kl800.com省心范文网

2013高三数学二轮专题三第2讲 数列求和及数列的综合应用


高考真题感悟

第2讲

第2讲

数列求和及数列的综合应用

【高考真题感悟】 (2011· 课标全国)等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=
2 1,a3=9a2a6.

本 讲 栏 目 开 关

(1)求数列{an}的通项公式; (

2)设
?1? ? ? bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列?b ?的前 ? ? ? n?

n 项和.

解 (1)设数列{an}的公比为 q.
由 a2=9a2a6 得 3
2 a2=9a4,所以 3

1 q =9.
2

1 由条件可知 q>0,故 q=3. 由 2a1+3a2=1,得 2a1+3a1q=1,

高考真题感悟
1 所以 a1= . 3
1 故数列{an}的通项公式为 an=3n. (2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an
n?n+1? =-(1+2+…+n)=- 2 . ?1 1 ? 1 2 ? 故b =- =-2?n-n+1?, ? n?n+1? n ? ?

第2讲

本 讲 栏 目 开 关

?? ?1 1 ?? 1? ?1 1? 1 1 1 2n ?? ? ?? - 1- ? ? - ? b1+b2+…+bn=-2?? 2?+?2 3?+…+?n n+1??=-n+1. ? ? ??
?1? ? ? 所以数列?b ?的前 ? ? ? n?

2n n 项和为- . n+1

高考真题感悟

第2讲

考题分析

本题主要考查等比数列的基本量的计算、 通项公

本 讲 栏 目 开 关

式和前 n 项和的求法. 考查了用裂项法求前 n 项和的基本方 法.体现了对逻辑思维能力和运算求解能力的考查.
易错提醒 (1)不能准确选择基本量, 列方程求解. n 计算 (2)b ?1? ? ? 不准确,易忽略负号.(3)所求的是?b ?的前 n 项和而非{bn} ? ? ? n? 的前 n 项和.

主干知识梳理

第2讲

本 讲 栏 目 开 关

1.等差、等比数列的求和公式 (1)等差数列前 n 项和公式: n?n-1? n?a1+an? Sn=na1+ · d= . 2 2 (2)等比数列前 n 项和公式: ①q=1 时,Sn=na1; a1?1-qn? ②q≠1 时,Sn= . 1-q

主干知识梳理

第2讲

2.数列求和的方法技巧 (1)转化法 有些数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将数 列通项拆开或变形,可转化为几个等差、等比数列或常 见的数列,即先分别求和,然后再合并. (2)错位相减法 这是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这 种方法主要用于求数列{an·n}的前 n 项和, b 其中{an}, n} {b 分别是等差数列和等比数列.

本 讲 栏 目 开 关

热点分类突破

第2讲

(3)倒序相加法 这是在推导等差数列前 n 项和公式时所用的方法, 也就是将 一个数列倒过来排列(反序),当它与原数列相加时若有公式 可提,并且剩余项的和易于求得,则这样的数列可用倒序相 加法求和. (4)裂项相消法 利用通项变形,将通项分裂成两项或 n 项的差,通过相加过 程中的相互抵消,最后只剩下有限项的和.

本 讲 栏 目 开 关

主干知识梳理

第2讲

3.数列的应用题 (1)应用问题一般文字叙述较长,反映的事物背景陌生,知识 涉及面广, 因此要解好应用题, 首先应当提高阅读理解能力, 将普通语言转化为数学语言或数学符号,实际问题转化为数 学问题,然后再用数学运算、数学推理予以解决. (2)数列应用题一般是等比、等差数列问题,其中,等比数列 涉及的范围比较广,如经济上涉及利润、成本、效益的增减, 解决该类题的关键是建立一个数列模型{an},利用该数列的 通项公式、递推公式或前 n 项和公式.

本 讲 栏 目 开 关

热点分类突破

第2讲

题型一

本 讲 栏 目 开 关

分组转化求和法 n·n+1 2 3 9 25 65 【例 1】 求和:(1)Sn= + + + +…+ ; 2 4 8 16 2n ? ? 1 ?2 ? 2 1 ?2 1 ?2 n (2)Sn=?x+x? +?x +x2? +…+?x +xn? . ? ? ? ? ? ? ?1? 1 ? ? (1)写出通项 an=n+2n,转化为数列{n}和数列?2n? ? ? ? ?
分别求和再相加.
?1? 1 ? ? 2n ? (2)写出通项 an=x +x2n+2, 可转化为两个等比数列{x },x2n? ? ? ? ?
2n

与常数列{2}的求和问题.

