)如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极小值 (D)如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值 4、化简 A.
1 ? 2i 等于 ( 3 ? 4i

)

1 2 i 5 5

B. -

1 2 i 5 5

C. -

1 2 ? i 5 5

D.

1 2 ? i 5 5

1 5.在二项式 ( x 2 ? )5 的展开式中,含 x 4 的项的系数是( ) x A. ?10 B. ?5 C. 10 D. 5 1 3 3 1 6.记 A ? cos , B ? cos , c ? sin ? sin ,则 A,B,C 的大小关系是( ) 2 2 2 2 A. A ? B ? C B. A ? C ? B

C. B ? A ? C

D. C ? B ? A

7.如图是导函数 y ? f / ( x) 的图象,那么函数 y ? f ( x) 在下面哪个区间是减函数

1

A. ( x1 , x3 )

B. ( x2 , x4 )

C. ( x4 , x6 )

D. ( x5 , x6 )

8.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时, x n ? y n 能被 x ? y 整除” ,在第二步时, 正确的证法是( )

(A)假设 n ? k (k ? N * ) ,证明 n ? k ? 1 命题成立 (B)假设 n ? k (k为正奇数) ,证明 n ? k ? 1 命题成立 (C)假设 n ? 2k ? 1(k ? N * ) ,证明 n ? k ? 1 命题成立 (D)假设 n ? k (k为正奇数) ,证明 n ? k ? 2 命题成立 9.设函数 f ( x), g ( x) 在[a,b]上连续,在(a,b)上可导且 f ' ( x) ? g ' ( x) ,则当 a ? x ? b 时, 有( ) (B) f ( x) ? g ( x) (D) f ( x) ? g (b) ? g ( x) ? g (b) )
1 3 ? i 2 2

(A) f ( x) ? g ( x) (C) f ( x) ? g (a) ? g ( x) ? f (a) 10. 复数( ?
1 3 ? ? i A. 2 2
1 2 3 2014 i) 的共轭复数是( 2

B.

?

1 3 ? i 2 2

1 3 ? i C. 2 2

D.

11. ( x ? A. 0

1 10 ) 的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数是( 3x

) D. 6

B. 2

C. 4

12. 已知 f ( x) 是定义在 R 上偶函数且连续,当 x ? 0 时, f ' ( x) ? 0 ,若 f (lg x) ? f (1), , 则 x 的取值范围是 ( ) 1 1 (A) ( ,1) (B) (0, )? (1,??) 10 10 二、填空题
1 ,10) 10

(C) (

(D) (0,1)? (10,??)

13、一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,设汽车在时刻 t 的速度为 v(t)=-t2+4, (0 ? t ? 3) (t 的单位: h, v 的单位: km/h) 则这辆车行驶的最大位移是______km 14、若随机变量 X ~ N (? , ? 2 ) ,则 P( X ? ? ) =________. 15 、 在 高 台 跳 水 中 , t s 时 运 动 员 相 对 水 面 的 高 度 ( 单 位 : m ) 是

h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10则 t=2 s 时的速度是_______.

2

16、已知 f ( x) 为一次函数,且 f ( x) ? x ? 2

?

1 0

f (t )dt ,则 f ( x) =____ ___.

三、解答题
1 3an 17、在数列 {an } 中, a1 ? , an ?1 ? ,试求出 a2 , a3 , a4 的值,猜想出数列 {an } 2 an ? 3

的通项公式并用数学归纳法给出证明

18、有甲、乙两城,甲城位于一直线形河岸边,乙城离岸 40 千米,乙城到岸的 垂足与甲城相距 50 千米,两城在此河岸边合建一水厂取水,从水厂到甲城和乙 城的水管费用分别为每千米 500 元和 700 元,问水厂应设在河岸边的何处,才能 使水管费用最省?

?x ,x∈[0,1] 19、求函数 f(x)=? x,x∈?1,2] ? 2,x∈?2,3]

3

在区间[0,3]上的定积分.

