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6.2004-2014年(选择填空)广东高考试题分类汇编(数列)


五月考点基本功训练

第六章
一.基础题组

数列

1. 【2013 高考广东卷.理.12】 在等 差数列{an}中,已知 a3+a8=10,则 3a5+a7=__________.

2 2. 【2012 高考广东卷.理.11】 已知递增的等差数列 {an } 满足 a1 ? 1, a3 ? a2 则 an ? _____ ?4,

3.【2009 高考广东卷.理.4】已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2, 且 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) ,则当 n ? 1 时, log2 a1 ? log2 a3 ? A. n(2n ? 1) B. (n ? 1)
2

, )
2

? log2 a2n?1 ? (
D. (n ? 1)

C. n

2

4. 【2008 高考广东卷 .理 .2】记等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ?

1 , S4 ? 20 ,则 2

S6 ? (
A.16

) B.24 C.36 D.48

5.【2007 高考广东卷.理.5】已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 9n ,第 k 项满足 5 ? ak ? 8 ,

则k ?( A.9

) B.8 C.7 D.6

6.【2006 高考广东卷.理.6】已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30, 则其公差为( A.5 ) B.4 C. 3 D. 2

二.能力题组
1.【2014 高考广东卷.理.13】若等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a10 a11 ? a9 a12 ? 2e5 ,则

ln a1 ?ln a2 ?

?ln a20 ?

.

2. 【 2014 高考广东卷 . 理 .19 】 ( 本小题满分 14 分 ) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足

Sn ? 2nan?1 ? 3n2 ? 4n , n ? N ? ,且 S3 ? 15 .
(1)求 a1 . a2 . a3 的值;

(2)求数列 ?an ? 的通项公式. 【答案】(1) a1 ? 3 , a2 ? 5 , a3 ? 7 ;(2) an ? 2n ? 1 .

3.【2013 高考广东卷.理.19】 (本 小题满分 14 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1= 1,

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? ,n∈N*. n 3 3

(1)求 a2 的值; (2)求数列 {an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n,有 【答案】(1) 4

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

(2) an ? n2 (3)详见解析

【解析】(1)依题意,2S1=a2- 又 S1=a1=1,所以 a2=4.

1 2 -1- , 3 3

(2)当 n≥2 时,2Sn=nan+1- 2Sn-1=(n-1)an-

1 3 2 2 n -n - n, 3 3

1 2 (n-1)3-(n-1)2- (n-1), 3 3 1 2 (3n2-3n+1)-(2n-1) - , 3 3

两式相减得 2an=nan+1-(n-1)an- 整理得(n+1)an=nan+1-n(n+1), 即

an ?1 an a a ? ? 1 .又 2 ? 1 ? 1 , n ?1 n 2 1 a1 ? an ? ? 是首项为 ? 1 ,公差为 1 的等差数列, 1 ?n?

故数列 ? 所以

an =1+(n-1)×1=n.所以 an=n2. n

4 .【2011 高考广东卷.理.11】等差数列 {an } 前 9 项的和等于前 4 项的和. 若 a1 ? 1 , ak ? a4 ? 0 ,则 k ? 【答案】 10 【解析】方法 1:由 S9 ? S4 得 9 ? 36d ? 4 ? 6d ,求得 d ? ? .

1 , 6

则 ak ? a4 ? 1 ? (k ? 1) ? (? ) ? 1 ? 3 ? (? ) ? 0 ,解得 k ? 10 方法 2: 由 S9 ? S4 得 a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? 0 , 即 5a7 ? 0 ,a7 ? 0 , 即 a1 a ?2 0 ?4 7a ? 0 , 即 k ? 10 【考点定位】本题考查了数列中的等差数列及其前 n 项和,属于能力题
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1 6

1 6

5. 【2010 高考广东卷.理.4】 已知数列 ?an ? 为等比数列, Sn 是是它的前 n 项和,若 a2 ? a3 ? 2a1 , 且 a4 与 2 a7 的等差中项为 A.35 B.33

5 ,则 S5 ? ( 4
C.3l

) D.29

6.【2006 高考广东卷.理.14】在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间,某商店橱窗里用同样 的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第 1 堆只有 1 层,就一个球;第 2,3, 4, 堆

最底层(第一层)分别按图 4 所示方式固定摆放,从第二层开始,每层 的小球自然垒放在下一层 之上 , 第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球 , 以 f (n) 表示第 n 堆的乒乓球总数 , 则 f (3) ? _____ ;

f (n) ? _____ (答案用 n 表示).

