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2014年皖西七校高三年级联合考试数学(理科)试卷


2014 年皖西七校高三年级联合考试数学(理科)试卷
命制单位:霍邱一中

50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目的要求. 1.复数 z ?

第Ⅰ卷(选择题

2i 2014 1 ? 2i

( i 是虚数

单位)在复平面内的对应点位于

(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 2 2.命题“若 a ? 0 ,则一元二次方程 x ? x ? a ? 0 有实根”的原命题与其逆命题,否命题 逆否命题中真命题的个数是 (A) 0 (B) 2 (C) 4
?

(D) 不确定
1 1

3. 若 a ? 2, b ? 1 ,且 a 与 b 的夹角为 60 ,当 a ? xb 取得最 小值时,实数 x 值为 (A) 2 (B) ? 2 (C) 1 (D) ?1 4. 一个几何体按比例绘制的三视图如右图所示(单位: m ) ,则 该几何体的体积为 (A)

正视图

1
侧视图

1

1
俯视图

1

7 3 m 3

(B)

9 3 m 2

(C)

7 3 m 2

(D)

9 3 m 4

5.已知集合 A ? {x || 2 x ? 1 |? 3} ,集合 B ? ? x | y ?

? ?

x ?1 ? ? ,则 A ? (CR B) = x?2?
(D) ?1,2?

(A) (1,2) 和,则 S 2014 = (A) 2014

(B) (1,2]

(C) (1,??)

6.已知数列 {an } 是等差数列, a1 ? tan225?, a5 ? 13a1 ,设 S n 为数列 {(?1) n an } 的前 n 项 (B) ? 2014 (C) 3021 (D) ? 3021

7.已知 ? , ? 是两个不同的平面,下列四个条件中能推出 ? // ? 的是 ①存在一条直线 a , a ? ? , a ? ? ; ②存在一个平面 ? , ? ? ? , ? ? ? ; ③存在两条平行直线 a, b, a ? ? , b ? ? , a // ? , b // ? ; ④存在两条异面直线 a, b, a ? ? , b ? ? , a // ? , b // ? . (A) ①③ (B) ②④ (C) ①④ (D) ②③ 8.设定义在 R 上的函数 f ( x) 是最小正周期为 2? 的偶函数, f ?( x ) 是 f ( x) 的导函数,当

x ? [0, ? ] 时, 0 ? f ( x) ? 2 ;当 x ? (0, ? ) 且 x ?

?
2

时, ( x ?

?
2

) f ?( x) ? 0 ,则函数

y ? f ( x)? | t anx | 在区间 [?2? ,2? ] 上的零点个数为
数学(理科) 第 1 页 共 8 页

(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 2 2 9.在平面直角坐标系中,定点 M (1,0) ,两动点 A,B 在双曲线 x ? 3 y ? 3 的右支上, 则 cos ?AMB 的最小值是 (A) ?

1 2

(B)

1 2

(C) ?

1 3

(D)

1 3

?2 x , x ? 0, 10.设函数 f ( x) ? ? 若对任意给定的 y ? (2,??) , 都存在唯一的 x ? R , 满足 ?log2 x, x ? 0,
f ( f ( x)) ? 2a 2 y 2 ? ay ,则正实数 a 的最小值是
(A)

0.25

(B) 0.5

(C) 2 100 分)

(D) 4

第Ⅱ卷(非选择题
11.已知 sin(? ?

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

2? 1 ? ) ? ,则 sin(? ? ) ? 3 4 3

.

12. 已 知 函 数 y ? a x?2 ? 2(a ? 0且a ? 1) 的 图 象 恒 过 定 点 A(m, n) , 则 不 等 式 组

?m x ? ny ? 2 ? 0, ? ?8 x ? y ? 4 ? 0, 所表示的平面区域的面积是 ? x ? 0, y ? 0, ?

.

a2 ? b2 13.已知 a ? b ,且 ab ? 1 错误!未找到引用源。 ,则 错误!未找到引用源。的最小 a?b
值是 .

