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第二讲:函数及其性质


函数及其性质
一、选择题:
1.下列表达式中,y 是 x 的函数的是 ( A ) y= 1 ? x ( B ) y2 ? 2x (C ) y= x ? 1 ?
1 1? x

(D)

y 2 ? x2

2.下列各组式子表示同一函数的是 ( A ) f(x)= x , (C )

? ?t ? = ( t ) 2
y= x 2 ? 1

(B)

y= x 2 ,

? ?t ? = ( t ) 2
y= 1 ? x 2

y= x ? 1 ? x ? 1 ,

( D ) y= 1 ? x ? 1 ? x ,

3.下列函数中,与函数 y ?

1 有相同定义域的是 x

? A?

f ?x ? ? ln x

?B ?

f ?x ? ?

1 x

?C ?

f ?x ? ? x

?D ?

f ?x ? ? e x

? 1? x2 , x ?1 ? 1 ? , 则f ? 4.设函数 f ?x ? ? ? 2 ? f ?2 ? ? ? 的值为 ? ? ? x ? x ? 2, x ? 1

? A?

15 16

?B ?

?

27 16

?C ?

8 9

?D ?

18

5.已知函数 f ? x ? 的反函数为 g ?x ? ? 1 ? 2 lg x?x ? 0?, 则f ?1? ? g ?1? 等于

? A?

0

?B ?

1

?C ?

2

?D ?

4

6.若函数 f ?x ? ? x 2 ?

a ?x ? R ? ,则下列结论正确的是 x

? A? ?C ?

?a ? R, f ?x ?在?0, ? ??上是增函数 ?a ? R,函数f ?x ?是 偶 函 数

?B ? ?D ?

?a ? R, f ?x ?在?0, ? ??上 是 减 函 数 ?a ? R,函数f ?x ?是奇函数

7.设 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且 f ?x ? 2? ? ? f ?x ? ,又知当 0 ? x ? 1 时,
f ?x ? ? x ,则 f ?7.5? =

? A?

0.5

?B ?

? 0.5

?C ?

1

?D ?

0

8.设函数 y ? x 2 ? bx ? c?x ? ?0,??) ? 是单调函数的充要条件是

? A?

b?0

?B ?

b?0

?C ?

b?0

?D ?

b?0

9.设 0 ? a ? 1,函数f ?x ? ? log a ?a 2 x ? 2a x ? 2? ,则使 f ?x ? ? 0的x 的取值范围是
1

? A? ?? ?,0?

?B? ?0,???

?C ? ?? ?, l o g a 3?

?D ? ?log a 3,?? ?

10.设 a ? 1, 若对任意的x ? ?a,2a?, 都有y ? a, a 2 满足方程 log a x ? log a y ? 3 , 这时 a 的取值集合为

?

?

? A? ?a 1 ? a ? 2?
二、填空题

?B ? ?a a ? 2?

?C ? ?a 2 ? a ? 3?

?D ? ?2,3?

1.已知函数 f(x)的定义域为[-1,3],则 f(x 2 )的定义域为___________
? x ? 2, x ? ?1, ? 2.已知函数 y=f(x)= ? x 2 ,?1 ? x ? 2, 且 f(a)=3,则实数 a 的值为___________ ?2 x, x ? 2 ?

3.已知函数 f ? x ? 为偶函数,且图像与 x 轴有四个交点,则方程 f ?x ? ? 0 的所有根 的和为___ 4.已知 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时, f ?x ? ? x 3 ? x ? 1 ,则 x<0 时,
f ? x ? =_______

5.设偶函数 f ? x ? 满足 f ?x ? ? x 3 ? 8?x ? 0?,则 ?x | f ?x ? 2? ? 0?=________

三、解答题:
1.已知 y=f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,且 f(1-a)<f(3a-1),求 a 的取值范围. 2.判断下列函数的奇偶性:

?1? ?3?

f ?x ? ? 5
f ?x ? ? x 2 ? x ? 1? x ?1

?2? ?4?
x ?1 x ?1

f ?x ? ?

x2 ?1 ? 1? x2

f ?x ? ? x ? 1 ? x ? 1
在 R 上是减函数,试确定 a 的取值范围

3.函数 f ? x ? ? ?

??3a ? 1?x ? 4a, ? log a x,

4.求下列函数的值域。

?1?

y ? ? x 2 ? 6x ? 5
y ? x ?1 ? x ? 4

?2?

y?

3x ? 1 x?2

?3?

y ? x ? 4 1? x

?4?

?5?

y?

2x 2 ? x ? 2 x2 ? x ?1

?6? y ? 2 x

? x ?1 1 (x ? ) 2x ? 1 2
2

2

1 ? sin x 2 ? cos x 1 x 5. (1)如果 f( )= ,则 f(x)=__________________; x 1? x2 1 1 2 (2)如果 f(x- )=(x+ ) ,则 f(x+1)=_________________; x x

?7 ?

y?

(3)如果 f(f(x))=2x-1,则一次函数 f(x)=______________; (4)已知 f(x)+2f(

1 )=x(x ? 0 ),则 f(x)=______________. x

3


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