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江苏省常州二中2013届高三10月综合练习数学试题


常州二中 2013 高三文科周末综合练习 2012-10-13
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题卷相应的位置上. ......... 1.

2 ? i 3 的值等于______. 1? i

开始 a←5,S←1 S←S×a a←a-1 a≥2 否 输出 S 结束
(第

3 题图)

2.如图所示的流程图中,输出的结果是______. 3.设数列 ?an ? 是等差数列, a1 ? a2 ? a3 ? ?24 , a19 ? 26 , 则此数列 ?an ? 前 20 项和等于____. 4.平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a ? (2, 0) , b ? 1,则 a ? b ? ______.
0



5.函数 y ? xex 的最小值是______. 6.计算 (lg
1 ? 1 ? lg 25) ? 100 2 = ______. 4

7. 已知 ? ? {( x, y) | x ? y ? 6, x ? 0, y ? 0}, A ? {( x, y) | x ? 4, y ? 0, x ? 2 y ? 0} , 若向区域 ? 上随机投一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为______.

2? ) 的图像向左平移至少 3 9.对于 ? ABC ,有如下四个命题: ①若 sin 2 A ? sin 2 B ,则 ? ABC 为等腰三角形, ②若 sin B ? cos A ,则 ? ABC 是直角三角形
8.将函数 y ? sin(2 x ?

个单位,可得一个偶函数的图像.

2 2 2 ③若 sin A ? sin B ? sin C ,则 ? ABC 是钝角三角形

④若

a A cos 2

?

b B cos 2

?

c C cos 2

, 则 ? ABC 是等边三角形

其中正确的命题个数是______. 10.对于函数 f ( x ) ,在使 f ( x) ? M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最大值称为 f ( x ) 的" 下确界",则函数 f ( x) ? 1 ? 4 x ?

1 5 , x ? (??, ) 的"下确界"等于______. 5 ? 4x 4

11.已知 2 b 是 1-a 和 1+a 的等比中项,则 a+4b 的取值范围是______. 12.设 G 是 ?ABC 的重心,且 (56sin A)GA ? (40sin B)GB ? (35sin C)GC ? 0 ,则角 B 的大小 为______.

13.已知函数 f ( x) ?

bx ? c 1 2 (a, b, c ? R, a > 0 ) 是奇函数,若 f ( x) 的最小值为 ? ,且 f (1) ? , 3 ax ? 1 2 5

则 b 的取值范围是__________. 2 ? m ( x ? R, m ? R ) 最大值为 g ( m) ,则 g ( m) 的最小值为 14.设函数 f ( x) ? sin x ? 3 ? sin x 二、解答题

? ? ? 15.已知向量 a ? (sin ? , ?2) 与 b ? (1,cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, ) . 2
(1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?
10 ? , ? ? (0, ) ,求 cos? 的值. 10 2

16. 如图的几何体中, AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD , △ ACD 为等边三角形, AD ? DE ? 2 AB ? 2 , F 为 CD 的中点. (1)求证: AF // 平面 BCE ; (2)求证:平面 BCE ? 平面 CDE .

B

E A

C F

D

17.已知等比数列 ?an ? 中 a1 ? 64 ,公比 q ? 1 ,且 a2 , a3 , a4 分别为某等差数列的第 5 项,第 3 项,第 2 项. ⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵设

bn ? log 1 an ,求数列 ? b
2

n

? 的前 n 项和 T

n.

18. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得 10 万元~1000 万元的投资收 益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金 y(单位:万元)随投资收益 x(单 位:万元)的增加而增加,且奖金不超过 9 万元,同时奖金不超过投资收益的 20%.现 有两个奖励方案的函数模型: (1) y ?

x (2) y ? 4lg x ? 3 .试问这两个函数模 ?2; 150

型是否符合该公司要求,并说明理由.

19.