?

图4

7. 【2005 高考广东卷.理.10】 已知数列 ?xn ? 满足 x 2 ?

x1 1 ,x n ? ( x n ?1 ? x n ? 2 ) ,n ? 3,4,? . 2 2

若 lim x n ? 2 ,则 x1 ? (
x ??

) C.4 D.5

A.

3 2
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B.3

【答案】B

8. 【2005 高考广东卷.理.14】 设平面内有 n 条直线 (n ? 3) , 其中有且仅有两 条直线互相平行,

任意三条直线不过同一点.若用 f ( n) 表示这 n 条直线交点 的个数,则 f ( 4) =____________; 当 n ? 4 时, f (n) ? .(用 n 表示)

三.拔高题组
1. 【 2012 高考广东卷 . 理 .19 】 ( 本小题满分 14 分 ) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足

2Sn ? an?1 ? 2n?1 ?1(n ? N * ) ,且 a1 , a2 ? 5, a3 成等差数列.
(1)求 a1 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式.(3)证明: 对一切正整数 n , 有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 3 ? an 2

(2) a1 ? 1, a2 ? 5 得 an?1 ? 3an ? 2n 对 ?n ? N 均成立
*

an?1 ? 3an ? 2n ? an?1 ? 2n?1 ? 3(an ? 2n )
得: an ? 2n ? 3(an?1 ? 2n?1 ) ? 32 (an?2 ? 2n?2 ) ?

? 3n?1 (a1 ? 2) ? an ? 3n ? 2n

2. 【 2011 高考广东卷 . 理 .20 】 ( 本小题满分 14 分 ) 设 b ? 0 ,数列 {an } 满足 a1 ? b ,

an ?

nban ?1 (n ? 2) . an ?1 ? 2n ? 2
b n ?1 ?1. 2n ?1

(1)求数列 {an } 的通项公式;(2)证明:对于一切正整数 n , an ?

② 当 b ? 0 且 b ? 2 时,

n 1 2 n ?1 1 ? ? ( ? ) an 2 ? b b an?1 2 ? b

当 n ? 1 时,

n 1 2 ? ? an 2 ? b b(2 ? b)

∴{

2 2 n 1 为首项, 为公比的等比数列 ? } 是以 b b(2 ? b) an 2 ? b



n 1 1 2 ? ? ? ( )n an 2 ? b 2 ? b b



n 2n 1 2n ? b n ? ? ? an (2 ? b)bn 2 ? b (2 ? b)bn
n(2 ? b)b n 2n ? b n

∴ an ?

? n(2 ? b)bn ,  b ? 0且b ? 2 ? 综上所述 an ? ? 2n ? b n ?2,   b ? 2    ?

方法二:

b n ?1 证明:① 当 b ? 2 时, an ? n ?1 ? 1 ? 2 ; 2
② 当 b ? 0 且 b ? 2 时, 要证 an ?

b n ?1 nb n (2 ? b) b n ?1 ? n ?1 ? 1 , ? 1 ,只需证 2n ? b n 2 2n ?1

3.【2009 高考广东卷.理.21】 (本小题满分 14 分)已知曲线

Cn : x2 ? 2nx ? y2 ? 0(n ? 1, 2, ) .从点 P(?1, 0) 向曲线 Cn 引斜率为 kn (kn ? 0) 的切线 ln ,
切点为 P n ( xn , yn ) . (1)求数列 {xn }与{ yn } 的通项公式; (2)证明: x1 ? x3 ? x5 ?

? x2 n?1 ?