? 14.在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? PB ? PC ? 12 , ?ACB ? 30 , AB ? 6 ,则 PB 与平

面 ABC 所成角的余弦值为 15.方程

.

xx 16

?

yy 9

? ? (? ? 0) 的曲线即为函数 y ? f ( x) 的图象,对于函数 y ? f ( x) ,
.(请写出所有正确命题的序号)

下列命题中正确的是

①函数 y ? f ( x) 在 R 上是单调递减函数; ②函数 y ? f ( x) 的值域是 R ; ③函数 y ? f ( x) 的图象不经过第一象限;④函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称; ⑤函数 F ( x) ? 4 f ( x) ? 3x 至少存在一个零点. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 16. (本小题满分 12 分)

数学(理科)

第 2 页 共 8 页

已知函数 f ( x) ? a ln x ?

2 ? x ,其中 a ? R . x

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 的极值点; (Ⅱ )若 f ( x) 在区间 ?1,??? 内单调递增,求 a 的取值范围. 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

1 3 ? sin ?x + ? cos?x (? ? 0, ? ? 0) 的部分图象如图所示,其中点 2 2

A 为最高点, 点 B,C 为图象与 x 轴的交点, 在三角形 ?ABC 中, 角 A,B,C 对边为 a , b, c ,

b ? 3 ,且满足 (2c ? 3a) cosB ? 3b cos A ? 0 .
(Ⅰ)求三角形 ?ABC 的面积; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调递增区间. 18. (本小题满分 12 分) 如图 1 ,已知⊙ O 的直径 AB ? 4 ,点 C , D 为 ⊙ O 上两点,且 ?CAB ? 45 , ?DAB ? 60 , F 为弧 BC 的中点. 将⊙ O 沿直径 AB
? ?

y

A B

O

C

x

折起,使两个半圆所在平面互相垂直,如图 2. (Ⅰ )求证: OF // AC ; (Ⅱ)在弧 BD 上是否存在点 G ,使得 FG // 平面 ACD ?若存在,试指出点 G 的位置; 若不存在,请说明理由; (Ⅲ)求二面角 C ? AD ? B 的正弦值.

19. (本小题满分 13 分) 学校操场边有一条小沟,沟沿是两条长 150 米的平行线段,沟宽 AB 为 2 米,与沟沿垂 直的平面与沟的交线是一段抛物线,抛物线顶点为 O ,对称轴与地面垂直,沟深 2 米, 沟中水深 1 米. (Ⅰ)求水面宽; (Ⅱ) 如图 1 所示形状的几何体称为柱体. 已知柱体的体积为底面积乘以高. 求沟中的水 有多少立方米;
数学(理科) 第 3 页 共 8 页

(Ⅲ)现在学校要把这条水沟改挖成截面为等腰梯形的沟,沟的底面与地面平行,沟深 不变, 两腰分别与抛物线相切 (如图 2) , 问改挖后的沟底宽为多少米时, 所挖的土最少?

A B

A

B

P

O
20. (本小题满分 13 分)

O

图1

图2

在平面直角坐标系中,已知点 E (?1,0) 和 F (1,0) ,圆 E 是以 E 为圆心,半径为 2 2 的 圆,点 P 是圆 E 上任意一点,线段 FP 的垂直平分线 l 和半径 EP 所在的直线交于点 Q . (Ⅰ)当点 P 在圆上运动时,求点 Q 的轨迹方程 T; (II) 已知 M,N 是曲线 T 上的两点, 若曲线 T 上存在点 P , 满足 OM ? ON ? ? OP (O 为坐标原点) ,求 ? 的取值范围. 21. (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 S n ? 2an ? 2, n ? N * .
x (Ⅰ)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? 2 互为反函数,令 bn ? f (an ) ,求数列 {an ? bn } 的前

n 项和 Tn ;
(II)已知数列 ?cn ? 满足 c n ?

2 ? an ? ? (?1) n?1 ? ,证明:对任意的整数 k ? 4 , ? 3? 4 ?



1 1 1 8 ? ? ??? ? ? . c 4 c5 ck 9

2014 年 “皖西七校” 高三联合考试 数学(理科)参考答案

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一.选择题 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 C 5 B 6 C 7 C 8 D 9 D 10 A

第Ⅱ卷(非选择题
数学(理科)

共 100 分)

第 4 页 共 8 页

二.填空题 11. ?

1 4

12. 2

13. 2 2

14.

