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2013年下学期高二理科数学第二次月考试卷


崇义中学 2013 年下学期高二理科第二次月考数学试卷
命题人:戴冬纯 审题人:刘文亮 审核人:胡述洪 时间: 2013.10.7 (120 分钟)

第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知过 A?? 1, a ? 、 ?a, 8? 两点的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行, a 的值为 则 ( B A. -10 B. 2 C.5 D.17 2 2 2 2 2.圆(x+2) +y =4 与圆(x-2) +(y-1) =9 的位置关系为( A.内切 B.相交
2 2



) )

C.外切

D.相离

3.圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离的最大值是( A. 2 B. 1 ? 2 C. 2 ? D. 1 ? 2 2

4. 一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( A. )

1 ? 2?

?

B.

1 ? 4? 4?

C.

1 ? 2? 2?

D.

1 ? 4? 2?

5.一几何体的三视图如图所示,圆的半径均为 2,则该几何体的 表面积 ( ) A. 16? B. 14? C. 12? D. 8? 6.教室内有根棍子,无论怎样放置,地面上总有这样的直线与棍 子所在直线( ) ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.异面 7. α 、 是两个不同的平面,、 是两条不重合的直线, 设 β l m 下列命题中正确的是( A.若 l∥α ,α ∩β =m,则 l∥m C.若 l∥α ,m∥β ,且 α ∥β ,则 l∥m B.若 l∥m,m?α ,则 l∥α D.若 l⊥α ,m⊥β 且 α ⊥β ,则 l⊥m

8.如图 1, 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱线长为 1, 线段 B1 D1 上有两个动点 E, 且 EF ? F, A. AC ? BE
1 , 则下列结论中错误的是 ( 2



B. EF // 平面ABCD

C.三棱锥 A ? BEF 的体积为定值 D. ?AEF的面积与?BEF的面积相等

9.正四面体的各条棱长为 a ,点 P 在棱 AB 上移动,点 Q 在棱 CD 上移动,则点 P 和 点 Q 的最短距离是( )
1 A. a 2

B.

2 a 2

C.

3 a 2

3 D. a 4

10.如图,啤酒瓶的高为 h,瓶内酒面高度为 a,若将瓶盖盖好倒置,酒面高度为 a′(a′+b=h),则酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为 (
b 且 a+b>h a a C.1+ 且 a+b>h b



A.1+

b 且 a+b<h a a D.1+ 且 a+b<h b

B.1+

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. ) 11.若棱长均相等的三棱锥叫正四面体, 求棱长为 a 的正四面体的高为



12.命题:①底面是正多边形,而且侧棱长与底面边长都相等的棱锥是正多面体;② 正多面体的面不是三角形,就是正方形;③若长方体的各侧面都是正方形,它就是 正多面体;④正三棱锥就是正四面体,其中正确的序号是 .

13.如图,是△AOB 用斜二测画法画出的直观图,则△AOB 的面积是________.

第 13 题图

第 14 题图

14.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几 何体的表面积是 . 15.已知圆 C : x2 ? y 2 ? 2 x ? my ? 4 ? 0 上的两点 M 、 N 关于直线 2x ? y ? 0 对称,直线
l : tx ? y ? t ?1 ? 0( t ? R)与圆 C 相交于 A 、 B 两点,则 | AB | 的最小值是

第Ⅱ卷 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出文字说明、证明过程或解题 步骤) 16.(本小题共 12 分)已知圆 C: ? x ? 1? ? y 2 ? 9 内有一点 P(2,2) ,过点 P 作直线
2

l 交圆 C 于 A、B 两点. (Ⅰ)当弦 AB 被点 P 平分时,写出直线 l 的方程; 分) (6 (Ⅱ)当直线 l 的倾斜角为 45? 时,求弦 AB 的长.(6 分)

17.(本小题共 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, PA ? 平 面 ABCD , E 是 PC 中点, F 为线段 AC 上一点. (Ⅰ)求证: BD ? EF ; (6 分) (Ⅱ)试确定点 F 在线段 AC 上的位置,使 EF //平面 PBD ,并 说明理由. (6 分)
B A F C E D P

18. (本小题满分 12 分) 如图 1, 在四棱锥 P ? ABCD 中,PA ? 底面 ABCD , AC 面 BD 为正方形,E 为侧棱 PD 上一点,F 为 AB 上一点. 该四棱锥的正 (主) 视图和侧 (左) 视图如图 2 所示. (Ⅰ)求四面体 PBFC 的体积; 分) (4 (Ⅱ)证明: AE ∥平面 PFC ; 分) (4 (Ⅲ)证明:平面 PFC ? 平面 PCD . 分) (4

19.(本小题满分 12 分)如图所示,已知 AC ⊥平面 CDE, BD ∥AC , ?ECD 为等边 三角形,F 为 ED 边上的中点,且 CD=BD=2AC=2, (1)求证:CF∥面 ABE; (4 分) A B (2)求证:面 ABE ⊥平面 BDE; 分) (4 (3)求该几何体 ABECD 的体积。 分) (4
C

E

F

D

20. (本小题满分 13 分) (1)如图 (1) 四边形 ABCD,A(0,0) ,B(1,0) ,C(2,1) ,D(0,3) , 绕 y 轴旋转一周,求所得旋转体的体积. 分) (6 (2)如图(2), 圆锥形封闭容器, 高为 h, 圆锥内水面高为 h1 ,h1 ? 圆锥内水面高为 h2 ,求h2 . (7 分)
h , 若将圆锥倒置后, 3