3

20、已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? ln x 2

(1)求函数 f ( x) 在 [1, e] 上的最大值和最小值. (2)求证:在区间[1,+ ?) ,函数 f ( x) 的图象,在 g ( x) ?
2 3 x 的图象下方 3

21. 袋中有分别写着“团团”和“圆圆”的两种玩具共 7 个且形状完全相同, 从中任 1 取 2 个玩具都是“圆圆”的概率为 ,A 、B 两人不放回从袋中轮流摸取一个玩具, 7 A 先取, B 后取,然后 A 再取,……直到两人中有一人取到“圆圆”时即停止游 戏.每个玩具在每一次被取出的机会是均等的,用 X 表示游戏终止时取玩具的 次数. (1)求 X ? 4 时的概率; (2)求 X 的数学期望.

2ax-a2+1 22.已知函数 f(x)= (x∈R),其中 a∈R. x2+1 (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)当 a≠0 时,求函数 f(x)的单调区间与极值.

4

高二数学假期作业(4)参考答案
一、选择题 1-5 ABBCC 6-10BBDCA 11-12 BC

1 1 3 3 1 3 1 3 sin ) , N( , sin ) cos 分别表示 sin x在x ? , 时的导数值, 6 解: cos , 记 M( , 2 2 2 2 2 2 2 2

根据导数的几何意义 A 表示 sinx 在点 M 处的切线的斜率,B 表示 sinx 在点 N 处 的切线的斜率,C 表示直线 MN 的斜率, 根据正弦的图像可知 A>C>B 故选 B

1 3 2 1 3 3 3 1 ( ? i) ? ? i? ? i? 2 2 4 2 4 2 2 10 解:
1 3 3 1 3 3 1 3 1 ? ( ? i) ? ( ? i) ? ( i ? ) ? ? ? ? ?1 2 2 2 2 2 2 4 4 1 3 2014 1 3 3 671 1 3 1 3 1 1 3 671 ? ( ? i) ?( ( ? i)) ? ( ? i) ? (- 1 ) ( i? ) ?? ? i 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

其共轭复数为 ?

1 3 ? i ,故选 A 2 2

二、填空题 2 13. 解:当汽车行驶位移最大时,v(t)=0.又 v(t)=-t +4=0 且 0 ? t ? 3 ,则 t=2 2 1 16 16 2 ? s max ? ? (?t 2 ? 4)dt ? ( - t 3 ? 4t) ,故填 0 ? 0 3 3 3 1 14、 2 15、解: h?(t ) ? ?9.8t ? 6.5 由导数的概念知: t=2 s 时的速度为 h?(2) ? ?9.8 ? 2 ? 6.5 ? ?13.1(m / s) 三、解答题 17、解:本题有多种求法, “归纳——猜想——证明”是其中之一 a1 ?
an ? 3 n?5 3 1 ? ,猜想成立 1? 5 2 3 3 1 3 3 ? , a2 ? , a3 ? , a4 ? , 猜想 2 6 7 8 9
16、 f ( x) = x ? 1

下面用数学归纳法证明: (1)当 n=1 时, a1 ?

5

ak ?1
(2)假设当 n=k 时猜想成立,则

3 3a k 3 k ?5 ? ? ? 3 ak ? 3 (k ? 1) ? 5 ?3 k ?5 3?
an ? 3 n?5

当 n=k+1 时猜想也成立,综合(1) (2) ,对 n ? N 猜想都成立.故应填 18、[解析]

?

设甲城位于 C 点,水厂 D 点与乙城到岸的垂足 B 点之间的距离为 x

千米,总费用为 y 元,则 CD= x2+402. y=500(50-x)+700 x2+1 600 =25 000-500x+700 x2+1 600(0<x<50), 1 2 y′=-500+700· 2(x +1 600) =-500+
2

1 - 2

· 2x

700x 50 6 ,令 y′=0,解得 x= 3 . x +1 600

50 6 答:水厂距甲距离为 50- 3 千米时,总费用最省. 19、[解析] 由积分的性质,知?3f(x)dx=?1f(x)dx+?2f(x)dx+?3f(x)dx=?1x3dx+ ?0 ?0 ?1 ?2 ?0