1 ? xn x ? 2 sin n . 1 ? xn yn

4. 【 2008 高 考 广 东 卷 . 理 .21 】 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 p, q 为 实 数 , ?,? 是 方 程

x2 ? px ? q ?0 的 两 个 实 根 , 数 列 {xn } 满 足 x1 ? p , x2 ? p2 ? q ,
4, ?). xn ? pxn?1 ? qxn?2 ( n ? 3,
(1)证明: ? ? ? ? p , ?? ? q ; (2)求数列 {xn } 的通项公式; (3)若 p ? 1 , q ?

1 ,求 {xn } 的前 n 项和 Sn . 4
(3) S n ? 3 ? ( n ? 3)( )

? ? n?1 ? ? n?1 , (? ? ? ) 【答案】(1)详见解析 (2) x ? ? ? ? ?? n ? n? n ? ? n , (? ? ? ) ?
【解析】(1)由求根公式,不妨设 ? ? ? , 得 ? ?

1 2

n

p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q ,? ? 2 2

?? ? ? ?

p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q ? ? p , ?? ? ? ?q 2 2 2 2

(3)把 p ? 1 , q ?

1 1 1 2 代入 x2 ? px ? q ? 0 ,得 x ? x ? ? 0 ,解得 ? ? ? ? 4 4 2

[来源:Zxxk.Com]

1 1 ? xn ? n ( ) n ? ( ) n 2 2
1 1 1 ? ? 1 1 1 1 ? ? 1 Sn ? ? ( ) ? ( ) 2 ? ( )3 ? ... ? ( ) n ? ? ? ( ) ? 2 ( ) 2 ? 3 ( )3 ? ... ? n ( ) n ? 2 2 2 ? ? 2 2 2 2 ? ? 2

1 1 1 1 ? ? 1 ? 1 ? ( )n ? ? ( ) ? 2 ( ) 2 ? 3 ( )3 ? ... ? n ( ) n ? 2 2 2 2 ? ? 2

1 1 1 1 ? 1 ? ( ) n ? 2 ? ( ) n ?1 ? n( ) n ? 3 ? ( n ? 3)( ) n 2 2 2 2
【考点定位】本题考查了数列,属于拔高题

[来源:Z&xx&k.Com]

5.【2007 高考广东卷.理.21】 (本题满分 14 分)已知 函数 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 , ? , ? 是方程 f(x)=0 的两个根 (? ? ? ) , f '( x) 是 f(x)的导数;设 a1 ? 1 , an ?1 ? an ? (1)求 ? , ? 的值;
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

f ( an ) (n=1,2,??) f '(an )

(2)证明:对任意的正整数 n,都有 a n >a; (3)记 bn ? ln
an ? ? (n=1,2,??),求数列{bn}的前 n 项和 Sn. an ? a

6.【2006 高考广东卷.理.19】

(本小题满分 14 分)已知公比为 q(0 ? q ? 1) 的无穷等比数列

{an } 各项的和 为 9,无穷等比数列 {a 2 n } 各项的和为
(1)求数列 {an } 的首项 a1 和公比 q ; (2)对给定的 k (k ? 1,2,3,? ? ?, n) ,设 T 的前 10 项之和; (3)设 bi 为数列 T
(i ) (k )

81 . 5

是首项为 ak ,公差为 2a k ? 1 的等差数列.求数列 T

(k )

的第 i 项, S n ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn ,求 S n ,并求正整数 m(m ? 1) ,使得

Sn 存在且不等于零. n ?? m lim
(注:无穷等比数列各项的和即当 n ? ? 时该无穷数列前 n 项和的极限)

《数列》选择填空题(广东高考试题分类汇编)
1.(2006)已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差为



) A.5

B.4

C. 3

D. 2 ;若它的第 k

2.( 2007文)已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ? n2 ? 9n ,则其通项 an ? 项满足 5 ? ak ? 8 ,则 k ? .