函数 f ( x) ? x ?

a ln x ,其中 a 为常数. x

(1)证明:对任意 a ? R ,函数 y ? f ( x) 图像恒过定点; (2)当 a ? 1 时,不等式 f ( x) ? 2b ≤ 0 在 x ? (0, ??) 上有解,求实数 b 的取值范围; (3)若对任意 a ? ? m,0 ? 时,函数 y ? f ( x) 在定义域上恒单调递增,求 m 的最小值.

20.已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x 2 ? ax ? 3 . (1) 求函数 f ( x) 在 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值; (2) 对一切 x ? (0, ??) , 2 f ( x)≥ g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3) 证明: 对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ?

1 2 ? 成立. e x ex

常州二中高三文科周末综合练习 2012-10-13
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题卷相应的位置上. ......... 1. 5. 9. 1 13. ( , 2) 二、解答题 1 2. 120 6. 10. ?2 3. -20 180 7. 11. 4.

7
8. 12.

?

1 e

2 9
5? ? ? ? 1, ? 4? ?

5 ? 12
60°

1 2

14.

3 4

? ? sin a 15.解: (1)∵ ? b ,∴ ? ? 2 cos ? ? 0 ,

又 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ,且 ? ? (0, ) , 2 2 5 5 sin ∴ ?? , cos ? ? . 5 5 (2)∵ ? (0, ) , ? ? (0, ) , ? 2 2

?

…………………………6 分

?

?

10 ? ? ∴ ? ? ? (? , ) ,又 sin(? ? ? ) ? , ? 10 2 2 3 10 cos( ∴ ? ? ?) ? , …………………………10 分 10 ∴ ? ? cos ?? ? (? ? ? )? ? cos? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) cos
? 5 3 10 2 5 10 2 ? ? ? ? . 5 10 5 10 2

…………………………14 分

16. (1)证明:取 CE 的中点 G ,连结 FG、BG . ∵ F 为 CD 的中点,∴ GF // DE 且 GF ? ∵ AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD ,

B

E A

1 DE . 2

G

1 DE ,∴ GF ? AB . C 2 ∴四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF // BG . ∵ AF ? 平面 BCE , BG ? 平面 BCE , ∴ AF // 平面 BCE .…………7 分 (2)证明:∵ ?ACD 为等边三角形, F 为 CD 的中点,∴ AF ? CD
∴ AB // DE ,∴ GF // AB . 又 AB ? ∵ DE ? 平面 ACD , AF ? 平面ACD ,∴ DE ? AF . ∵ BG // AF ,∴ BG ? DE, BG ? CD 又 CD ? DE ? D , ∴ BG ? 平面 CDE . ∵ BG ? 平面 BCE , ∴平面 BCE ? 平面 CDE .………………14 分

F

D

17.解:⑴由条件知 a2 ? a3 ? 2 ? a3 ? a4 ? .

2 2 3 即 a1q ? a1q ? 2 a1q ? a1q ,

?

?

2 又 a1 ? q ? 0. ∴ 1 ? q ? 2 q ? q ? 2q ?1 ? q ? ,又 q ? 1 .∴ q ?

?

?

1 . 2

?1? ∴ an ? 64 ? ? ? ? 2?


n ?1

?1? ?? ? ? 2?

n ?7



…………………………7 分

bn ? log 1 an ? n ? 7. ?b ? 前 n 项和 S ? n ? n ? 13? . n n 2 2
13n ? n2 . 2

∴当 1 ? n ? 7 时, bn ? 0 ,∴ Tn ? ? Sn ? 当 n ? 8 时, bn ? 0 ,

Tn ? ?b1 ? b2 ? ? ? b7 ? b8 ? b9 ? ? ? bn ? Sn ? 2S7 ?

n(n ? 13) n2 ? 13n ? 84 ? 42 ? 2 2

?13n ? n 2 ,1 ? n ? 7且n ? N ? ? 2 ? …………………………14 分 ∴ Tn ? ? 2 n ? 13n ? 84 ? ? , n ? 8且n ? N . ? ? 2