2 3 ? xdx+? 2dx ?1 ?2

=?1x3dx+?2x ?0 ?1 2 x =4| 1 0+ 3x
4

1 2

dx+?3 2dx ?2

3 2

2 3 |1 + 2x| 2

1 4 2 2 =4+ 3 -3+3 2-2 2 5 7 =-12+3 2 20、

6

1 2 1 x ? ln x,? f '( x ) ? x ? 2 x ? x ? 0 ? f '( x ) ? 0 解:(1)? f ( x ) ? ? f ( x )在(0, ??)是增函数,即在[1, e]是增函数 1 e2 , x ? e时取最大值为 ?1 2 2 1 2 (2) ? f ( x ) ? g ( x) ? x 2 ? ln x ? x 3 2 3 1 1 ? f '( x ) ? g '( x ) ? ?2 x 2 ? x ? ? ( ?2 x 3 ? x 2 ? 1) x x 1 1 设h( x ) ? ?2 x 3 ? x 2 ? 1, 则h '( x) ? ?6 x 2 ? 2 x ? ?6( x ? ) 2 ? 6 36 当x ? (1, ??)时h '( x ) ? 0, h( x )是减函数, ? h( x ) ? h(1) ? 0 ?x ?1 时f ( x )取最小值为 1 ( ?2 x 3 ? x 2 ? 1) ? 0 x 1 2 即在[1, ??)上, f ( x) ? g ( x) ? x 2 ? ln x ? x 3是减函数 2 3 1 ? f ( x ) ? g ( x) ? f (1) ? g (1) ? ? ? 0 6 ?函数f ( x ) ? g ( x)在[1, ??)上始终是负数, ?当x ? [1, ??)时f '( x) ? g '( x ) ? 即函数f ( x )的图象,在函数g ( x )的图象下方。
2 Cn 1 21、 【解析】 (1)设袋中有玩具“圆圆” n 个,由题意知: 2 ? , C7 7 所以 n ? n ?1? ? 6 ,解得 n ? 3 ( n ? ?2 舍去).

4 ? 3? 2 ? 3 3 ? . (6 分) 7 ? 6 ? 5 ? 4 35 (2)由题意可知 X 的可能取值为 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . 3 4? 3 2 ? P ( X ? 1) ? ; P( X ? 2 ) ? ? ; 7 7? 6 7 4 ? 3? 2 ? 3 4 ? 3? 3 6 P( X ? 4 ) ? ? P( X ? 3) ? ? ; 7 ? 6? 5 ? 4 7 ? 6 ? 5 35 P( X ? 4) ?

3 ; 35

P( X ? 5) ?

4 ? 3 ? 2 ?1? 3 1 3 2 6 3 1 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 35 .? E ( X ) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 2 . 7 7 35 35 35
2x 4 ,f(2)=5, x +1
2

22、[解析]

(1)当 a=1 时,f(x)=

2?x2+1?-2x×2x 2-2x2 6 又 f′(x)= = 2 2 2 2,f′(2)=- , 25 ?x +1? ?x +1? 4 6 所以,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y-5=-25(x-2), 即 6x+25y-32=0.
7

2a?x2+1?-2x?2ax-a2+1? -2?x-a??ax+1? (2)f′(x)= = . ?x2+1?2 ?x2+1?2 由于 a≠0,以下分两种情况讨论. 1 ① 当 a>0 时,令 f′(x)=0,得到 x1=-a,x2=a. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) 1 (-∞,- a) - ?? 1 -a 0 极小值 ? 1 ? ?-a,a? ? ? + ?? a 0 极大值 (a,+∞) - ??

1? ? ? 1 ? 所以 f(x)在区间?-∞,-a?, (a, +∞)内为减函数, 在区间?-a,a?内为增函数. ? ? ? ? 1 ? 1? ? 1? 函数 f(x)在 x1=-a处取得极小值 f?-a?,且 f?-a?=-a2. ? ? ? ? 函数 f(x)在 x2=a 处取得极大值 f(a),且 f(a)=1. 1 ②当 a<0 时,令 f′(x)=0,得到 x1=a,x2=-a. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,a) + 递增 a 0 极大值 1? ? ?a,-a? ? ? - ?递减 1 -a 0 极小值 ? 1 ? ?-a,+∞? ? ? + ??递增

1? ? 1 ? ? ?-a,+∞?内为增函数, 所以 f(x)在区间(-∞, a), 在区间?a,-a?内为减函数. ? ? ? ? 函数 f(x)在 x1=a 处取得极大值 f(a),且 f(a)=1. 1 ? 1? ? 1? 函数 f(x)在 x2=-a处取得极小值 f?-a?,且 f?-a?=-a2.. ? ? ? ?

8


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