1 2

15.①②③

三、解答题(注:以下各题仅给出一种参考解法,其它解法请酌情给分。 ) 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)当 a ? 1 时 f ( x) ?
'

1 2 x2 ? x ? 2 ? 2 ?1 ? ? 0 ? x ? 1 或 x ? ?2 ????3 分 x x x2

x
f ' ( x)

?0,1?
?
单调减

1
0
极小值

?1,?? ?
?
单调增

f ( x)

所以 f ( x) 有极小值点 x ? 1 ,无极大值点。?????????????? 6 分 (2) f ?( x) ?
2

a 2 x 2 ? ax ? 2 ? 2 ?1 ? ?0 x x x2

2 ? x 对 x ? ?1,??? 恒成立????????????9 分 x 2 2 又 y ? ? x 在 ?1,??? 单调递减,所以 a ? ( ? x) max ? 1 ???????????12 分 x x
所以 x ? ax ? 2 ? 0 ? a ?
?1,???

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)由 (2c ? 3a ) cos B ? 3b cos A ? 0 ,得 B ? 在 ?ABC 中, BC 边上的高 h ? c sin B ?

?
6

.??????????3 分

3 1 3 3 .故 S ?ABC ? ? BC ? h ? ???6 分 2 2 4

(2) f ( x) ? 又T ? 又?

1 3 ? ? sin ?x ? ? cos ?x ? ? sin(?x ? ) , BC ? 2b cos B ? 3 . 2 2 3

2?

?
2

?

? 6 ,则 ? ?

?
3

,故 f ( x) ? ? sin(

?
3

x?

?
3

) ????????????9 分

? 2k? ?

?
3

x?

?
3

?

?

5 1 ? 2k? (k ? Z ) ,可得 ? ? 6k ? x ? ? 6k , 2 2 2

所以 f ( x) 单调增区间为 ?? 18. (本小题满分 12 分)

1 ? 5 ? ? 6k , ? 6k ? k ? Z ?????????????12 分 2 ? 2 ?
数学(理科) 第 5 页 共 8 页

解: (Ⅰ)解答略.

??????????????????3 分

(Ⅱ)取弧 BD 的中点 G ,连结 OG 、 FG ,则 ?BOG=?BAD=60 ????5 分 故 OG ∥ AD 又 OF ∥平面 ACD , 故平面 OFG ∥平面 ACD ,则 FG ∥平面 ACD . 因此,在弧 BD 上存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ,且点 G 为弧 BD 的中点.……7 分 (Ⅲ)过 O 作 OE ? AD 于 E ,连 CE . 因为 CO ? AB ,平面 ABC ⊥平面 ABD , 故 CO ⊥平面 ABD . 又因为 AD ? 平面 ABD , 故 CO ? AD , 所以 AD ? 平面 CEO , AD ? CE , 则 ∠ CEO 是 二 面 角 C - AD - B 的 平 面 角 . 又

?OAD ? 60? , OA ? 2 ,故 OE ? 3 .
由 CO ⊥平面 ABD , OE ? 平面 ABD , 得 ?CEO 为直角三角形,又 CO ? 2 ,

?
A E D

C
?F
?

21 3 故 CE ? 7 可得 cos ?CEO = = . 7 7
故二面角 C ? AD ? B 的正弦值为 19. (本小题满分 13 分)

?

O

B

G

2 7 . 7

????????????????12 分

解:(Ⅰ)如图建立平面直角坐标系,设抛物线段的方程为 y ? ax ,?1 ? x ? 1
2 2 将点 B(1,2) 坐标代人方程求得 a ? 2 .所以 y ? 2 x ,?1 ? x ? 1

当 y ? 1 时, x ? ?

2 ,所以水面宽是 2 米;????4 分 2
2 2

y

(Ⅱ) V ? 2 ? 150

?

0

(1 ? 2 x )dx
2

D

? 2 2 ? 2 ?3 ? ? ? ? 100 2 (立方米)??????8 分 ? 300? ? ? ? 2 ? 2 3? ? ? ? ? ?
2 2

P

OC

x

(Ⅲ)设切点 P(t ,2t )(0 ? t ? 1) ,则切线方程为 y ? 2t ? 4t ( x ? t ) ,?????10 分 其与 x 轴的交点 C ( t ,0) ,与直线 y ? 2 的交点 D ( 所以梯形的面积= 2( ?

1 2

t 1 ? , 2) 2 2t

t 2

t 1 1 1 ? )? 2? ? 2? 2 ?2 2 2 2t 2 2
数学(理科) 第 6 页 共 8 页

当且仅当 t ?