18.解:设奖励函数模型为 y=f(x),由题意可知该公司对函数模型应满足下列条件: 1 当 x∈ [10,1000]时,① f(x)是增函数;② f(x)≤9 恒成立;③f ( x) ≤ x 恒成立. 5 x ① 对于函数模型 f ( x) ? ?2: 150 1000 20 当 x∈ [10,1000]时,f(x)是增函数,则 f ( x)max ? f (1000) ? ?2? ?2?9. 150 3 所以 f(x)≤9 恒成立. …………………………3 分 1 2 1 f ( x) 1 2 ? f ( x) ? ? ? ? . 因为函数 ? ? 在[10,1000]上是减函数,所以 ? x ? max 150 10 5 x 150 x ? ? 1 从而 f ( x) ≤ x 不恒成立. 5 故该函数模型不符合公司要求. …………………………7 分 ② 对于函数模型 f(x)=4lgx-3: 当 x∈ [10,1000]时,f(x)是增函数,则 f ( x)max ? f (1000) ? 4lg1000 ? 3 ? 9 . 所以 f(x)≤9 恒成立. …………………………9 分 x 4lg e 1 设 g(x)=4lgx-3 ? ,则 g ?( x) ? ? . 5 x 5 4lg e 1 2lg e ?1 lg e2 ?1 当 x≥10 时, g ?( x) ? ? ≤ ? ?0 , x 5 5 5 所以 g(x)在[10,1000]上是减函数,从而 g(x)≤g(10)=-1<0,

x x 1 所以 4lgx-3 ? <0,即 4lgx-3< ,所以 f ( x) ≤ x 恒成立. 5 5 5 故该函数模型符合公司要求. …………………………14 分
19.解: (1)令 ln x ? 0 ,得 x ? 1 ,且 f (1) ? 1 , ∴ 函数 y ? f ( x) 图像恒过定点 (1,1) . …………………………2 分 ln x (2)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? , x x2 ? ln x ? 1 1 ? ln x ∴f ?( x) ? 1 ? ,即 f ?( x) ? , x2 x2 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 . x 1 (0,1) (1,+∞) f ?( x) - 0 + f(x) 极小值 ∴f min ( x) ? f (1) ? 1 , ∵f ( x) ? 2b ≤ 0 在 x ? (0, ?? )上有解, 1 ? ∴ 2b ≥ f min ( x) ,即 ?2b ≥ 1 ,∴ 实数b的取值范围为 (??, ? ] .…………………9分 2 2 x ? a ln x ? a a ? a ln x (3) f ?( x) ? 1 ? ,即 f ?( x) ? ,令 g ( x) ? x2 ? a ln x ? a , x2 x2 由题意可知,对任意 a ? [m,0) , f ?( x) ≥ 0 在 x ? (0, ??) 恒成立, 即 h( x) ? x2 ? a ln x ? a ≥ 0 在 x ? (0, ??) 恒成立. ∵ ?( x) ? 2x ? h 列表如下: x
h?( x) h(x)

a a a 2 x2 ? a ,令 h?( x) ? 0 ,得 x ? ? ? (舍)或 ? . ? 2 2 x x

(0, ?

a ) 2

?

a 2

( ?

0 - ? 极小值 a ? a 3? ∴ min ( x) ? h( ? ) ? ? ln ? ? ? a ≥ 0 ,解得 a ≥ ?2e3 . h 2 ? 2 2? ? ? 3 ∴ m的最小值为 ?2e . 20. 解: (1)

a ,+∞) 2 + ?

…………………16分

f '( x) ? ln x ? 1 , x ? (, ) 当 0

1 1 , f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, x ? ( , ??) , f '( x) ? 0 , 当 e e

f ( x) 单调递增.………………………………………………………………..2 分
① 0 ? t ? t ? 2 ? ,t 无解;

1 e

1 1 1 1 ? t ? 2 ,即 0 ? t ? 时, f ( x)min ? f ( ) ? ? ; e e e e 1 1 ③ ? t ? t ? 2 ,即 t ? 时, f ( x) 在 [t , t ? 2] 上单调递增, f ( x)min ? f (t ) ? t ln t ; e e
② 0?t ?