21. (本小题满分 14 分)已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 4 y ? 4 ? 0 ,直线 l1 被圆所截得的弦 的中点为 P(5,3) . (1)求直线 l1 的方程. 分) (4 (2)若直线 l 2 : x ? y ? b ? 0 与圆 C 相交,求 b 的取值范围. 分) (4 (3)是否存在常数 b ,使得直线 l 2 被圆 C 所截得的弦的中点落在直线 l1 上?若存在, 求出 b 的值;若不存在,说明理由. 分) (6

(试卷满分:150 分,参考平均分:平行班:60 重点班:86)

参考答案 一、选择题(50 分) 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 C 5 A 6 B 7 D 8 C 9 B 10 B

二、填空题(25 分) 6 a 11. 12.③ 3 三、解答题(75 分)

13.16

14. 4 ? 2 6cm 2

15. 1

16.解:(Ⅰ) 当弦 AB 被点 P 平分时,l⊥PC,

1 直线 l 的方程为 y ? 2 ? ? ( x ? 2) , 2

即 x ? 2y ? 6 ? 0 (Ⅱ) 当直线 l 的倾斜角为 45? 时,斜率为 1,直线 l 的方程为 y ? 2 ? x ? 2 , 1 即 x ? y ? 0 ,圆心 C 到直线 l 的距离为 ,圆的半径为 3,弦 AB 的长为 34 . 2 17

理由如下:连接 PO ,因为 EF //平面 PBD , EF ? 平面 PAC , 平面 PAC ? 平面 PBD ? PO , 所以 EF ∥ PO . 在△ POC 中, E 为 PC 的中点, 所以 F 为 OC 中点. 在△ POC 中, E , F 分别为 PC , OC 的中点, 所以 EF ∥ PO .又 EF ?平面 PBD , PO ?平面 PBD , 故 EF //平面 PBD . ………………12 分

18. (Ⅰ)解:由左视图可得 F 为 AB 的中点, 所以 △ BFC 的面积为 S ? 因为 PA ? 平面 ABCD , 所以四面体 PBFC 的体积为
1 1 2 VP ? BFC ? S?BFC ? PA ? ? 1 ? 2 ? . 3 3 3 1 ? 1 ? 2 ? 1 .………………1 分 2

………………2 分

………………4 分 ………………5 分

(Ⅱ)证明:取 PC 中点 Q ,连结 EQ , FQ .

1 由正(主)视图可得 E 为 PD 的中点,所以 EQ ∥ CD , EQ ? CD .…………6 分 2 1 又因为 AF ∥ CD , AF ? CD , 所以 AF ∥ EQ , AF ? EQ . 2

所以四边形 AFQE 为平行四边形,所以 AE ∥ FQ . 因为 AE ? 平面 PFC , FQ ? 平面 PFC , 所以 直线 AE ∥平面 PFC .

………………8 分

………………8 分

(Ⅲ)证明:因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 PA ? CD . 因为面 ABCD 为正方形,所以 AD ? CD .所以 CD ? 平面 PAD .……………9 分 因为 AE ? 平面 PAD ,所以 CD ? AE . 因为 PA ? AD , E 为 PD 中点,所以 AE ? PD .所以 AE ? 平面 PCD .……10 分 因为 AE ∥ FQ ,所以 FQ ? 平面 PCD . ………………11 分 ………………12 分

因为 FQ ? 平面 PFC , 所以 平面 PFC ? 平面 PCD .

1 1 19、解: (1)证明:取 BE 的中点 G,连 FG∥ BD ,AC∥ BD , 2 2 故 CF∥AG ? CF∥面 ABE …………………(4 分) (2)证明:△ECD 为等边三角形 ? CF⊥ED 又 CF⊥BD ? CF⊥面 BDE,CF∥AG 故 AG⊥面 BDE ? 面 ABE ⊥平面 BDE ……… 分) (8
A B

(3)几何体 ABECD 是四棱锥 E-ABCD,EH⊥CD ? EH⊥ 面 ABCD
C

E

F

D

1 1 ? (1 ? 2) ? 2 ? 3 ? 3 ………(12 分) 3 2 1 1 8 20.解: (1) V圆锥 ? ?r 2 h ? ? ? 2 2 ? 2 ? ? …………………2 分 3 3 3 1 1 7 V圆台 ? ?h(r 2 ? R 2 ? Rr ) ? ? ? 1 ? (2 2 ? 12 ? 2 ? 1) ? ? 3 3 3 VE ? ABCD ?
?V ? V圆锥 ? V圆台 ? 5?

………………………6 分 ……………………9 分
1

(2)解:
V水 V锥

2 h VS ? AB 8 ? ( 3 )3 ? VS ?CD h 27

?

19 19 ? 19 ? 3 3 19 ……………..13 分 3 ? 倒置后:V水 :V锥 ? h2 :h 3 ? ? h2 ? ? h 3 ? ? h 27 27 3 ? 27 ?
2 2

21、解:① 圆 C 的方程化标准方程为: ?x ? 3? ? ? y ? 1? ? 9 于是圆心 C ?3,2? ,半径 r ? 3 .若设直线 l1 的斜率为 k 则: k ? ? ∴ 直线 l1 的方程为: y ? 3 ? ?2?x ? 5? ② ∵圆的半径 r ? 3 ∴ b?5 ?3 2 即 2x ?
1 k PC ?? 1 ? ?2 . 1 2

y ? 13 ? 0 . 分) (4
3? 2?b 2 ?3

∴要使直线 l 2 与圆 C 相交则须有:

于是 b 的取值范围是: - 3 2- 5<b<3 2 ? 5 . 分) (8


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