3. ( 2007 理)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 9n ,第 k 项满足 5 ? ak ? 8 ,则 k ? ( A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

)

4.( 2008 文)记等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 4, S4 ? 20 ,则该数列的公差 d ? ( ) A、2 B、3 C、6 D、7

5.( 2008 理)记等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? A.16 B.24 C.36

1 , S4 ? 20 ,则 S6 ? ( 2
D.48
2



6. ( 2009 文)已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 =( A.

)

1 2

B.

2 2

C.

2

D.2 ,且 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) ,则当

7. ( 2009 理)已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2,

n ? 1 时, log2 a1 ? log2 a3 ?
A. n(2n ? 1)

? log2 a2n?1 ? (
2

)
2

B. (n ? 1)

C. n

D. (n ? 1)

2

8. (2010 文、2010 理)已知数列 {an } 为等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若 a2 ? a3 ? 2a1 , 且 a4 与 2 a7 的等差中项为 A.35

5 ,则 S5 =( 4
B.33

) C.31 D.29

9. ( 2011 文)已知 {an } 是递增的等比数列,若 a2 ? 2 , a4 ? a3 ? 4 ,则此数列的公比

q?



10 . (2011 理 ) 等差数列 {an } 前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1 ? 1 , ak ? a4 ? 0 ,则

k?



《数列》选择填空题参考答案(广东高考试题分类汇编)

1.C【解析】由题意得 ? 2. 2n-10

?5a1 ? 20d ? 15 ? d ? 3. ?5a1 ? 25d ? 30

; 8 【解析】由 Sn ? n2 ? 9n 得 an ? 2n ? 10 ,又由 5 ? 2k ? 10 ? 8 得 k ? 8 .

3. B 【解析】由 Sn ? n2 ? 9n 得 an ? 2n ? 10 ,又由 5 ? 2k ? 10 ? 8 得 k ? 8 . 4. B【解析】由题意得 ?

? 2a1 ? d ? 4 ? d ? 3. ?4a1 ? 6d ? 20

5.D【解析】 S 4 ? 2 ? 6d ? 20 ,? d ? 3 ,故 S 6 ? 3 ? 15d ? 48. 6.B【解析】由已知得 a1q 2 ? a1q 8 ? 2 a1q 4

?

? 和 a q ? 1 ?q ? 0? ,联立解得 a
2
1

1

?

2 . 2

2 7.C【解析】由 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) 得 an ? 2 2n , an ? 0 ,则 an ? 2n ,

log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? ? ? log2 a2n?1 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 .

w.w.w. k.s.5.u.c.o .m

8. C 【解析】 设{ an }的公比为 q , 则由等比数列的性质知,a2 ? a3 ? a1 ? a4 ? 2a1 , 即 a4 ? 2 。 由 a4 与 2 a7 的等差中项为

5 5 知, a4 ? 2a7 ? 2 ? ,即 4 4

a7 ?

1 5 1 5 1 1 1 a 1 3 3 (2 ? ? a4 ) ? (2 ? ? 2) ? . ∴q ? 7 ? , 即 q ? .a4 ? a1q ? a1 ? ? 2 , 2 4 2 4 4 2 8 a4 8

即 a1 ? 16 .故 S 5 ? 9.2【解析】

16(1 ?

1 ) 2 5 ? 31. 1 1? 2

a4 ? a3 ? 4 ? a2q2 ? a2q ? 4 ? 2q2 ? 2q ? 4 ? 0 ? 2(q ? 2)(q ?1) ? 0 ? q ? 2 或
q ? ?1 .∵ {an } 是递增的等比数列,∴ q ? 2
10.10【解析】方法 1:由 S9 ? S4 得 9 ? 36d ? 4 ? 6d ,求得 d ? ?

1 ,则 6

1 1 ak ? a4 ? 1 ? (k ? 1) ? (? ) ? 1 ? 3 ? (? ) ? 0 ,解得 k ? 10 6 6
方法 2:由 S9 ? S4 得 a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? 0 ,即 5a7 ? 0 , a7 ? 0 ,即

a10 ? a4 ? 2a7 ? 0 ,即 k ? 10


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