所以 f ( x) min

1 ? 1 ?? e , 0 ? t ? e ? .…………………………………………………………..6 分 ?? ?t ln t,t ? 1 ? e ?

3 ,………………………………………..8 分 x 3 ( x ? 3)(x ? 1) 设 h( x) ? 2ln x ? x ? ( x ? 0) ,则 h '(x ) ? , x ? (0,1) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递减, x x2
(2)

2 x ln x ? ? x 2 ? ax ? 3 ,则 a ? 2ln x ? x ?

x ? (1, ?? ) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递增,所以 h( x)min ? h(1) ? 4 ……………………….10 分
因为对一切 x ? (0, ??) , 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,所以 a ? h( x)min ? 4 ;………………..12 分 (3) 问题等价于证明 x ln x ?

x 2 ? ( x ? (0, ??)) ,由⑴可知 f ( x) ? x ln x( x ? (0, ??)) 的最小值是 ex e

1 1 ? ,当且仅当 x ? 时取到………………………………………………………….14 分 e e x 2 1? x 1 设 m( x) ? x ? ( x ? (0, ??)) , m( x ? x , 则 ' ) 易得 m( x)max ? m(1) ? ? , 当且仅当 x ? 1 时取到, e e e e 1 2 从而对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? x ? 成立.……………………………..16 分 e ex

2 * 14.数列 ?an ? 满足 a1 ? , an?1 ? an ? an ? 1(n ? N ) ,则 m ?

3 2

2012 i ?1

?a

1
i

的整数部分是___▲___. 1

14.答案解析:由题 an?1 ? an (an ?1) ? 1 ,则

1 an?1 ? 1

?

1 1 1 1 1 ,故有 ? ? ? ? an ? 1 an an an ? 1 an?1 ? 1

1 1 1 1 37 , 由于 a3 ? 故 ? ? 2? ? (0,1) , ? 2 且 an?1 ? an , 16 a1 ? 1 a 2013 ? 1 a 2013 ? 1 a 2013 ? 1 所以 m ? (1, 2) ,其整数部分是 1 . m?
1 1.已知集合 A ? {1,cos ? } , B ? {0, ,1} ,若 A ? B ,则锐角 ? ? 2 z1 2.若 z1 ? a ? 2i , z2 ? 3 ? 4i ,且 为 纯 虚 数,则 实 数 a 的 值为 z2
3.某校高三年级学生年龄分布在 17 岁、18 岁、19 岁的 人数分别为 500、400、200,现通过分层抽样从上述学 生中抽取一个样本容量为 m 的样本,已知每位学生被 抽到的概率都为 0.2 ,则 m ? ▲ 220. 输入 p
n ? 1, S ? 0

▲ ▲ 开始

. .

? 3

8 3

4. 命题 p: 函数 y ? tan x 在 R 上单调递增, 命题 q:?ABC 中, ?A ? ?B 是 sin A ? sin B 的充要条件,则 p ? q 是 ▲ 命题. (填“真”“假”) 真

S?p
Y
S ? S ? 2n?1

N

输出 n 结束

n ? n ?1

? ? ? ? 5.平面向量 a 与 b 的夹角为 120? , a ? (0,2) , | b |? 1 ,

? ? 则 a?b ?



. 3

6.执行如图的程序框图,若输出 n ? 5 ,则整数 p 的 最小值是 ▲ .8

? x 2 ? 3x ? 1, x ≥ 0 7.设 f ( x) ? ? ,若 f (a) ? 3 ,则实数 a x?0 ??2 x ? 7,

的取值范围是 8. 9.设函数 f ( x) ?



. ?a | a ? 0 或 a ? 4?