热点分类突破
n·n+1 2 1 解 (1)由于 an= =n+ n, 2n 2 ? ? 1? ? 1? ? 1? 1? ∴Sn=?1+21?+?2+22?+?3+23?+…+?n+2n? ? ? ? ? ? ? ? ?
?1 1 1 1? =(1+2+3+…+n)+?2+22+23+…+2n? ? ?

第2讲

本 讲 栏 目 开 关

1? 1? ? ? n?n+1? 2?1-2n? n?n+1? 1 = 2 + 1 = 2 -2n+1. 1-2 (2)当 x=± 时,Sn=4n.当 x≠± 时, 1 1 ? ? 1?2 ? 2 1 ?2 1 ?2 n Sn=?x+x ? +?x +x2? +…+?x +xn? ? ? ? ? ? ?

热点分类突破
? ? 1? ? 4 1? 1? 2 2n =?x +2+x2?+?x +2+x4?+…+?x +2+x2n? ? ? ? ? ? ?

第2讲

本 讲 栏 目 开 关

=(x +x +…+x

2

4

2n

?1 1 1? )+2n+?x2+x4+…+x2n? ? ?

x2?x2n-1? x-2?1-x-2n? = 2 + +2n - x -1 1-x 2
?x2n-1??x2n+2+1? = +2n. 2n 2 x ?x -1? ∴

热点分类突破

第2讲

本 讲 栏 目 开 关

某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可 求和的新数列的和或差,从而求得原数列的和,这就要通过 对数列通项结构特点进行分析研究, 将数列的通项合理分解 转化.特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论.

热点分类突破

第2讲

(2011· 山东)等比数列{an}中,a1,a2,a3 分别是下表 第一、二、三行中的某一个数,且 a1,a2,a3 中的任何两个数 不在下表的同一列.

本 讲 栏 目 开 关

第一列 第一行 3

第二列 2

第三列 10

第二行 第三行

6 9

4 8

14 18

(1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1)nln an,求数列{bn}的前 n 项 和 Sn.

热点分类突破

第2讲



(1)当 a1=3 时,不合题意;

当 a1=2 时,当且仅当 a2=6,a3=18 时,符合题意; 当 a1=10 时,不合题意.
因此 a1=2,a2=6,a3=18. 所以公比 q=3. 故 an=2·n 3
-1

本 讲 栏 目 开 关

(n∈N*).

(2)因为 bn=an+(-1)nln an =2·n 1+(-1)nln(2·n 1) 3 3
=2·n-1+(-1)n[ln 2+(n-1)ln 3] 3 =2·n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3, 3
- -

热点分类突破

第2讲

所以 Sn=2(1+3+…+3n-1)+[-1+1-1+…+(-1)n]· (ln 2-ln 3)+[-1+2-3+…+(-1)nn]ln 3.

本 讲 栏 目 开 关

1-3n n n n 所以当 n 为偶数时,Sn=2× + ln 3=3 + ln 3-1; 2 1-3 2
?n-1 ? 1-3n ? ? 当 n 为奇数时,Sn=2× -(ln 2-ln 3)+? -n?ln 3 1-3 ? 2 ? n-1 n =3 - ln 3-ln 2-1. 2 ? n n n为偶数, ?3 +2ln 3-1, 综上所述,Sn=? ?3n-n-1ln 3-ln 2-1, n为奇数. 2 ?

热点分类突破
题型二 错位相减求和法
+1

第2讲

【例 2】 已知数列{an}中, 1=4, an=2an-1+2n a 且 且 n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

(n≥2,

本 讲 栏 目 开 关

(1)①是数列{an}的一个递推关系式,由等差数列 与等比数列的定义容易判断该数列既不是等差数列也不是 等比数列; ②除以 2n 后可以发现得到的式子正好符合等差数 an 列的定义,因此可构造等差数列{2n}进行求解; (2)数列{an}的每一项都是一个等差数列的项与一个等比数 列的项的乘积,因此可用错位相减法求和.

