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【优化方案】2012高中数学 第2章2.4.2等比数列的性质课件 新人教A版必修5


2.4.2 等比数列的性质 .

学习目标 1.进一步巩固等比数列的定义和通项公式. 进一步巩固等比数列的定义和通项公式. 进一步巩固等比数列的定义和通项公式 2.掌握等比数列的性质,会用性质灵活解决问 .掌握等比数列的性质, 题.

2. 4.2 等 比 数 列 的 性 质

课前自主学案

堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基

an+1 1.若数列 n}为等比数列,则_______=q(常数 . 为等比数列, 常数). .若数列{a 为等比数列 an = 常数
2.通项公式:等比数列{an}的公比为 ,则an= .通项公式:等比数列 的公比为q, 的公比为
- a1qn-1. ________

知新盖能 等比数列的常用性质
- qn-m 通项公式的推广: , 性质 通项公式的推广:an=am·______ (n, m∈N*) ∈ 1 为等比数列, 为等比数列 且 + = + , 性质 若{an}为等比数列, k+l=m+n(k, * am·an l,m,n∈N ),则 ak·al=________ , , ∈ , 2 项数相同)是等比数列 若{an},{bn}(项数相同 是等比数列, , 项数相同 是等比数列, 1 an 性质 2 则{λan}(λ≠0), a }, n}, n·bn}, b } ≠ , , , { {a {a , { 3 n n 仍是等比数列

在等比数列{a 中距首 中距首、 在等比数列 n}中距首、末两 性质 端等距离的两项的积相等, 端等距离的两项的积相等,即 4 a1an=a2an-1=a3an-2=… 在等比数列{a 中 性质 在等比数列 n}中,序号成等 差数列的项仍成等比数列 5

课堂互动讲练

考点突破 等比数列的性质 在解有关等比数列的问题时, 在解有关等比数列的问题时,要注意利用等比数 列的性质,可以使问题变得简单、明了. 列的性质,可以使问题变得简单、明了.
例1

(1)已知 n}是等比数列,且an>0,a2a4+ 已知{a 是等比数列 是等比数列, 已知 ,

2a3a5+a4a6=25,那么 3+a5的值等于 的值等于________. ,那么a . (2)等比数列 n}中,若a9=- ,则此数列前 项之 等比数列{a 中 =-2,则此数列前17项之 等比数列 积为________. 积为 .

(3)在等比数列中,若a2=2,a6=162,则a10= 在等比数列中, 在等比数列中 , , ________. (4)(2010年高考大纲全国卷Ⅰ)已知各项均为正数 年高考大纲全国卷Ⅰ 已知各项均为正数 年高考大纲全国卷 的等比数列{a 中 的等比数列 n}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 , , a4a5a6=( )

A.5 2 . C.6 .

B.7 . D.4 2 .

利用等比数列性质, 【思路点拨】 ①利用等比数列性质,若m+n=p 思路点拨】 + = +q,则aman=apaq. , 成等比数列, ②若{an}成等比数列,则am,am+n,am+2n,…仍 成等比数列 仍 + + 成等比数列. 成等比数列.

【解析】 (1)由等比数列性质 a2a4=a2, 解析】 由等比数列性质 3 a4a6=a2, 5 把 a2a4+2a3a5+a4a6=25 化为 a2+2a3a5+a2=25 3 5 ?(a3+a5)2=25(an>0) ?a3+a5=5.

(2)由题意得 a1a2a3…a15a16a17 由题意得 =(a1a17)·(a2a16)·(a3a15)·…·a9 … =a17=(-2)17=- 17. - =-2 9 (3)∵{an}为等比数列,∴a2,a6,a10 仍 ∵ 为等比数列, 为等比数列 成等比数列, 成等比数列,
2 ∴a6=a2a10,

a2 1622 6 ∴a10= = =13122. a2 2

(4)∵{an}成等比数列且 an>0, ∵ 成等比数列且 成等 , ∴a2=a1a7,a2=a2a8,a2=a3a9. 4 5 6 ∴a2a2a2=a1a7a2a8a3a9=a1a2a3·a7a8a9=50. 4 5 6 ∴a4a5a6=5 2.
【答案】 答案】 (1)5 (2)-217 - (3)13122 (4)A

等比数列的设法及求解

三个数成等比数列时, 三个数成等比数列时,常设这三个数分别为 a, 比数列时 , a aq,aq 或 ,a,aq; , , ; q
2

四个数成等比数列时, 四个数成等比数列时,常设这四个数分别为 a, , a a aq,aq ,aq 或 3, ,aq,aq3(公比为 q2). , , 公比为 . q q
2 3

例2

有四个实数,前三个数成等比数列, 有四个实数,前三个数成等比数列,且它

们的乘积为216,后三个数成等差数列,且它们 ,后三个数成等差数列, 们的乘积为 之和为12,求这四个数. 之和为 ,求这四个数.

【思路点拨】 思路点拨】

根据三个数成等比数列,可以设 根据三个数成等比数列,

a 三个数为q,a, aq;根据三个数成等差数列且它 , ; 们之和为 12,可以设三个数为 4-d,4,4+d. , - +

a a 法一: a, 则 aq, 【解】 法一: 设前三个数为q, , , q·a·aq=216, = , 6 3 ∴a =216.∴a=6.因此前三个数为q,6,6q. ∴ = 因此前三个数为 由题意第 4 个数为 12q-6. - 2 ∴6+6q+12q-6=12,解得 q= . + + - = , = 3 故所求的四个数为 9,6,4,2.