1 ,则 f (a) ? f (c) ? ? 1 ,若 a, b, c 成等差数列(公差不为零) x?b



.2

10.设 a、b 是两条不同的直线, ? 、? 是两个不同的平面,则下列四个命题: ① a⊥ 若 b,a⊥ α,b ? α,则 b∥ α; ② a∥ 若 α,a⊥ β,则 α⊥ β;

③ a⊥ 若 β,α⊥ β,则 a∥ 或 a ? α; ④ a⊥ α 若 b,a⊥ α,b⊥ β,则 α⊥ β. 其中正确命题的序号有 ▲ .①②③④

11.在 ?ABC 中, AB ? 3 AC , AD 是 ?A 的平分线,且 AD ? mAC ,则实数 m 的取值范围 是 ▲

3 . (0, ) 2

13.已知 a, b ? R , ? C1 : x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? a2 ? 5 ? 0 与 ? C2 : x2 ? y 2 ? (2b ? 10) x ? 2by ?
2b2 ? 10b ? 16 ? 0 交于不同两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,且
x1 ? x2 y1 ? y2 ? ? 0 ,则实数 b 的值为 y1 ? y2 x1 ? x2





5 3
1 ,且对任意正整数 k , ak ? (ak ?1 ? ak ? 2 ) 仍是该数列中 2
▲ . { 2 ? 1}

14.已知等比数列 {an } 满足 a1 ? 1 , 0 ? q ? 的某一项,则公比 q 的取值集合为

? ? ? 已知向量 a ? (sin ? , ?2) 与 b ? (1,cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, ) . 2
(1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?
? ? 10 ? sin , ? ? (0, ) ,求 cos? 的值.15.解: a (1)∵ ? b ,∴ ? ? 2 cos ? ? 0 , 10 2

又 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ,且 ? ? (0, ) , 2 2 5 5 sin ∴ ?? , cos ? ? . 5 5 (2)∵ ? (0, ) , ? ? (0, ) , ? 2 2

?

…………………………6 分

?

?

10 ? ? ∴ ? ? ? (? , ) ,又 sin(? ? ? ) ? , ? 10 2 2 3 10 cos( ∴ ? ? ?) ? , …………………………10 分 10 ∴ ? ? cos ?? ? (? ? ? )? ? cos? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) cos
? 5 3 10 2 5 10 2 ? ? ? ? . 5 10 5 10 2

…………………………14 分

17.(本小题满分 14 分) 如 图 的 几 何 体 中 , AB ? 平 面 A C D, DE ? 平 面 A C D, △ ACD 为 等 边 三 角 形 , AD ? DE ? 2 AB ? 2 , F 为 CD 的中点. (1)求证: AF // 平面 BCE ; B E (2)求证:平面 BCE ? 平面 CDE . A

C F 17. (1)证明:取 CE 的中点 G ,连结 FG、BG . ∵ F 为 CD 的中点,∴ GF // DE 且 GF ? ∵ AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD , G

B D

E

1 DE . 2
C

A

1 F ∴ AB // DE ,∴ GF // AB . 又 AB ? DE ,∴ GF ? AB . 2 ∴四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF // BG . ∵ AF ? 平面 BCE , BG ? 平面 BCE , ∴ AF // 平面 BCE .…………7 分 (2)证明:∵ ?ACD 为等边三角形, F 为 CD 的中点,∴ AF ? CD
∵ DE ? 平面 ACD , AF ? 平面ACD ,∴ DE ? AF . ∵ BG // AF ,∴ BG ? DE, BG ? CD 又 CD ? DE ? D , ∴ BG ? 平面 CDE . ∵ BG ? 平面 BCE , ∴平面 BCE ? 平面 CDE .………………14 分

D

已知等比数列 ?an ? 中 a1 ? 64 ,公比 q ? 1 ,且 a2 , a3 , a4 分别为某等差数列的第 5 项,第 3 项, 第 2 项. ⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵设

bn ? log 1 an ,求数列 ? b
2

n

? 的前 n 项和 T

n.
2 2 3 即 a1q ? a1q ? 2 a1q ? a1q ,

16.解:⑴由条件知 a2 ? a3 ? 2 ? a3 ? a4 ? .