热点分类突破

第2讲



(1)在等式 an=2an-1+2n+1 (n≥2)两边同时除以 2n,

本 讲 栏 目 开 关

an an-1 an an-1 得2n= n-1+2 (n≥2),即2n- n-1=2 (n≥2), 2 2 an 因此数列{2n}是一个公差为 2 的等差数列, a1 4 且其首项为 2 =2=2, an 于是2n=2+(n-1)×2=2n, 因此 an=2n·n=n·n+1, 2 2

即数列{an}的通项公式为 an=n·n 1. 2



热点分类突破
(2)由(1)知 Sn=a1+a2+…+an =1·2+2·3+3·4+…+n·n 1, 2 2 2 2
所以 2Sn=1·3+2·4+3·5+…+(n-1)·n 1+n·n 2, 2 2 2 2 2
两式相减得-Sn=22+23+24+…+2n+1-n·n+2 2
4?1-2n? + + = -n·n 2=(1-n)·n 2-4, 2 2 1-2
故 Sn=4+(n-1)·n+2. 2
+ +

第2讲



本 讲 栏 目 开 关

错位相减法求数列的前 n 项和是一类重要方 法.在应用这种方法时,一定要抓住数列的特征,即数列的 项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘 所得数列的求和问题.

热点分类突破
设数列{an}满足 a1=2,an+1-an=3·2n-1. 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

第2讲

本 讲 栏 目 开 关



(1)由已知,当 n≥1 时,

an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1 =3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1.

而 a1=2,符合上式, 所以数列{an}的通项公式为 an=22n 1.
(2)由 bn=nan=n·2n 1 知 2 Sn=1· 2+2·3+3·5+…+n·2n-1.① 2 2 2




从而 22·n=1·3+2·5+3·7+…+n·2n 1.② S 2 2 2 2



热点分类突破

第2讲

本 讲 栏 目 开 关

①-②得(1-22)Sn=2+23+25+…+22n-1-n·2n+1, 2
1 + 即 Sn=9[(3n-1)22n 1+2].

热点分类突破
题型三 【例 3】 裂项相消求和法 已知数列{an}的前 n 项和为

第2讲

? Sn ? Sn,点?n, n ?在直线 ? ?

y

本 讲 栏 目 开 关

1 11 = x+ 上.数列{bn}满足 bn+2-2bn+1+bn=0 (n∈N*),且 2 2 b3=11,前 9 项和为 153. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; 3 (2)设 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. ?2an-11??2bn-1?
(1)先求出 Sn 的函数表达式,再由 an =Sn -Sn - 1 (n≥2)求出 an;先判断数列{bn}为等差数列,再求通项. (2)求出{cn}的通项,根据通项特点正确裂项.

热点分类突破
Sn 1 11 1 2 11 解 (1)由题意,得 n = n+ ,即 Sn= n + n. 2 2 2 2 故当n≥2时,有an=Sn-Sn-1 ?1 ? 11 ? ?1 11 2 2 =?2n + 2 n?-?2(n-1) + 2 (n-1)?=n+5. ? ? ? ?
当 n=1 时,a1=S1=6,且 n+5=6, 所以 an=n+5 (n∈N*).
又由题意知 bn+2-2bn+1+bn=0, 即 bn+2-bn+1=bn+1-bn (n∈N*),

第2讲

本 讲 栏 目 开 关

所以{bn}为等差数列,
9?b1+b9? 9?b3+b7? 于是 = =153. 2 2

热点分类突破
23-11 由 b3=11,得 b7=23,d= =3, 7-3

第2讲

因此 bn=b3+3(n-3)=3n+2,
即 bn=3n+2 (n∈N*). 3 3 (2)cn= = ?2an-11??2bn-1? [2?n+5?-11][2?3n+2?-1] 1 ? 1 1? 1 ? = =2?2n-1-2n+1?. ? ?2n-1??2n+1? ? ?
1? ?1 1? ?1 1? 1? 所以 Tn=c1+c2+…+cn=2[?1-3?+?3-5?+?5-7?+…+ ? ? ? ? ? ? ? 1 1 ? 1? 1 ? n ? ? ? ? ?2n-1-2n+1?]=2?1-2n+1?=2n+1. ? ? ? ?