法二: 法二:设后三个数为 4-d,4,4+d,则第一个数为 - + , 1 1 2 (4-d) ,由题意 (4-d)2·(4-d)·4=216,解得 4 - - - = , 4 4 =-2.故所求得的四个数为 -d=6.∴d=- 故所求得的四个数为 9,6,4,2. = ∴ =-

变式训练1 变式训练

已知三个数成等比数列, 已知三个数成等比数列,它们的积为

27,它们的平方和为91,求这三个数. ,它们的平方和为 ,求这三个数.

解:设三个数依次为 a,aq,aq , , , ?a·aq·aq2=27 由题意知? 2 , 2 2 2 4 ?a +a q +a q =91
?(aq)3=27 ) ∴? 2 , 2 4 + ?a (1+q +q )=91 ?aq=3 = 即? 2 , 2 4 + ?a (1+q +q )=91

2

q2 9 解得 = ,得 9q4-82q2+9=0, = , 2 4 1+q +q 91 + 1 2 2 即得 q =9 或 q = , 9 1 ∴q=±3 或 q=± , = = 3 若 q=3,则 a1=1; = , ;

1 =-3, =-1; 若 q=- ,则 a1=- ;若 q= ,则 a1=9; =- = ; 3 1 =-9.故这三个数为 故这三个数为: 若 q=- ,则 a1=- 故这三个数为:1,3,9 或- =- 3 1,3,- 或 9,3,1 或-9,3,- ,-9 ,-1. ,- ,-

等比数列的实际应用 某工厂三年的生产计划中,从第二年起每 某工厂三年的生产计划中, 一年比上一年增长的产值都相同, 一年比上一年增长的产值都相同,三年的总产值 万元. 为300万元.如果第一年、第二年、第三年分别 万元 如果第一年、第二年、 比原计划产值多10万元 万元、 万元 万元、 万元 万元, 比原计划产值多 万元、10万元、11万元,那么 每一年比上一年的产值增长的百分数都相同, 每一年比上一年的产值增长的百分数都相同,求 原计划中每年的产值. 原计划中每年的产值. 思路点拨】 审清题意,抽象出数学模型. 【思路点拨】 审清题意,抽象出数学模型.“ 从第二年起每一年比上一年增长的产值都相同” 从第二年起每一年比上一年增长的产值都相同 说明原计划三年产值成等差数列; 每一年比上 说明原计划三年产值成等差数列;“每一年比上 一年的产值增长的百分数都相同”说明新产值构 一年的产值增长的百分数都相同 说明新产值构 成等比数列. 成等比数列.
例3

由题意得, 【解】 由题意得,原计划三年中每年的产值组 成等差数列,设为a- , , + 成等差数列,设为 -d,a,a+d(d>0), , 则有(a- + + + = 则有 -d)+a+(a+d)=300,解得 =100. ,解得a= 又由题意知(a- + , + , + + 组成 又由题意知 -d)+10,a+10,(a+d)+11组成 等比数列, 等比数列,∴(a+10)2=[(a-d)+10][(a+d)+ + - + + + 11]. . 代入上式, - + , 将a=100代入上式,得1102=(110-d)(111+d), = 代入上式 解得d= 或 =- 舍去). =-11(舍去 即d2+d-110=0.解得 =10或d=- 舍去 . - = 解得 原计划三年中每年的产值分别为90万元 万元、 ∴原计划三年中每年的产值分别为 万元、100万 万 元和110万元 万元. 元和 万元.

【名师点评】 名师点评】

本题首先归结到等差数列和等

比数列两个数学模型,其次在设公差时, 比数列两个数学模型,其次在设公差时,根据 题意知d>0,这是题中的隐含条件. ,这是题中的隐含条件. 题意知

变式训练2 变式训练

某工厂2010年生产某种机器零件 年生产某种机器零件100 某工厂 年生产某种机器零件

万件,计划到2012年把产量提高到每年生产 万件,计划到 年把产量提高到每年生产121万 万 年把产量提高到每年生产 件.如果每一年比上一年增长的百分率相同,这 如果每一年比上一年增长的百分率相同, 个百分率是多少? 年生产这种零件多少万件? 个百分率是多少?2011年生产这种零件多少万件? 年生产这种零件多少万件 解:设每一年比上一年增长的百分率为x,则从 设每一年比上一年增长的百分率为 , 2010年起,连续3年的产量依次为 1=100,a2= 年起,连续 年的产量依次为 年的产量依次为a 年起 , a1(1+x),a3=a2(1+x),即a1=100,a2=100(1+ + , + , , + x),a3=100(1+x)2成等比数列. , + 成等比数列.

由100(1+x)2=121得(1+x)2=1.21, + 得 + , =-1.1, ∴1+x=1.1或1+x=- , + = 或 + =- =-2.1(舍去 , 舍去), ∴x=0.1或x=- = 或 =- 舍去 a2=100(1+x)=110(万件 , 万件), + = 万件 所以每年增长的百分率为10%,2011年生产这种零 年生产这种零 所以每年增长的百分率为 万件. 件110万件. 万件

方法感悟 等比数列的性质 的首项为a 公比为q. 等比数列{a 的首项为 等比数列 n}的首项为 1,公比为 (1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,数列为递 当 > , 或 < < , 时 增数列; 增数列; 当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,数列为递减 > , 或 < < , 时 数列; 数列; 当q=1时,数列为常数列; = 时 数列为常数列; 当q<0时,数列为摆动数列. < 时 数列为摆动数列.

- (2)an=amqn-m(m,n∈N*). , ∈ .

(3)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则aman= 若 + = + , , , ∈ , apaq. (4)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列时,则 若 , , 成等差数列时, , , ∈ 成等差数列时 am,an,ap成等比数列. 成等比数列.


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