?

?

2 又 a1 ? q ? 0. ∴ 1 ? q ? 2 q ? q ? 2q ?1 ? q ? ,又 q ? 1 .∴ q ?

?

?

1 . 2

∴ an ? 64 ? ? ?

?1? ? 2?

n ?1

?1? ?? ? ? 2?

n ?7



…………………………7 分



bn ? log 1 an ? n ? 7. ?b ? 前 n 项和 S ? n ? n ? 13? . n n 2 2
13n ? n2 . 2

∴当 1 ? n ? 7 时, bn ? 0 ,∴ Tn ? ? Sn ? 当 n ? 8 时, bn ? 0 ,

Tn ? ?b1 ? b2 ? ? ? b7 ? b8 ? b9 ? ? ? bn ? Sn ? 2S7 ?

n(n ? 13) n2 ? 13n ? 84 ? 42 ? 2 2

?13n ? n 2 ,1 ? n ? 7且n ? N ? ? 2 ? …………………………14 分 ∴ Tn ? ? 2 n ? 13n ? 84 ? , n ? 8且n ? N ? . ? ? 2
17. (本小题满分 14 分) 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得 10 万元~1000 万元的投资收 益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金 y(单位:万元)随投资收益 x(单 位:万元)的增加而增加,且奖金不超过 9 万元,同时奖金不超过投资收益的 20%.现 有两个奖励方案的函数模型: (1) y ?

x (2) y ? 4lg x ? 3 .试问这两个函数模 ?2; 150

型是否符合该公司要求,并说明理由.

17.解:设奖励函数模型为 y=f(x),由题意可知该公司对函数模型应满足下列条件:

1 当 x∈ [10,1000]时,① f(x)是增函数;② f(x)≤9 恒成立;③f ( x) ≤ x 恒成立. 5 x ① 对于函数模型 f ( x) ? ?2: 150 1000 20 当 x∈ [10,1000]时,f(x)是增函数,则 f ( x)max ? f (1000) ? ?2? ?2?9. 150 3 所以 f(x)≤9 恒成立. …………………………3 分 1 2 1 f ( x) 1 2 ? f ( x) ? ? ? ? . 因为函数 ? ? 在[10,1000]上是减函数,所以 ? x ? max 150 10 5 x 150 x ? ? 1 从而 f ( x) ≤ x 不恒成立. 5 故该函数模型不符合公司要求. …………………………7 分 ② 对于函数模型 f(x)=4lgx-3: 当 x∈ [10,1000]时,f(x)是增函数,则 f ( x)max ? f (1000) ? 4lg1000 ? 3 ? 9 . 所以 f(x)≤9 恒成立. …………………………9 分 x 4lg e 1 设 g(x)=4lgx-3 ? ,则 g ?( x) ? ? . 5 x 5 4lg e 1 2lg e ?1 lg e2 ?1 当 x≥10 时, g ?( x) ? ? ≤ ? ?0 , x 5 5 5 所以 g(x)在[10,1000]上是减函数,从而 g(x)≤g(10)=-1<0, x x 1 所以 4lgx-3 ? <0,即 4lgx-3< ,所以 f ( x) ≤ x 恒成立. 5 5 5 故该函数模型符合公司要求. …………………………14 分
19. (本小题满分 16 分) 函数 f ( x) ? x ?