本 讲 栏 目 开 关

热点分类突破

第2讲

本 讲 栏 目 开 关

(1)求数列的通项要注意根据条件灵活选用不同方 法.例如求 bn 时,利用定义就是不错的选择.(2)本题的关 键是求{cn}的前 n 项和.对 cn 裂项是求和的基本技巧.

热点分类突破

第2讲

已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=3,若数列{Sn +1}是公比为 4 的等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; an+1 (2)设 bn= ,n∈N*,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. ?an+1-3?·n+1 S

本 讲 栏 目 开 关



(1)由题意知 Sn+1=(S1+1)·n-1=4n, 4

∴Sn=4n-1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3·n-1,且 a1=3 满足上式, 4 ∴an=3·n-1, 4 所以数列{an}的通项公式为 an=3·n-1. 4

热点分类突破

第2讲

本 讲 栏 目 开 关

1.数列求和的方法归纳 (1)转化法:将数列的项进行分组重组,使之转化为 n 个 等差数列或等比数列,然后应用公式求和; (2)错位相减法:适用于{anbn}的前 n 项和,其中{an}是等 差数列,{bn}是等比数列; (3)裂项法:求{an}的前 n 项和时,若能将 an 拆分为 an= bn-bn+1,则 a1+a2+…+an=b1-bn+1;

热点分类突破

第2讲

(4)倒序相加法: 一个数列倒过来与原数列相加时, 若有公因 式可提,并且剩余的项的和容易求出,那么这样的数列求和 可采用此法.其主要用于求组合数列的和.这里易忽视因式 为零的情况; (5)并项求和法:先将某些项放在一起先求和,然后再求 Sn. 例如对于数列{an}:a1=1,a2=3,a3=2,an+2=an+1-an, 可证其满足 an+6=an,在求和时,依次 6 项求和,再求 Sn.

本 讲 栏 目 开 关

热点分类突破

第2讲

本 讲 栏 目 开 关

2.复习时,要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及 其等价形式.注意函数与方程思想、整体思想、分类讨 论思想、数形结合思想的运用.

名师押题我来做

第2讲

本 1.若数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 an=5Sn-3(n∈N*),则数 讲 4n·n a 栏 列{ }的前 2 013 项的和为________. 目 9 开 关 押题依据 数列的通项和数列的前 n 项和是高考的热点.本

4n·n a 题由 Sn 与 an 的关系求 an,进而求数列{ }的前 n 项和,恰 9 好体现了数列的重点.故押此题.
押题级别 ★★★★★

名师押题我来做
3 解析 当 n=1 时,a1=5a1-3,∴a1= ; 4 1 当 n≥2 时,an-an-1=5an,即 an=-4an-1, 3 1 n-1 n-1 3 ∴an=4· 4) =(-1) 4n, (- 4n·n a 1 n-1 ∴ 9 =(-1) ×3, 4n·n a 1 故{ 9 }的前 2 013 项的和为3.
答案 1 3

第2讲

本 讲 栏 目 开 关

名师押题我来做

第2讲

2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn=a(Sn-an+1) (a 为常 数,且 a>0),且 4a3 是 a1 与 2a2 的等差中项. (1)求{an}的通项公式; 2n+1 (2)设 bn= a ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. n

本 讲 栏 目 开 关

押题依据

数列的通项与求和问题一直是高考的重点和热

点.本题重点考查数列的前 n 项和 Sn 与 an 之间的关系、等 差数列与等比数列的基本运算及数列求和问题.重点突出、 方法明确,为高考的常考题型,故押此题.

押题级别 ★★★★★

名师押题我来做
解 (1)当 n=1 时,S1=a(S1-a1+1),

第2讲

所以 a1=a,当 n≥2 时,Sn=a(Sn-an+1),① Sn-1=a(Sn-1-an-1+1), ②

本 讲 栏 目 开 关

an 由①-②,得 an=a×an-1,即 =a, an-1
故{an}是首项 a1=a,公比等于 a 的等比数列, 所以 an=a×an-1=an. 故 a2=a2,a3=a3.