1 2 时,等号成立. ,t ? 2t 2 2 米时,所挖的土最少. ????????????13 分 2

所以改挖后的沟底宽为 20. (本小题满分 13 分)

解: (1)点 Q 在线段 FP 的垂直平分线上,则 PQ ? QF , 又 PE ? PQ ? QE ? 2 2 ,则 QE ? QF ? 2 2 ,

x2 ? y 2 ? 1 ????????6 分 故可得点 Q 的轨迹方程 T 为 2
(II)令经过点 M,N 的直线为 l ,则 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m , 将其代入椭圆方程整理可得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx? 2m ? 2 ? 0 . ??????????8
2 2 2

分 设点 M,N 的坐标分别为 M ( x1 , y1 ),N ( x2 , y 2 ), P( x0 , y0 ) ,

2m 4km 2m 2 ? 2 , x1 x 2 ? 则 x1 ? x 2 ? ? ,故 y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2m ? . 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 1 ? 2k
(1)当 m ? 0 时,点 M,N 关于原点对称,则 ? ? 0 .??????????10 分 (2)当 m ? 0 时,点 M,N 不关于原点对称,则 ? ? 0 , 由 OM ? ON ? ? OP 得 ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? ? ( x0 , y0 ) 故 x1 ? x2 ? ?x0 , y1 ? y2 ? ?y0 ,则 x0 ? ?

4km 2m , y0 ? 2 ? (1 ? 2k ) ? (1 ? 2k 2 )

因为 P 在椭圆上,故 [?

4km 2m ]2 ? 2[ ]2 ? 2 2 ? (1 ? 2k ) ? (1 ? 2k 2 )
2

2 2 2 2 2 2 2 化简,得 4m (1 ? 2k ) ? ? (1 ? 2k ) ,又 1 ? 2k ? 0 ,故得 4m ? ? (1 ? 2k ) ……① 2 2 2 2 2 2 又 ? ? 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 2) ? 8(1 ? 2k ? m ) ? 0 ,得 1 ? 2k ? m ……②
2 2
2 联立①、②两式及 m ? 0 得 ? ? 4 ,故 ? 2 ? ? ? 2 且 ? ? 0 .

数学(理科)

第 7 页 共 8 页

综上(1) 、 (2)两种情况,得实数 λ 的取值范围是 ? 2 ? ? ? 2 ?????????13 分 21. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)由 a1 ? S1 ? 2a1 ? 2 ,得 a1 ? 2 ??????????????????2 分 当 n ? 2 时,有 an ? S n ? S n?1 ? 2(an ? an?1 ) ,

an ? 2, a n ?1

所以数列 {an } 是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列,所以 an ? 2 n ???????4 分 由题意得 bn ? log2 an ? n ,所以 an ? bn ? n ? 2 n .

Tn ? 1? 2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? n ? 2 n

①, ②,

① ? 2 得 2 ? Tn ? 1? 2 2 ? 2 ? 23 ? ? ? ? ? (n ? 1) ? 2 n ? n ? 2 n?1

①-②得 ? Tn ? 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? 2 n ? n ? 2 n?1 ? ?(n ? 1) ? 2 n?1 ? 2 , 所以 Tn ? (n ? 1) ? 2 n?1 ? 2 ??????????????????????7 分

(Ⅱ)由通项公式得 c4 ? 2 .当 n ? 3 且 n 为奇数时,

3 2 ?2 1 1 3? 1 1 ? 3 2 n ?1 ? 2 n ? 2 ? ? ? ? ? n?2 ? n ?1 ? ? ? 2n ?3 2 2 n ?3 c n c n ?1 2 ? 2 ? 1 2 ? 1? 2 2 ? 2 n ?1 ? 2 n ?2 ? 1 2
当 k ? 4 且 k 为偶数时,

n ?1

n?2

3? 1 1 ? ? ? n?2 ? n?1 ? 2?2 2 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3? 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) ? ? ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? k ?2 ? = c4 c5 ck c4 c5 c6 ck ?1 ck 2 2?2 2 2 ?
1 3 1 ? 1 ? 1 3 8 ? ? ? ?1 ? k ?4 ? ? ? ? . ??????????????????10 分 2 2 4 ? 2 ? 2 8 9
当 k ? 4 且 k 为奇数时,

1 1 1 1 1 1 1 8 ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? . c 4 c5 c k c 4 c5 ck ck ?1 9 1 1 1 8 ? ? ??? ? ? . c4 c5 ck 9
???????????13 分

所以对任意的整数 k ? 4 ,有

数学(理科)

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