a ln x ,其中 a 为常数. x

(1)证明:对任意 a ? R ,函数 y ? f ( x) 图像恒过定点; (2)当 a ? 1 时,不等式 f ( x) ? 2b ≤ 0 在 x ? (0, ??) 上有解,求实数 b 的取值范围; (3)若对任意 a ? ? m,0 ? 时,函数 y ? f ( x) 在定义域上恒单调递增,求 m 的最小值. 19.解: (1)令 ln x ? 0 ,得 x ? 1 ,且 f (1) ? 1 , ∴ 函数 y ? f ( x) 图像恒过定点 (1,1) . …………………………2 分 ln x (2)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? , x 1 ? ln x x2 ? ln x ? 1 ∴f ?( x) ? 1 ? ,即 f ?( x) ? , x2 x2 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 . x 1 (0,1) (1,+∞) f ?( x) - 0 + f(x) 极小值 ∴f min ( x) ? f (1) ? 1 , ∵f ( x) ? 2b ≤ 0 在 x ? (0, ?? )上有解, 1 ? ∴ 2b ≥ f min ( x) ,即 ?2b ≥ 1 ,∴ 实数b的取值范围为 (??, ? ] .…………………9分 2 a ? a ln x x2 ? a ln x ? a (3) f ?( x) ? 1 ? ,即 f ?( x) ? ,令 g ( x) ? x2 ? a ln x ? a , x2 x2

由题意可知,对任意 a ? [m,0) , f ?( x) ≥ 0 在 x ? (0, ??) 恒成立, 即 h( x) ? x2 ? a ln x ? a ≥ 0 在 x ? (0, ??) 恒成立. ∵ ?( x) ? 2x ? h 列表如下: x
h?( x) h(x)

a a a 2 x2 ? a ,令 h?( x) ? 0 ,得 x ? ? ? (舍)或 ? . ? 2 2 x x

(0, ?

a ) 2

?

a 2

( ?

0 - ? 极小值 a ? a 3? ∴ min ( x) ? h( ? ) ? ? ln ? ? ? a ≥ 0 ,解得 a ≥ ?2e3 . h ? 2 ? 2 2? ? 3 ∴ m的最小值为 ?2e . 已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x 2 ? ax ? 3 . (1) 求函数 f ( x) 在 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值;

a ,+∞) 2 + ?

…………………16分

(2) 对一切 x ? (0, ??) , 2 f ( x)≥ g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3) 证明: 对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? 20. 解: (1)

1 2 ? 成立. e x ex

f '( x) ? ln x ? 1 , x ? (, ) 当 0

1 1 , f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, x ? ( , ??) , f '( x) ? 0 , 当 e e

f ( x) 单调递增.………………………………………………………………..2 分
① 0 ? t ? t ? 2 ? ,t 无解;

1 e

1 1 1 1 ? t ? 2 ,即 0 ? t ? 时, f ( x)min ? f ( ) ? ? ; e e e e 1 1 ③ ? t ? t ? 2 ,即 t ? 时, f ( x) 在 [t , t ? 2] 上单调递增, f ( x)min ? f (t ) ? t ln t ; e e 1 ? 1 ?? e , 0 ? t ? e ? 所以 f ( x) min ? ? .…………………………………………………………..6 分 ?t ln t,t ? 1 ? e ? 3 (2) 2 x ln x ? ? x 2 ? ax ? 3 ,则 a ? 2ln x ? x ? ,………………………………………..8 分 x 3 ( x ? 3)(x ? 1) 设 h( x) ? 2ln x ? x ? ( x ? 0) ,则 h '(x ) ? , x ? (0,1) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递减, x x2
② 0?t ?

x ? (1, ?? ) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递增,所以 h( x)min ? h(1) ? 4 ……………………….10 分
因为对一切 x ? (0, ??) , 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,所以 a ? h( x)min ? 4 ;………………..12 分 (3) 问题等价于证明 x ln x ?

x 2 ? ( x ? (0, ??)) ,由⑴可知 f ( x) ? x ln x( x ? (0, ??)) 的最小值是 ex e

1 1 ? ,当且仅当 x ? 时取到………………………………………………………….14 分 e e x 2 1? x 1 设 m( x) ? x ? ( x ? (0, ??)) , m( x ? x , 则 ' ) 易得 m( x)max ? m(1) ? ? , 当且仅当 x ? 1 时取到, e e e e 1 2 从而对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? x ? 成立.……………………………..16 分 e ex


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