由 4a3 是 a1 与 2a2 的等差中项,可得 8a3=a1+2a2,即 8a3=a+2a2,
因 a≠0,整理得 8a2-2a-1=0,

名师押题我来做
1 1 即(2a-1)(4a+1)=0,解得 a= 或 a=- (舍去), 2 4 ?1? 1 n 故 an=?2? = n. 2 ? ? 2n+1 (2)由(1),得 bn= =(2n+1)×2n, an

第2讲

本 讲 栏 目 开 关

所 以 Tn = 3×2 + 5×22 + 7×23 + … + (2n - 1)×2n - 1 + (2n + 1)×2n,
+1



2Tn=3×22+5×23+7×24+…+(2n-1)×2n+(2n+1)×2n+1, ②
由①-②,得-Tn=3×2+2(22+23+…+2n)-(2n+1)×2n

22-2n+1 + =6+2× -(2n+1)·n 1 2 1-2

=-2+2n+2-(2n+1)·n+1=-2-(2n-1)·n+1, 2 2
所以 Tn=2+(2n-1)·n+1. 2


《导学教程》高三数学二轮复习教案 专题三 第2讲 数列求和及数列的综合应用

《导学教程》高三数学二轮复习教案 专题三 第2讲 数列求和及数列的综合应用 隐藏>> 第2讲自主学习导引 数列求和及数列的综合应用真题感悟 ? 1 ? ? ? 1.(2012...

【优化方案】2016年高考数学二轮复习专题三 数列 第2讲 数列求和与数列的综合应用专题强化精练提能 理

【优化方案】2016年高考数学二轮复习专题三 数列 第2讲 数列求和数列的综合应用专题强化精练提能 理_数学_高中教育_教育专区。第一部分专题三 数列 第 2 讲 ...

2013年高考第二轮复习数学山东理科专题升级训练10 数列的求和及其综合应用专题升级训练卷附答案

2013高考第二轮复习数学山东理科专题升级训练10 数列的求和及其综合应用专题升级...1? 1 3 (2)设数列?S ?的前 n 项和为 Tn,求证: ≤Tn< . 6 8 ? ...

2014届高三数学(理)( 江苏专用)《大二轮专题复习与增分策略》专题三 第2讲]

2014届高三数学(理)( 江苏专用)《大二轮专题复习与增分策略》专题三 第2讲]第2讲 数列求和及数列的综合应用 【高考考情解读】 高考对本节知识主要以解答题的...

步步高2014届高考数学江苏专用(文)二轮专题突破:专题三 第2讲 数列求和及数列的综合应用

第2讲 数列求和及数列的综合应用高考考情解读】 高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题:1.以递推公式 或图、表形式给出条件,求通项公式,考...

2013年高考第二轮复习数学浙江文科专题升级训练10 数列的求和及其综合应用专题升级训练卷(附答案)

2013高考第二轮复习数学浙江文科专题升级训练10 数列的求和及其综合应用专题升级...20)已知在数列{an}中,a1= ,an+1= 2 an+3 (n∈N*). (1)求数列{an...

2014高考数学理二轮专题突破文档:3.2数列求和及数列的综合应用

2014高考数学二轮专题突破文档:3.2数列求和及数列的综合应用_数学_高中教育_教育专区。2014高考数学二轮专题突破文档:3.2数列求和及数列的综合应用河北...

2014届(浙江)高考数学(理)二轮专题训练:第1部分 专题三 第2讲 高考中的数列(解答题型)

专题三 第2讲 高考中的数列(解答题型)_数学_高中...考点 等差、等比数列的判定与证明 数列求和问题 [...热点三 数列与函数、方程的综合应用 [例 3] (...

2016高三文数二轮复习专题三第2讲高考中的数列(解答题型)

2016高三文数二轮复习专题三第2讲高考中的数列(解答题型)_高三数学_数学_高中...(比)数列或一些可以直接求和的数列. 2.裂项相消法:将数列的通项分成两个代数...

高三二轮复习专题 | 高三地理二轮复习专题 | 高三物理二轮复习专题 | 数列求和专题 | 数列求和 高三复习 | 高三一轮数列求和 | 高三数学数列求和 | 高三数列专题 |